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福建省厦门市2010届高三3月质量检查(数学文)(word)(2010.3)


福建省厦门市 2010 届高中毕业班质量检查 数学(文科)试 题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式:

1 Sh ,其中 S 为底面面积,h 为高; 3 圆柱体侧面积公式: S ? 2?rh ,其中 r 为底面圆的半径,h 为高;
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式
S ? 4?R 2

其中 R 表示球的半径
2

样本数据 x1 , x 2 ? , x n 的方差: s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( 2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,集合 M ? {x | x ? x ? 0}, N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z } ,则集合 M ? N 为
2

( A.{0} B.{1}
2



C.{0,1}

D. ? ( )

2.设 x ? R, 则" x ? 1"是" x ? x ? 2 ? 0" 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.双曲线 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,则实数 k 的取值范围是 4 k
B. (-12,0) C. (0,2 3 ) D. (0,12)





A. (0,4)

4.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下 一个呈现出来的图形是 ( )

-1-

5.以下四个命题: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测 ,这样的抽样是分层抽样。 ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1

? ? ③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均
增加 0.2 单位 2 ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小, 与 Y 有关系”的把 “X 握程度越大 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结 果是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知, l, m 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个不重 合的平面,给出下列条件,能得到 ? // ? 的是 ( A. l // ? , l // ? C. m ? ? , l ? ? , m // ? , l // ?
2 2



B. ? ? ? , ? ? ? D. l ? ? , m ? ? , l // m

8.若直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 1 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 24 ? 0 截 得的弦 AB 最短,则直线 AB 的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 ( ) D. 2 x ? y ? 5 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

9.已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? (m ? 4) x ? m 是偶函数,函数 g ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? mx ? 5 在
2 2

(??,??) 内单调递增,则实数 m 等于
A.2 B.-2 10.给出下列四个命题: ① f ( x) ? sin(2 x ? C. ? 2 D.0





?
4

) 的对称轴为 x ?

k? 3? ? , k ? Z; 2 8

②函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的最大值为 2; ③函数 f ( x) ? sin cos x ? 1 的周期为 2? ; ④函数 f ( x) ? sin(x ?

?
4

)在[?

? ?

, ] 上是增函数。 2 2
( )

其中正确命题的个数是

-2-

A.1 个 B.2 个 11.以下四个函数的图象错误的是 ..

C.3 个

D.4 个 ( )

12.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? OC ? 2 PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在 ?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率是 ( )

1 4 2 C. 3
A.

1 3 1 D. 2
B.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。把答案填写在答题卡的相应位置 13.复数

2i = 1? i



14.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成, 根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是

? x ? 0, ? , 则z ? x ? 3 y 的最大值为 15.已知实数 x,y 满足条件 ? y ? x, ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?



16.右图是一回形图,其回形通道的宽和 OB 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于 A1、A2、A3?。 若从 O 点到 A1 点的回形线为第 1 圈(长为 7) ,从 A1 点到 A2 点的回形线为第 2 圈,从 A2 点到 A3 点的回形线为第 3 圈,??,依此类推,则第 10 圈的长为 。

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把解 答过程填写在答题卡的相应位置 17. (本小题满分 12 分) 要锐角 ?ABC中, cos A ? (I)求角 C; (II)设 AB ?

5 3 10 , sin B ? . 5 10

2 , 求?ABC 的面积。

18. (本小题满分 12 分) 某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工零 件若干,其中合格零件的个数如下表: 技工 个数 组别 甲组 乙组 4 5 5 6 7 7 9 8 10 9 1号 2号 3号 4号 5号

(I)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差,并由此 分析两组技工的技术水平; (II)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行检测, 若两人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质 量合格”的概率

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {a n } 的公差为 2,其前 n 项和 S n ? pn ? 2n(n ? N ).
2 *

(I)求 p 的值及 a n ; (II)若 bn ?

2 9 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求使 Tn ? 成立的最小正整 (2n ? 1)a n 10

数 n 的值。 20. (本小题满分 12 分)

-4-

如图,四棱锥 P—ABCD 中, PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, CG ?

1 CB. 3

(I)求证: PC ? BC; (II)求三棱锥 C—DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA // 平面 MEG。若存在,求 AM 的长;否则,说明理 由。

21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 为上顶点,AF1 a b
交椭圆 E 于另一点 B,且 ?ABF2 的周长为 8,点 F2 到直线 AB 的距离为 2。 (I)求椭圆 E 的标准方程; (II)求过 D(1,0)作椭圆 E 的两条互相垂直的弦,M、N 分别为两弦的中点,求证:直 线 MN 经过定点,并求出定点的坐标。

22. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 是 函 数 x ? 0, ?bx,

y ? f (x) 的极值点。
(I)求实数 a 的值;

-5-

(II)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范围; (III) 若直线 l 是函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线, 且直线 l 与函数 y ? g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y 0 ), x0 ? [e , e] ,求实数 b 的取值范围。
?1

-6-

参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每题 5 分,满分 60 分。 1—6 BBDADC 7—12 DABBCD 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每题 4 分,满分 16 分。 13. ?1 ? i 14. 5? 15.8 16.79 三、解答题:本题共 6 大题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 II 17.本题主要考查同角三角函数值、诱导公式、两角和的三角函数、运用正弦定理解决与三 角形有关问题的能力,考查学生的运算能力以及化归与转化的数学思想方法,满分 12 分 解: (I)? cos A ?

5 3 10 ? ?? , sin B ? , A, B ? ? 0, ? , 5 10 ? 2?
????4 分

? sin A ?

2 5 10 , cos B ? 5 10

? sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin(A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

2 . 2

????5 分 由 C ? (0,

?
2

),? C ?

?
4

.

????6 分

(II)根据正弦定理得

AB AC AB ? sin B 6 ? ? AC ? ? , ??10 分 sin C sin B sin C 10
????12 分

? S ?ABC ?

1 6 AB ? AC ? sin A ? . 2 5

18.本题主要考查在实际背景下,将统计与概率相结合,考查了样本的平均数与方差的计算, 以及求随机事件的概率,考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力,满分 12 分。 解: (I)依题中的数据可得:

1 1 x甲 ? (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7, x乙 ? (6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7, ????2 分 5 5 1 26 2 s甲 ? [( 4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 5 5 1 2 s乙 ? [(5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 ????4 分 5
2 2 ? x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ,

∴两组技工的总体水平相同,甲组中技工的技术水平差异比乙组大。????6 分 (II)设事件 A 表示:该车间“质量合格” ,

-7-

则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个数的基本事件为: (4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9) , , , , (5,5)(5,6)(5,7)(5,8)(5,9) , , , , (7,5)(7,6)(7,7)(7,8)(7,9) , , , , (9,5)(9,6)(9,7)(9,8)(9,9) , , , , (10,5)(10,6)(10,7)(10,8)(10,9)共 25 种 ????9 分 , , , , 事件 A 包含的基本事件为: (4,9) (5,8)(5,9) , (7,6)(7,7)(7,8)(7,9) , , , (9,5)(9,6)(9,7)(9,8)(9,9) , , , , (10,5)(10,6)(10,7)(10,8)(10,9)共 17 种 ????11 分 , , , ,

? P( A) ?

17 . 25 17 . 25
????12 分

答:即该车间“质量合格”的概率为

19.本题主要考查等差数列的概念及有关计算,数列求和的方法,简单分式不等式的解法, 化归转化思想及运算能力等。满分 12 分 解: (法一)?{a n } 的等差数列 (I)

? S n ? na1 ?

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na1 ? ? 2 ? n 2 ? (a1 ? 1)n ????2 分 2 2
2

又由已知 S n ? pn ? 2n,? p ? 1, a1 ? 1 ? 2,? a1 ? 3,

????4 分

? an ? a1 (n ? 1)d ? 2n ? 1

? p ? 1, an ? 2n ? 1;
(法二)由已知 a1 ? S1 ? p ? 2,

????6 分

S 2 ? 4 p ? 4,即a1 ? a2 ? 4 p ? 4,? a2 ? 3 p ? 2,
又此等差数列的公差为 2,? a2 ? a1 ? 2,? 2 p ? 2,? p ? 1,

????2 分

? a1 ? p ? 2 ? 3,
? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1,

????4 分

? p ? 1, an ? 2n ? 1;
(法三)由已知 a1 ? S1 ? p ? 2 ,

????6 分

?当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? pn2 ? 2n ? [ p(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)] ? 2 pn ? p ? 2

-8-

????2 分

? a 2 ? 3 p ? 2,
由已知 a 2 ? a1 ? 2,? 2 p ? 2,? p ? 1, ????4 分

? a1 ? p ? 2 ? 3,? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1,

? p ? 1, an ? 2n ? 1;
(II)由(I)知 bn ?

????6 分

2 1 1 ? ? (2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

????8 分

? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1
又 a ? b ? c ? 4,? b ?
2 2 2

????10 分

2, c ? 2,
????6 分

∴椭圆 E 的方程是

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(II)解法一:设过点 D(1,0)作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于 P1、Q1、P2、Q2、 M、N 分别为 P1Q1,P2Q2 的中点, 当直线 P1Q1 的斜率不存在或为零时,P1Q1、P2Q2 的中点 D 及原点 O,直线 MN 为 x 轴 ????7 分 所以定点必在 x 轴上, 当直线的斜率存在且不为零时, 设 P Q1 : y ? k ( x ? 1). 1 由?

? y ? k ( x ? 1)

消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 x2 ? 2y2 ? 4 ?
????9 分

? 4k 2 ? ? 2k ? x1 ? x 2 ? k ( x1 ? x 2 ? 2) ? k ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? ?

?M(

2k 2 ?k , 2 ) 2 2k ? 1 2k ? 1

-9-

同理 N (

2 k , 2 ),? K MN k ?2 k ?2
2

k k ? 2 3k 1 ? 2k 2 ? ? 2?k 2 2(1 ? k 2 ) 2k 2 2? k2 ? 1 ? 2k 2

MN : y ?

k 3k 2 ? (x ? ) 2 2 2?k 2(1 ? k ) 2? k2
2 k 2(1 ? k 2 ) 2k 3 ? 4k 2 ? 2 ? ? ? 为定值。 2 2 3k 2?k k ?2 3k (k ? 2) 3
????12 分

取 y=0,得 x ?

2 ? MN 与 x 轴交于定点,定点坐标 ( ,0) 3

解法二:设过定点 D(1,0)作两条互相垂直的直线分别与椭圆 E 交于 P1、O1、P2、Q2、M、 N 分别为 P1Q1、P2Q2 的中点, 当直线的斜率存在且不为零时,设 P Q1 : x ? my ? 1, 1 由?

? x ? my ? 1
2 2

消去x得 : (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0, ?x ? 2 y ? 4

又? Tn ?

9 2n 9 9 ? ? ? 20 n ? 18n ? 9,即n ? , 又n ? N * 10 (2n ? 1) 10 2

? 使Tn ?

9 成立的最小正整数 n 的值为 5 10

????12 分

20.本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识,考查空间想象能、逻 辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想。满分 12 分。 (I)证明:? PD ? 平面 ABCD,? PD ? BC ????1 分 又∵ABCD 是正方形,∴BC⊥CD, ????2 分 ∵PDICE=D ∴BC⊥平面 PCD 又∵PC ? 面 PBC ∴PC⊥BC ????4 分 (II)解:∵BC⊥平面 PCD,∴GC 是三棱锥 G—DEC 的高。 ????5 分 ∵E 是 PC 的中点,? S ?EDC ?

?VC ? DEG ? VG ? DEC

1 1 1 1 S ?EDC ? S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 ??6 分 2 2 2 2 1 1 2 2 ????8 分 ? GC ? S ?DEC ? ? ? 1 ? 3 3 3 9

(III)连结 AC,取 A C 中点 O,连结 EO、GO,延长 GO 交 AD 于点 M, 则 PA//平面 MEG。 ????9 分 下面证明之 ∵E 为 PC 的中点,O 是 AC 的中点,

- 10 -

∴EO//平面 PA, 又? EO ? 平面MEG, PA ? 平面MEG ∴PA//平面 MEG 在正方形 ABCD 中,∵O 是 AC 中点, ? ?OCG ≌ ?OAM

????10 分

????11 分

? AM ? CG ?

2 , 3 2 ∴所求 AM 的长为 . 3

????12 分

21.本题主要考查直线、椭圆的基础知识,考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与 转化思想,满分 12 分。 解: (I) AB ? AF2 ? BF2 ? ( AF1 ? AF2 ) ? ( BF1 ? BF2 ) ? 4a ? 8,

?a ? 2
设c ?

????2 分

a 2 ? b 2 ,因为 A(0,b) ,

∴直线 AB 的方程为

x y ? ? 1,即bx ? cy ? bc ? 0 , ?c b
| bc ? bc | b ?c
2 2

∴点 F2 到直线 AB 的距离 d ?

?

2bc ? bc ? 2, a

????4 分

? x1 ? x2 ? (my1 ? 1) ? (my 2 ? 1) ? m( y1 ? y 2 ) ? 2 ?

? 2m 2 4 ?2? 2 2 m ?2 m ?2
????8 分

2 ?m 2m 2 m ?M( 2 , 2 ),同理N ( 2 , ), m ?2 m ?2 2m ? 1 2m 2 ? 1

? K MN

m m ? 2 3m 2 ? m2 ? ? 1 ? 2m , 2 2m 2 2(m 2 ? 1) ? 1 ? 2m 2 2 ? m 2
m 3m 2 ? (x ? ), 2 2 2?m 2(m ? 1) 2 ? m2 3m 2 ( x ? ), 2 3 2(m ? 1)

MN : y ?

整理得 y ?

- 11 -

∴直线 MN 过定点 ( ,0)

2 3

????11 分

当直线 P1Q1 的斜率不存在或为零时,P1Q1、P2Q2 的中点为点 D 及原点 O,直线 MN 为 x 轴, 也过此定点, ∴直线 MN 过定点 ( ,0)

2 3

????12 分

22.本题主要考查函数与导数的基本知识,几何意义及其应用,同时考查,同时考查学生分 类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想以及转化与归化的能力。满分 14 分。 解: (I) x ? 0时, f ( x) ? ( x ? 2ax)e
2 x

? f ' ( x) ? (2 x ? 2a)e x ? ( x 2 ? 2ax)e x ? [ x 2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x
????2 分 由已知, f ' ( 2 ) ? 0,

?[2 ? 2 2 (1 ? a) ? 2a]e
得 a=1

2

? 0,? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0,
????3 分
2 x

(II)由(I) x ? 0时, f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,

? f ' ( x) ? (2 x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x)e x ? ( x 2 ? 2)e x
令 f ' ( x) ? 0得x ? 当 x ? 0时 x

2 ( x ? ? 2舍去)

????4 分

(0, 2 )
+ 0

2

( 2 ,??)

2

f ' ( x)
f (x)





( 2 ? 2 2 )e

所以,当 x ? (0, 2 ) 时, f (x) 单调递减, f ( x) ? (( 2 ? 2 2 )e 当 x ? ( 2 ,??)时, f ( x)单调递减, f ( x) ? (( 2 ? 2 2 )e
2

2

,0)

,??)
????5 分

? x ? 0时, f ( x) ? (( 2 ? 2 2 )e 2 ,??)

要使方程 f ( x) ? m ? 0 有两不相等的实数根,即函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? m 有两 个不同的交点。 (1)当 b ? 0 时,m=0 或 m ? (2 ? 2 )e
2

????6 分

- 12 -

(2)当 b=0 时, m ? (( 2 ? 2 2 )e (3)当 b ? 0时, m(( 2 ? 2 2 )e
2
2

2

,0)

????7 分 ????8 分
2 x

,??)
x

(III) x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,? f ' ( x) ? ( x ? 2)e

? f (2) ? 0, f ' (2) ? 2e 2
函数 f (x) 的图角在点 (2, f (2)) 处的切线 l 的方程为: y ? 2e ( x ? 2), ??9 分
2

?直线 l 与函数 g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y 0 ), x0 ? [e ?1 , e] ,
? y 0 ? c ln x0 ? b

g ' ( x) ?

c c , ,所以切线 l 的斜率为 g ' ( x0 ) ? x0 x

所以切线 l 的方程为 : y ? y 0 ?

c ( x ? x0 ) x0
????10 分

即 l 的方程为: y ?

c x ? c ? b ? c ln x0 x0

?c 2 ?c ? 2e 2 0 ? x ? 2e ? ?? 得? 0 ?b ? c ? c ln x 0 ? 4e 2 ?? c ? b ? c ln x ? ?4c 2 ? 0 ?
得 b ? 2 ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0 ? [e , e]
2 ?1

????11 分
?1

记 h( x0 ) ? 2e ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0 ? [e , e]
2

? h' ( x0 ) ? 2e 2 (1 ? (ln x0 ? 1)) ? ?2e 2 ln x0
令? h' ( x0 ) ? 0得x0 ? 1

????12 分

x0
h' ( x 0 ) h( x 0 )
又 h(e) ? ?4e
2

(e ?1 ,1)
+

1 0 -

极大值 ? 2e

2

- 13 -

h(e ?1 ) ? 4e ? 4e 2 ? 4e 2
? x0 ? [e ?1 , e],? h( x0 ) ? [?4e 2 ,?2e 2 ]
所以实数 b 的取值范围的集合: {b | ?4e ? b ? ?2e }
2 2

????13 分

????14 分

- 14 -


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