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直线与圆题型总结


直线与圆题型总结 题型 1 :直线的斜率
1.若过点

A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为





A. [?

3, 3]

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ( ? 3, 3) ? B. C.

? 3 3? ? ? ? 3 , 3 ? ? ? D. ?

题型 2
2.直线 A.

直线的方程

x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 (
B.

) D.

x ? 2 y ?1 ? 0

2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0

x ? 2y ?3 ? 0

题型 3:直线与直线的位置关系 3、已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 A.2 B.1 C.0 D. ?1 ( )

题型 4:点与直线的位置关系
2 2 1 0 0? 4. 圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?

上的点到直线

x ? y ? 14 ? 0

的最大距离与最小距离的差是

(

)

A.36

B. 18

C. 6 2 D. 5 2

题型 5:圆的方程 5. 以点 (2, -1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2 2 2





C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2 2 2

? x ? 1 ? cos? ? y ? ?2 ? sin ? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是. 6.若直线 3x+4y+m=0 与圆 ?
题型 6:直线与圆的位置关系 7.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2





B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C.

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

题型 7:圆与圆的位置关系
2 2 8.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是_____

题型 8:线性规划问题

?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围 9.若 x,y 满足约束条件 ? ,目标函数
1

是 (A) ( ?1 ,2 ) (B) ( ?4 ,2 ) (C)

(?4, 0]

(D)

(?2, 4)

10、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角形的底边上, 则底边所在直线的斜率为( A.3 B.2 )

C. ?

1 3

D. ?

1 2

11.设不等式组

所表示的平面区域是 ? 平面区域 ?2 与 ? 对于 ? 1, 1 关于直线 3x-4y-9 对称。 1

中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B,∣AB∣的最小值等于 A.

28 5

B. 4

C.

12 5

D. 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 12.若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? m y ? 1 ? 0, ?
(A)-2
?x ? 0

(B)-1
? ?3 x ? y ? 4 ?

(C)1

(D)2

13.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 面积相等的两部分,则 k 的值是 ( A)

4 分为 3

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

? 2 x ? y ? 4, ? x , y 14. 设 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

题型九:有关圆的标准方程的求法
15 点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(0,1) D.(1,+∞) ) )

16 圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 【变式 1】已知圆的方程为

B.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5

? x ?1?? x ? 2? ? ? y ? 2?? y ? 4? ? 0 ,则圆心坐标为
2

【变式 2】已知圆 C 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 关于直线
2 2

y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为

【变式 3】已知 ?ABC 的顶点坐标分别是 A

? ?1,5? , B ? 5,5? , C ? 6, ?2? ,求 ?ABC 外接圆的方程.
)

题型十、有关圆的一般方程的求法
17 若方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆,则 m 的取值范围是( 1 A . <m<1 4 1 B.m< 或 m>1 4 C.m< ) C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 1 4

D.m>1

18 将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

19 圆 x2-2x+y2-3=0 的圆心到直线 x+ 3y-3=0 的距离为________. 【变式 1】 已知点 P 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? ay ? 5 ? 0 上任意一点, P 点关于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点 也在圆 C 上,则实数 a = 【变式 2】已知一个圆经过点 A ? 3,1? 、 B ? ?1,3? ,且圆心在 3x ? y ? 2 ? 0 上,求圆的方程. 【变式 3】平面直角坐标系中有 A? 0,1? , B ? 2,1? , C ?3,4? , D ? ?1,2? 四点,这四点能否在同一个圆上?为什 么?
【变式 4】如果三角形三个顶点分别是 O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为________________.

题型十一、与圆有关的轨迹问题
20、动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为( A.x +y =32 C.(x-1) +y =16 21、方程 y ? ?
2 2 2 2

)

B.x +y =16 D.x2+(y-1)2=16

2

2

25 ? x2 表示的曲线是()

22、在 ?ABC 中,若点 B, C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线 AD 的长度是 3,则点 A 的轨迹方程是() A. C.

x2 ? y 2 ? 3

B. D.

x2 ? y 2 ? 4

x2 ? y 2 ? 9 ? y ? 0?

x2 ? y 2 ? 9 ? x ? 0?

1 23、已知一曲线是与两个定点 O(0,0),A(3,0)距离的比为 的点的轨迹.求这个曲线的方程,并画出曲线. 2 【变式 1】方程 A. 一个圆

x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 所表示的曲线是()
2

B. 两个圆

C. 一个半圆

D. 两个半圆 )

【变式 2】动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为( A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16 B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16

【变式 3】如右图,过点 M(-6,0)作圆 C:x2+y2-6x-4y+9=0 的割线,交圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的 中点 P 的轨迹.
3

【变式 4】 如图, 已知点 A(-1,0)与点 B(1,0), C 是圆 x2+y2=1 上的动点, 连接 BC 并延长至 D, 使得|CD|=|BC|, 求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程.

题型十二:与圆有关的最值问题
24、已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围是________ 25、已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 y-2 的最小值为________. x-1 )A. 9 5

26、 已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点, 点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点, 则|MN|的最小值是( B.1 C. 4 5 D. 13 5

27、已知实数 x,y 满足(x-2)2+(y+1)2=1 则 2x-y 的最大值为________,最小值为________. 【变式 1】P(x,y)在圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 上移动,则 x2+y2 的最小值为________. 【变式 2】由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当|PT|最小时,点 P 的 坐标是( )A.(-1,1) B.(0,2) C.(-2,0) D.(1,3)

【变式 3】 已知两点 A(-2,0), B(0,2), 点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点, 则△ABC 面积的最小值是________. 【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最小值.

1 .(08 ·安徽卷)若过点

A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为





? 3 3? , ?? ? 3 3 ? [ ? 3, 3] ( ? 3, 3) ? A. B. C.

? 3 3? ? ? ? 3 , 3 ? ? ? D. ?

答案:C 解析:记圆心为

D(2,0) ,记上、下两切点分别记为 B、C ,则
4

? 3 3? k ? ?? , ? ? 3 3 ?. ? tan150 , tan 30 ? ?,即 ?BAD ? 30? ? ?CAD ,∴ l 的斜率 k ? ?
0 0

题型 3
3.直线

直线的方程

x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 ( x ? 2 y ?1 ? 0
B.

) D.

A.

2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0

x ? 2y ?3 ? 0

答案: D 解析: (利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y)在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 即 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,化简得答案 D.

题型 4:直线与直线的位置关系 4.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 A.2 B.1 C.0 D. ?1 ( )

答案 D 解析:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴ a=-1,选 D. 题型 5:点与直线的位置关系
2 2 ? 5 . 圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 1 0

x ? y ? 14 ? 0 0 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是

(

)A.36

B. 18

C. 6 2 D. 5 2

2 2 x ? y ? 14 ? 0 答案 C 解析:圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的圆心为 (2 ,2),半径为 3 2 ,圆心到直线 的距离为

| 2 ? 2 ? 14 | ?2 5 2 >3 2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C.
题型 6:圆的方程 6. )以点 (2, -1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为 A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3 B. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2 2 2





C. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2 2 2

答案 C 解析 r ?

|3 ? 2-4 ? (- 1)+5| 32+42

=3,故选 C.

? x ? 1 ? cos? ? y ? ?2 ? sin ? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的取值范围是. 10.若直线 3x+4y+m=0 与圆 ?
解析:将圆化成标准方程得 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1 ,圆心 (1,?2) ,半径 r ? 1 . 直线与圆相离,
2 2

5

3 ? 1 ? 4 ? (?2) ? m


32 ? 4 2

?1
,∴

m?5 ? 5

,∴ m ? 0或m ? 10 . ( )

题型 7:直线与圆的位置关系 7.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切, 圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C.

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

答案 B 圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. 题型 8:圆与圆的位置关系
2 2 12.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是_____

答案 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 【解析】曲线化为 ( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线
2 2 2 2

x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

6?6?2 2

? 5 2.
所求的最小圆的圆心在直线
2 2

y ? x 上,其到直

线的距离为 2 ,圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 . 题型 8:线性规划问题

?x ? y ? 1 ? ? x ? y ? ?1 ?2 x ? y ? 2 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围 9.若 x,y 满足约束条件 ? ,目标函数
是 (A) ( ?1 ,2 ) (B) ( ?4 ,2 ) (C)

(?4, 0]

(D)

(?2, 4)
G1 y I 4 I1 3 2 1 -2 -1 0 1 2 3 4 G x F1

答案:B 解析:根据图像判断,当 a=0 时,显然成立;当 a>0 时,直线 ax+2y-z=0

B1

的斜率 k=-a/2>kAC= -1,a<2;当 a<0 时,k=-a/2<kAB=2,a>-4,综合得 a 的取值范围是( ?4 , 2 )

9.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 , 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A.3 B.2 C. ? )

1 3

D. ?

1 2

R D1 S H1 C1

10.设不等式组

所表示的平面区域是 ? 平面区域 ?2 与 ? 对于 ? 1, 1 关于直线 3x-4y-9 对称。 1

中的任意点 A 与 ?2 中的任意点 B,∣AB∣的最小值等于

6

A.

28 5

B. 4

C.

12 5

D. 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 11.若实数 x, y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? m y ? 1 ? 0, ?
(A)-2
?x ? 0

(B)-1
? ?3 x ? y ? 4 ?

(C)1

(D)2

12.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ?

4 分为面积相等的两部分,则 k 的值是 3

( A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

? 2 x ? y ? 4, x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y 13. 设 ? ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y= -x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B

7


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