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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):2-1 函数与方程思想、数形结合思想


第1讲 函数与方程思想、数形结合思想

一、函数与方程思想

[思想概述]
函数与方程是中学数学的重要概念,它们之间有着密切 的联系.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,主要依 据题意,构造恰当的函数,或建立相应的方程来解决问题, 是历年高考的重点和热点. 方程的思想与函数的思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函 数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看

作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,
当且仅当a属于函数f(x)的值域;函数与方程的这种相互转化 关系十分重要.

函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考:
1.函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,就 转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有 关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. 2.数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数

的观点去处理数列问题十分重要,数列也可用方程思想
求解. 3.(1) 解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能

解决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论; (2) 立
体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要 运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空 间直角坐标系后,立体几何与函数的关系更加密切.

[类型讲解]

类型一 函数方程思想在不等式恒成立、函数零点问题
中的应用 【例1】 已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,

f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,
x2),使f′(x0)=k成立.

(1)解 f′(x)=ex-a,令f′(x)=0,得x=ln a. 当x<ln a时,f′(x)<0;当x>ln a时,f′(x)>0.

∴f(x)在(-∞,ln a)上是减函数,在(ln a,+∞)上是增函数.
故当x=ln a时,f(x)取最小值f(ln a)=a-aln a. 于是对一切x∈R,f(x)≥1恒成立, 当且仅当a-aln a≥1. 令g(t)=t-tln t,则g′(t)=-ln t. 当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增; 当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减. 故当t=1时,g(t)取最大值g(1)=1. ①

因此,当且仅当a=1时,①式成立.
综上所述,a的取值集合为{1}.

(2)证明

f?x2?-f?x1? ex2-ex1 由题意知,k= = -a. x2-x1 x2-x1
x

ex2-ex1 令φ(x)=f′(x)-k=e - , x2-x1 ex1 则φ(x1)=- [ex -x -(x2-x1)-1], x2-x1 2 1 ex2 φ(x2)= [ex -x -(x1-x2)-1]. x2-x1 1 2 令F(t)=et-t-1,则F′(t)=et-1. 当t<0时,F′(t)<0,F(t)单调递减; 当t>0时,F′(t)>0,F(t)单调递增.

故当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et-t-1>0. 从而ex2-x1-(x2-x1)-1>0,ex1-x2-(x1-x2)-1>0. ex1 ex2 又 >0, >0,所以φ(x1)<0,φ(x2)>0. x2-x1 x2-x1 因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲 线,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,即f′(x0)=k成立.

[规律方法 ] (1)本题求解的关键在于恰当构造函数,第(1)问

中x∈R,恒有f(x)≥1,转化为求函数f(x)min≥1.第(2)问中对于a
-aln a≥1①,构造函数,求a-aln a最大值为1,从而把不等 式①转化为方程.第(3)问中在第(2)问中判定φ(x1),φ(x2)符号, 构建函数F(t)=et-t-1,利用单调性加以确定,抓住函数这 一灵魂,找到解题的利器.

(2)题目综合考查导数、斜率公式、函数的零点、不等式等基
础知识,灵活利用函数方程思想,有效实施方程、不等式、 函数之间的相互转化.

类型二 函数方程思想在数列中的应用 【例2】 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数 列,若a1=1,则S4=________.
?1? (2)已知函数f(x)= ?3? x,等比数列{an}的前n项和为f(n)-c,则 ? ?

an的最小值为________.

解析

(1)设等比数列{an}的公比为q,

依题意得4a2=a3+4a1,即4q=4+q2. 1-24 所以q=2.于是有S4= =15. 1-2 1 (2)由题设,得a1=f(1)-c=3-c; 2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-9; 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-27,

又数列{an}是等比数列,
?-2? 1 ? ? 2? ? ?2 ? ∴? =?3-c?×?-27?, ? ? ? ? ? ? 9 ?

∴c=1. a3 1 又∵公比q=a =3, 2
?1? 2?1?n-1 所以an=- ?3? =-2?3?n,n∈N*. 3? ? ? ?

因此,数列{an}是递增数列, 2 ∴n=1时,an有最小值a1=- . 3 答案 (1)15 2 (2)-3

[规律方法] (1)等差、等比数列中,通项公式、前n项和公式,

可以看成n的函数,可以用函数方法解决.
(2)而数列求值问题的实质是解方程,所以,方程思想在数列 问题中也有着重要的作用.

类型三 函数方程思想在解析几何中的应用 x2 2 【例3】 (2013· 南通模拟)已知椭圆C1∶ +y =1和圆 2 C2:x2+y2=1,左顶点和下顶点分别为A,B,F是椭圆C1的 右焦点. (1)点P是曲线C1上位于第二象限的一点,若△APF的面积为 1 2 2+ 4 ,求证:AP⊥OP; (2)点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点,且直 线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,证明直线MN恒过定点.

证明 (1)设曲线C1上的点P(x0,y0),且x0<0,y0>0, 1 2 由题意A(- 2,0),F(1,0),∵△APF的面积为 + , 2 4 1 1 1 2 2 ∴S△APF=2· AF· y0=2(1+ 2)y0=2+ 4 ,解得y0= 2 ,
? 2 2 2? ? x0=- 2 ,即P?- , ? 2 2? ? ? ? → → ? 2? 2 2? ? 2 ?? ? ∴AP· OP=? , ?· - , ? ?=0,∴AP⊥OP. 2 2 2 2 ? ?? ?

(2)设直线BM的斜率为k,则直线BN的斜率为2k,又两直线都过 点B(0,-1), ∴直线BM的方程为y=kx-1,直线BN的方程为y=2kx-1.
? ?y=kx-1 由? 2 2 ? ?x +2y =2

,得(1+2k2)x2-4kx=0,

2k2-1 4k 4k 解得xM= 2 ,y =k· 2 -1= 2 , 2k +1 M 2k +1 2k +1
2 ? 4k 2 k -1? ? ? , 2 即M? 2 . ? ?2k +1 2k +1?

? ?y=2kx-1 由? 2 2 ? x + 2 y =2 ?

,得(1+4k2)x2-4kx=0,

解得xN=

4k 4k2+1

4k ,yM=2k· 4k2+1

-1=

4k2-1 4k2+1

,即

2 ? 4k 4 k -1? ? ? , 2 N? 2 . ? ?4k +1 4k +1?

4k2-1 2k2-1 - 4k2+1 2k2+1 直线MN的斜率kMN= 4k 4k = - 4k2+1 2k2+1 ?4k2-1??2k2+1?-?4k2+1??2k2-1? 1 =- , 2k 4k?2k2+1?-4k?4k2+1? 4k ? 2k2-1 1? ? ∴直线MN的方程为y- 2 =-2k?x-2k2+1? , ? 2k +1 ? ? 1 整理得,y=-2kx+1,∴直线MN恒过定点(0,1).

[规律方法] 关于定点、定值问题,一般来说,从两个方面来
解决问题;(1)从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点 (值)与变量无关;(2)直接推理计算,并在计算过程中消去变 量,从而得到定点(值).

二、数形结合思想

[思想概述]
数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形 语言有机结合,达到抽象思维和形象思维的和谐统一.通过 对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观 为精确,从而使问题得到解决.

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应

用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来
阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如 应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手 段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几 何性质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:

1 .要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的
代数特征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义又 分析其代数意义;

2 .选择好突破口,恰当设参、合理用参,建立关系,由数

思形,以形想数,做好数形转化;
3 .挖掘隐含条件,准确界定参数的取值范围,参数的范围 决定图形的范围. 数形结合思想是重要的思维方式,在高考中占有非常重 要的地位.近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与

不等式问题、参数范围问题、可行域与目标函数最值、
向量两重性等,都用到了数形结合的思想方法,它不仅 是我们解题的一种思想方法,还是我们进一步学习、研 究数学的有力武器.

[类型讲解] 类型一 数形结合思想在范围、最值问题中的应用 ?x-y+1≤0, ? 【例1】 (1)若实数x,y满足 ?x>0, ?y≤2, ? ________. |lg x|?0<x≤10?, ? ? (2)(2013· 西安调研)已知函数f(x)=? 1 - x+6?x>10?, ? ? 2 若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 ________. y 则 的最小值是 x

解 (1)画可行域如图所示. y 又 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. x 由图知,过点A的直线OA的斜率最小.
? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2

得A(1,2).

2-0 y ∴kOA= =2.∴x的最小值为2. 1-0 (2)a,b,c互不相等,不妨设a<b<c, ∵f(a)=f(b)=f(c),

如图所示,由图象可知,0<a<1, 1<b<10,10<c<12. ∵f(a)=f(b), ∴|lg a|=|lg b|. 1 1 即lg a=lg ,a= . b b 则ab=1. 所以abc=c∈(10,12). 答案 (1)2 (2)(10,12)

y [规律方法] (1)挖掘代数式 的几何意义,完成图形语言,符号语 x 言转化是解第(1)题的关键. (2)画出函数图象是一项基本技能,要求从画准确图开始(列表、 描点、连线),达到根据函数性质及关键点、线快速画草图的水 平,最后能够看着函数想出图象.

类型二 几何中的数形结合思想 【例2】 (2013· 南师附中模拟)在平面直角坐标系中,设直线 l:kx-y+ 2=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点, → → → OM=OA+OB,若点M在圆C上,则实数k=________. → → → 解析 如图所示,OM=OA+OB,则 四边形OAMB是锐角为60° 的菱形,此时, 2 点O到AB距离为1.由 1. 2=1,解出k=± 1+k 答案 ± 1

[规律方法] 此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将 条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代 数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.


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