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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 集合与常用逻辑用语


数学

川(理)

易错题目辨析练——集合与常用逻辑用语
第一章 集合与常用逻辑用语

A组
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专项基础训练
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1.已知集合 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},R={x|y=x2+1}, M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则 A.P=M B.Q=R C.R=M ( D.Q=N )

解 析

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1.已知集合 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},R={x|y=x2+1}, M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则 A.P=M B.Q=R C.R=M ( D ) D.Q=N

解 析
集合 P 是用列举法表示的,只含有一个元素,即函数 y=x2 +1.集合 Q,R,N 中的元素全是数,即这三个集合都是数集, 集合 Q={y|y=x2+1}={y|y≥1},集合 R 是一切实数.集合 M 的元素是函数 y=x2+1 图象上所有的点.故选 D.

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2.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0

(

)

解 析

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2.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0

( C )

解 析
由已知得,对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0,是全称命题.它 的否定是特称命题, “任意的”的否定是“存在”, “≤0” 的否定是“>0”,故选 C.

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1 3.“x>1”是“x<1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

解 析

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1 3.“x>1”是“x<1”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( A )

解 析
1 1 当 x>1 时,能得出x<1;由x<1 得 x>1 或 x<0.故选 A.

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4.已知集合 A={x|x2- mx+1=0},若 A∩R=?,则实数 m 的取值 范围为 A.m<4 B.m>4 C.0<m<4 D.0≤m<4 ( )

解 析

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4.已知集合 A={x|x2- mx+1=0},若 A∩R=?,则实数 m 的取值 范围为 A.m<4 B.m>4 C.0<m<4 D.0≤m<4 ( A )

解 析
∵A∩R=?,则 A=?,即等价于方程 x2- mx+1=0 无 实数解,即 Δ=m-4<0,即 m<4,选 A.
注意 m<0 时也表示 A=?.

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5.设集合 M={y|y=2-x,x<0},N={a|a= b-1},则 M∩N= ___________.

解 析

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5.设集合 M={y|y=2-x,x<0},N={a|a= b-1},则 M∩N=

{x|x>1} ___________. 解 析
∵y=2-x,x<0,∴M={y|y>1},

∴集合 M 代表所有大于 1 的实数;
由于 N={a|a= b-1},

∴a= b-1≥0,∴N={a|a≥0},
∴集合 N 代表所有大于或等于 0 的实数, ∴M∩N 代表所有大于 1 的实数,即 M∩N={x|x>1}.

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6.已知集合

? ?x+1 ? ? A=?x? ? ?x-3 ?

? ? <0?,B={x|-1<x<m+1},若 ? ?

x∈B 成立

的一个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是 ___________.

解 析

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6.已知集合

? ?x+1 ? ? A=?x? ? ?x-3 ?

? ? <0?,B={x|-1<x<m+1},若 ? ?

x∈B 成立

的一个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是

(2,+∞) ___________.

解 析
? ?x+1 ? ? A=?x? ? ?x-3 ? ? ? <0?={x|-1<x<3}, ? ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A, ∴A? B,∴m+1>3,即 m>2.

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7.若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范 围是________.

解 析

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7.若命题“ax2-2ax-3>0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范

[-3,0] 围是________. 解 析
由题意知 ax2-2ax-3≤0 恒成立,

当 a=0 时,-3≤0 成立; 当 a>0 时,不等式无解,不符合题意,舍去; 当 a<0 时,由 Δ≤0,得-3≤a<0.故-3≤a≤0.

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专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知集合 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若 A=B,

求 x,y 的值.

解 析

A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 8.(10 分)已知集合 A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若 A=B,

求 x,y 的值.

解 析
解 由 A=B 知需分多种情况进行讨论,

由 lg(xy)有意义,则 xy>0. 又 0∈B=A,则必有 lg(xy)=0,即 xy=1.
此时,A=B,即{0,1,x}={0,|x|,y}.

?x=|x|, ?x=y, ? ? ∴?xy=1, 或?xy=1, 解得 x=y=1 或 x=y=-1. ?y=1, ?|x|=1, ? ? 当 x=y=1 时,A=B={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,应舍去;

当 x=y=-1 时,A=B={0,-1,1}满足题意,故 x=y=-1.

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9.(12 分)已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解 析

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9.(12 分)已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解 析
解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10. 由 x2-2x+1-m2≤0(m>0),得 1-m≤x≤1+m. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 是必要不充分条件,
即 p 是 q 的充分不必要条件,即 p?q 且 q p,

∴{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m,m>0}的真子集, ?m>0, ?m>0, ? ? ∴?1-m<-2, 或?1-m≤-2, 即 m≥9 或 m>9. ?1+m≥10, ?1+m>10. ? ?
∴m≥9.∴实数 m 的取值范围为 m≥9.

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1.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解 析

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1.“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 ( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解 析
若“a=1”,则函数 f(x)=|x-a|=|x-1|在区间[1,+∞)上为 增函数;而若 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则 0≤a≤1,所以“a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞) 上为增函数”的充分不必要条件,选 A.

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2.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )

解 析

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2.已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ( C )

解 析
集合 A 表示的是圆心在原点的单位圆,集合 B 表示的是 直线 y=x, 据此画出图象, 可得图象有两个交点, A∩B 即 的元素个数为 2.

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3.下列命题的否定中真命题的个数是

(

)

①p:当 Δ<0 时,方程 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)无实 根;②q:存在一个整数 b,使函数 f(x)=x2+bx+1 在[0,+∞) 上是单调函数;③r:存在 x∈R,使 x2+x+1≥0 不成立. A.0 B.1 C.2 D.3

解 析

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3.下列命题的否定中真命题的个数是

( B )

①p:当 Δ<0 时,方程 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)无实 根;②q:存在一个整数 b,使函数 f(x)=x2+bx+1 在[0,+∞) 上是单调函数;③r:存在 x∈R,使 x2+x+1≥0 不成立. A.0 B.1 C.2 D.3

解 析
由于命题 p 是真命题,∴命题①的否定是假命题;

命题 q 是真命题,∴命题②的否定是假命题;
命题 r 是假命题,∴命题③的否定是真命题. 故只有一个是正确的,故选 B.

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4.已知集合 M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N={x|y=log2(x2+2x -3)},则 M∩N=__________.

解 析

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4.已知集合 M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N={x|y=log2(x2+2x

{x|x>1} -3)},则 M∩N=__________. 解 析
∵a
2

? 3 ?2 1 1 -3a+2=?a-2? - ≥- , 4 4 ? ?

? 1? ? ? ?x|x≥- ?; ∴M= 4? ? ? ?

由 x2+2x-3>0,即(x-1)(x+3)>0, 解得 x>1 或 x<-3,故 N={x|x>1 或 x<-3}. ∴M∩N={x|x>1}.

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5.命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范 围为_______________.

解 析

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5.命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范
[-2 2,2 2] 围为_______________.

解 析
因题中的命题为假命题, 则它的否命题“?x∈R,2x2-3ax +9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因 此只需 Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2.

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6.若 x,y∈R,A={(x,y)|(x+1)2+y2=2},B={(x,y)|x+y+a= 0},当 A∩B≠?时,则实数 a 的取值范围是________,A∩B=? 时,则实数 a 的取值范围是_______________________.

解 析

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6.若 x,y∈R,A={(x,y)|(x+1)2+y2=2},B={(x,y)|x+y+a=

[-1,3] 0},当 A∩B≠?时,则实数 a 的取值范围是________,A∩B=? (-∞,-1)∪(3,+∞) 时,则实数 a 的取值范围是_______________________. 解 析
观察得集合 A 表示的是以(-1,0)为圆心, 2为半径的圆上的 点,B 表示的是直线 x+y+a=0 上的点,若满足 A∩B≠?, 只需直线与圆相切或相交.

|a-1| 即满足不等式 ≤ 2,|a-1|≤2,-2≤a-1≤2, 2

即-1≤a≤3.

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7.(13 分)已知命题 p:函数

? 1 ? 2 f(x)=lg?ax -x+16a?的定义域为 ? ?

R;

命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实数 x 均成立.如果命 题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

解 析

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7.(13 分)已知命题 p:函数

? 1 ? 2 f(x)=lg?ax -x+16a?的定义域为 ? ?

R;

命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实数 x 均成立.如果命 题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

解 析
1 解 命题 p 为真命题等价于 ax -x+ a>0 对任意实数 x 均成 16 立.当 a=0 时,-x>0,其解集不是 R,∴a≠0. ?a>0, ? 于是有? 解得 a>2,故命题 p 为真命题等价于 a>2. 1 2 ?1-4a <0, ? 2x+1-1 2x 2 命题 q 为真命题等价于 a> = = x x? 2x+1+1? 2x+1+1
2

对一切实数 x 均成立.

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7.(13 分)已知命题 p:函数

? 1 ? 2 f(x)=lg?ax -x+16a?的定义域为 ? ?

R;

命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实数 x 均成立.如果命 题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

解 析
由于 x>0,∴ 2x+1>1, 2x+1+1>2,

2 ∴ <1,从而命题 q 为真命题等价于 a≥1. 2x+1+1
根据题意知,命题 p、q 有且只有一个为真命题,

当 p 真 q 假时实数 a 不存在;
当 p 假 q 真时,实数 a 的取值范围是 1≤a≤2.


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