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2014《步步高》高考数学第一轮复习04 任意角、弧度制及任意角的三角函数


§ 4.1

任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.考查三角函数的定义及应用;2.考查三角函数的符号;3.考查弧长公

2014 高考会这样考 式、扇形面积公式. 复习备考要这样做

1.理解任意角的概念,会在坐标系中表示及识别角;2.掌握三角函数的

定义,这是三角函数的基石.

1. 角的概念 (1)任意角:①定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形;②分类:角按旋转方向分为正角、负角和零角. (2)所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,构成的角的集合是 S={β|β=k· +α, 360° k∈Z}. (3)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么,角的 终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不 属于任何一个象限. 2. 弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,正角的弧度数是正数, 负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零. 180 π (2)角度制和弧度制的互化:180° rad,1° =π = rad,1 rad=? π ?° ? ?. 180 1 1 (3)扇形的弧长公式:l=|α|· r,扇形的面积公式:S= lr= |α|·2. r 2 2 3. 任意角的三角函数 y 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,y)时,sin α=y,cos α=x,tan α= .三个三角函数 x 的初步性质如下表:

三角函数 sin α cos α tan α 4. 三角函数线

定义域 R R {α|α≠kπ+ π ,k∈Z} 2

第一象限 符号 + +

第二象限 符号 + -

第三象限 符号 - -

第四象限 符号 - +









如下图,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过 A(1,0)作单 位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T.

三 角 函 数 线 (Ⅲ) (Ⅳ) (Ⅰ) (Ⅱ)

有向线段 MP 为正弦线;有向线段 OM 为余弦线;有向线段 AT 为正切线 [难点正本 疑点清源] 1. 对角概念的理解要准确 (1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”,把“0° ~90° 的角”等同于 “ 第 一 象 限 的 角 ” . 其 实 锐 角 的 集 合 是 {α|0° <α<90° , 第 一 象 限 角 的 集 合 为 } {α|k· <α<k· +90° 360° 360° ,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值 相等. 2. 对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数,它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函 数,也可以看成是以实数为自变量的函数,定义域为使比值有意义的角的范围. y 如 tan α= 有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x,y)的横坐标不等于零,也就是角 α 的 x π ? ? 终边不能与 y 轴重合,故正切函数的定义域为?α|α≠kπ+2,k∈Z?.
? ?

3. 三角函数线是三角函数的几何表示 (1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致,向上为正,向下为负.

(2)余弦线的方向同横轴一致,向右为正,向左为负. (3)当角 α 的终边在 x 轴上时,点 T 与点 A 重合,此时正切线变成了一个点,当角 α 的终 边在 y 轴上时,点 T 不存在,即正切线不存在. (4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三 角函数, 即用有向线段表示三角函数值, 这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.

2π 1. 若点 P 在角 的终边上,且|OP|=2,则点 P 的坐标是________. 3 答案 (-1, 3) 1 2π =2×?-2?=-1, ? ? 3

解析 ∵x=|OP|cos y=|OP|sin

2π = 3.∴点 P 的坐标为(-1, 3). 3

2. (2011· 江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上 2 5 一点,且 sin θ=- ,则 y=________. 5 答案 -8 解析 因为 sin θ= y 2 5 =- , 5 42+y2

所以 y<0,且 y2=64,所以 y=-8. 9π 3. 下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45°(k∈Z) C.k· -315° 360° (k∈Z) 答案 C 9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ+ π (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 所以只有答案 C 正确. 4. 已知 cos θ· θ<0,那么角 θ 是 tan A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 解析 若 cos θ>0,tan θ<0,则 θ 在第四象限; 若 cos θ<0,tan θ>0,则 θ 在第三象限,∴选 C. 5. 已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 ( ) 9 B.k· + π (k∈Z) 360° 4 5π D.kπ+ (k∈Z) 4 ( )

A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4 答案 C 解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,

?2r+l=6, ?r=1, ?r=2, ? ? ? 则?1 解得? 或? ? ? ?l=4 ?l=2. ?2rl=2, ?
l 4 l 2 从而 α= = =4 或 α= = =1. r 1 r 2

题型一 角的有关问题 例1 (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6 θ (2)若角 θ 的终边与 π 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第一象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2 思维启迪:利用终边相同的角进行表示或判断;根据角的定义可以把角放在坐标系中确 定所在象限. 解 π (1)终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α=kπ+ ,k∈Z}. 3

6 6 θ (2)所有与 π 角终边相同的角的集合是{θ|θ= π+2kπ,k∈Z},∴所有与 角终边相同的 7 7 3 θ 2 2 角可表示为 = π+ kπ,k∈Z. 3 7 3 θ 2 20 34 ∴在[0,2π)内终边与 角终边相同的角有 π, π, π. 3 7 21 21 π (3)∵2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z, 2 α π ∴4kπ<2α<4kπ+π,kπ< <kπ+ ,k∈Z. 2 4 α ∴2α 在第一或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上, 角终边在第一或第三象限. 2 探究提高 所有与 α 角终边相同的角(连同角 α 在内),可以表示为 β=k· +α,k∈Z; 360° 在确定 α 角所在象限时,有时需要对整数 k 的奇、偶情况进行讨论. 已知角 α=45° , (1)在区间[-720° ,0° ]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β;

k ? ? +45° ,k∈Z?, (2)设集合 M=?x|x=2×180°
? ?

k ? ? +45° ,k∈Z?,那么两集合的关系是什么? N=?x|x=4×180°
? ?



(1)所有与角 α 有相同终边的角可表示为

β=45° +k×360° (k∈Z), 则令-720° ≤45° +k×360° , ≤0° 得-765° ≤k×360° ≤-45° , 765 45 解得- ≤k≤- ,从而 k=-2 或 k=-1, 360 360 代入得 β=-675° β=-315° 或 . (2)因为 M={x|x=(2k+1)×45° ,k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集 合; 而集合 N={x|x=(k+1)×45° ,k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集 合,从而:M?N. 题型二 三角函数的定义 例2 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= 3 1 x,求 sin α+ 的值. 6 tan α 1 的值. tan α

思维启迪:先根据任意角的三角函数的定义求 x,再求 sin α+ 解 ∵P(x,- 2) (x≠0),

∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 又 cos α= 3 x 3 x,∴cos α= 2 = x. 6 6 x +2

∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, - 2 6 1 10 有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α - 2 2 3 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ; tan α 6 6 当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ 6 5- 6 1 = . tan α 6

探究提高 任意角的三角函数值与终边所在的位置有关,与点在终边上的位置无关,故 要首先判定 P 点所在的象限,确定 r,最后根据定义求解. 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. 解 ∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,

∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t) (t≠0), 则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|, 当 t>0 时,r=5t, y -3t 3 x 4t 4 sin α= = =- ,cos α= = = , r 5t 5 r 5t 5 y -3t 3 tan α= = =- ; x 4t 4 y -3t 3 当 t<0 时,r=-5t,sin α= = = , r -5t 5 x 4t 4 y -3t 3 cos α= = =- ,tan α= = =- . r -5t 5 x 4t 4 3 4 3 综上可知,sin α=- ,cos α= ,tan α=- 5 5 4 3 4 3 或 sin α= ,cos α=- ,tan α=- . 5 5 4 题型三 三角函数线、三角函数值的符号 例3 sin?cos θ? (1)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号; cos?sin 2θ? 1 (2)已知 cos α≤- ,求角 α 的集合. 2 思维启迪:由 θ 所在象限,可以确定 sin θ、cos θ 的符号;解三角不等式,可以利用三角 函数线. 解 π (1)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), 2

∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π (k∈Z), -1≤sin 2θ<0,∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. ∴ sin?cos θ? sin?cos θ? <0.∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 2 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 终边的范围, 故满足条件的角 α 的 2 4 集合为{α|2kπ+ π≤α≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 探究提高 (1)熟练掌握三角函数在各象限的符号.

(2)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤: ①用边界值定出角的终边位置; ②根据不等式(组)定出角的范围; ③求交集,找单位圆中公共的部分;

④写出角的表达式. (1)y= sin x- 3 的定义域为________. 2

(2)已知 sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点 P(tan θ,cos θ)在第几象限? (1)答案 π 2 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z} 3 3 3 3 ,作直线 y= 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、 2 2

解析 ∵sin x≥

OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 α 的终边的范围, 故满足条件的角 α 的集合为 π 2 {x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ π,k∈Z}. 3 3 (2)解 π 方法一 由 sin 2θ<0,得 2kπ+π<2θ<2kπ+2π (k∈Z),kπ+ <θ<kπ+π (k∈Z). 2

当 k 为奇数时,θ 的终边在第四象限; 当 k 为偶数时,θ 的终边在第二象限. 又因 cos θ≤0,所以 θ 的终边在左半坐标平面(包括 y 轴),所以 θ 的终边在第二象限. 所以 tan θ<0,cos θ<0,点 P 在第三象限. 方法二 由|cos θ|=-cos θ 知 cos θ≤0,① 又 sin 2θ<0,即 2sin θcos θ<0②
?sin θ>0 由①②可推出? ?cos θ<0

因此 θ 在第二象限,P(tan θ,cos θ)在第三象限. 题型四 扇形的弧长、面积公式的应用 例4 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 思维启迪:(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到;(2)建立关于 α 的函数. 解 (1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,则

π π 10π α=60° ,R=10,l= ×10= = (cm), 3 3 3 1 10π 1 π S 弓=S 扇-S△= × ×10- ×102×sin 2 3 2 3 = 50 50 3 π 3 π- =50? - ? (cm2). 3 2 ?3 2 ?

C (2)扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α

1 1 ? C ∴S 扇= α· 2= α·2+α?2 R 2 2 ? ? = C2 1 C2 1 C2 α· · ≤ . 2= 2 4+4α+α 2 4 16 4+α+ α

C2 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值 . 16 探究提高 (1)在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)从扇形面积出发,在弧度制下使问题转化为关于 α 的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值. 1 1 (3)记住下列公式: ①l=αR; ②S= lR; ③S= αR2.其中 R 是扇形的半径,是弧长, l α(0<α<2π) 2 2 为圆心角,S 是扇形面积. (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆 心角是多少弧度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解 (1)设扇形的圆心角为 θ rad,则扇形的周长是 2r+rθ.

依题意:2r+rθ=πr,∴θ=(π-2)rad. 1 1 ∴扇形的面积 S= r2θ= (π-2)r2. 2 2 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l, 则 l+2r=20,即 l=20-2r (0<r<10). 1 1 ∴扇形的面积 S= lr= (20-2r)r 2 2 =-r2+10r=-(r-5)2+25. ∴当 r=5 时,S 有最大值 25, l 此时 l=10,α= =2 rad. r 因此,当 α=2 rad 时,扇形的面积取最大值.

数形结合思想在三角函数线中的应用

典例:(12 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 审题视角 (1)求定义域,就是求使 3-4sin2x>0 的 x 的范围.用三角函数线求解.

(2)比较大小,可以从以下几个角度观察:

θ θ θ θ ①θ 是第二象限角, 是第几象限角?首先应予以确定.②sin ,cos ,tan 不能求出 2 2 2 2 确定值,但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小. 规范解答 解 (1)∵3-4sin2x>0,

3 ∴sin2x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< .[2 分] 2 2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示), π π ∴x∈?kπ-3,kπ+3?(k∈Z).[4 分] ? ? (2)∵θ 是第二象限角, π ∴ +2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z, 2 π θ π ∴ +kπ< < +kπ,k∈Z, 4 2 2 θ ∴ 是第一或第三象限的角.[6 分] 2 (如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得: θ ①当 是第一象限角时, 2 sin θ θ θ =AB,cos =OA,tan =CT, 2 2 2

θ θ θ 从而得,cos <sin <tan ;[8 分] 2 2 2 θ ②当 是第三象限角时, 2 sin θ θ θ =EF,cos =OE,tan =CT, 2 2 2

θ θ θ 得 sin <cos <tan .[10 分] 2 2 2 θ θ θ θ 综上可得,当 在第一象限时,cos <sin <tan ; 2 2 2 2 θ θ θ θ 当 在第三象限时,sin <cos <tan .[12 分] 2 2 2 2 温馨提醒 1.第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函数图象,也可 以用三角函数线. 用三角函数线更方便.2.第(2)小题比较大小, 由于没有给出具体的角度, θ 所以用图形可以更直观的表示.3.本题易错点: ①不能确定 所在的象限; ②想不到应用三 2 角函数线.原因在于概念理解不透,方法不够灵活.

方法与技巧 1. 在利用三角函数定义时, P 可取终边上任一点, 点 如有可能则取终边与单位圆的交点. |OP| =r 一定是正值. 2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切, 四余弦. 3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 失误与防范 1.注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一类是 象限角,第二、第三类是区间角. 2.角度制与弧度制可利用 180° rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一 =π 致,不可混用. 3.注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 角 α 的终边过点 P(-1,2),则 sin α 等于 A. 5 5 2 5 B. 5 C.- 5 5 ( )

2 5 D.- 5

答案 B 解析 由三角函数的定义, 得 sin α= 2 2 5 2 2= 5 . ?-1? +2 ( )

2. 若 α 是第三象限角,则下列各式中不成立的是 A.sin α+cos α<0 C.cos α-tan α<0 答案 B 解析 在第三象限,sin α<0,cos α<0,tan α>0,则可排除 A、C、D,故选 B. 3. 已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 B.tan α-sin α<0 D.tan αsin α<0

(

)

A.2 答案 C

B.4

C.6

D.8

1 解析 设扇形的半径为 R,则 R2|α|=2, 2 ∴R2=1,∴R=1, ∴扇形的周长为 2R+|α|· R=2+4=6,故选 C. 4. 有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是 A.1 答案 A 解析 ①正确,②不正确, π 2π π 2π ∵sin =sin ,而 与 角的终边不相同. 3 3 3 3 ③不正确.sin α>0,α 的终边也可能在 y 轴的非负半轴上. x x ④不正确.在三角函数的定义中,cos α= = 2 2,不论角 α 在平面直角坐标系的任 r x +y 何位置,结论都成立. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第________象限. 答案 二 解析 点 P 在第三象限,∴tan α<0,cos α<0. ∴α 在第二象限. 6. 设 α 为第二象限角, 其终边上一点为 P(m, 5), cos α= 且 答案 10 4 2 m, sin α 的值为________. 则 4 B.2 C.3 D.4 -x x2+y2 . ( )

解析 设 P(m, 5)到原点 O 的距离为 r, m 2 则 =cos α= m, r 4 ∴r=2 2,sin α= 5 5 10 = = . r 2 2 4

7. 函数 y= sin x+

1 -cos x的定义域是____________________. 2

π 答案 ?3+2kπ,π+2kπ?(k∈Z) ? ?

?sin x≥0, ?sin x≥0, ? ? 解析 由题意知?1 即? 1 ?2-cos x≥0, ?cos x≤2. ? ?
π ∴x 的取值范围为 +2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. 3 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m) (m≠0)且 sin θ= 限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. 解 由题意,得 r= 3+m2, m 2 = m. 3+m2 4 2 m,试判断角 θ 所在的象 4

所以 sin θ=

因为 m≠0,所以 m=± 5,故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角, x - 3 6 所以 cos θ= = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ= = =- ; x - 3 3 当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角, x - 3 6 所以 cos θ= = =- , r 2 2 4 y - 5 15 tan θ= = = . x - 3 3 9. (12 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm,

?1lr=1, ? ? ?r=1, 则?2 解得? ?l=2. ? ?l+2r=4, ?
l ∴圆心角 α= =2. r 如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 弧度. ∴AH=1· 1=sin 1(cm),∴AB=2sin 1(cm). sin

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 4 1. 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30° ),且 cos α=- ,则 m 的值为 5 1 A.- 2 答案 B 解析 ∵r= 64m2+9,∴cos α= 4m2 1 1 ∴m>0,∴ = ,即 m= . 2 64m2+9 25 3π 3π 2. 已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 ? ? π A. 4 答案 D 解析 由 sin 3π 3π >0,cos <0 知角 θ 是第四象限的角, 4 4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4 ( ) 4 =- , 5 64m +9
2

(

)

1 B. 2

C.-

3 2

D.

3 2

-8m

3π cos 4 7π ∵tan θ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ= . 3π 4 sin 4 3. 给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 答案 A 解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° 故①错; , 当三角形的内角为 90° 时, π 5π π 其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin =sin ,但 与 6 6 6 5π 的终边不相同,故④错;当 cos θ=-1,θ=π 时既不是第二象限角,又不是第三象限 6 B.2 C.3 D.4 ( )

角,故⑤错.综上可知只有③正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P(-4m,3m) (m>0)是 α 终边上一 点,则 2sin α+cos α=________. 答案 2 5

3 4 解析 由条件可求得 r=5m,所以 sin α= ,cos α=- , 5 5 2 所以 2sin α+cos α= . 5 5. 函数 y= 2cos x-1的定义域为________. π π 答案 ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ? 解析 ∵2cos x-1≥0, 1 ∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). π π ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ? 6. 一扇形的圆心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________. 答案 (7+4 3)∶9

解析 设扇形半径为 R,内切圆半径为 r. 2 3? 则(R-r)sin 60° =r,即 R=?1+ r. 3 ? ? 7+4 3 2 1 1 2π π 又 S 扇= αR2= × ×R2= R2= πr , 2 2 3 3 9 ∴ S扇 7+4 3 = . πr2 9

三、解答题 7. (13 分)已知 sin α<0,tan α>0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 (3)试判断 tan 解 α α α sin cos 的符号. 2 2 2

(1)由 sin α<0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上;

由 tan α>0,知 α 在第一、三象限, 故 α 角在第三象限,其集合为

3π {α|(2k+1)π<α<2kπ+ ,k∈Z}. 2 3π (2)由(2k+1)π<α<2kπ+ , 2 π α 3π 得 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z, 2 2 4 α 故 终边在第二、四象限. 2 α α α α (3)当 在第二象限时,tan <0,sin >0,cos <0, 2 2 2 2 所以 tan α α α sin cos 取正号; 2 2 2

α α α α 当 在第四象限时,tan <0,sin <0,cos >0, 2 2 2 2 所以 tan α α α sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α sin cos 取正号. 2 2 2

因此,tan


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