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2015高考大题之三角函数


2015 高考大题之三角函数
1.已知 a ? (3, ? cos(? x )), b ? (sin(? x), 3) ,其中 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周 期为 ? . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .且 f ( ) ? 3 , a ? 3b ,求 角 A 、 B 、 C 的大小. 2. (本题满分 12 分)已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆 O 交于点

A 2

A ( x1 , y1 ) ,将射线 OA 按逆时针方向旋转
交于点 B ( x2 , y2 ) , f (? ) ? x1 ? x2 ;

2? 后与单位圆 O 3

(Ⅰ)若角 ? 为锐角,求 f (? ) 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若

3 , c ? 3 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 a 的值。 2 3.△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,且 3a cos A ? 6(b cos C ? c cos B) 。 f ( A) ?
(1) 求 tan 2 A 的值; (2) 若 sin(

?

1 ? B) ? , c ? 2 2 ,求△ABC 的面积。 2 3

4、已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x) , n ? (1, 2 cos x) , 设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期与最大值; (Ⅱ) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积为
3 ,求 a 的值. 2

5.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (a cos B ? b cos A) cos 2C ? c ? cos C . (1)求角 C; (2)若 b ? 2a , ?ABC 的面积 S ? 6.在△ ABC 中,已知 C ? (1)求 A 的值; (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积. 7. (本小题满分 12 分)

?
6

3 sin A ? sin B ,求 sin A 及边 c 的值. 2

,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n .

在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b . 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 8.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 中 S?ABC 为△ ABC 的面积) .

b 2 ? c2 ? a2 8 ? S?ABC (其 2 3

B?C ? cos 2 A ; 2 (Ⅱ)若 b ? 2 ,△ ABC 的面积为 3,求 a .
(Ⅰ)求 sin
2

9.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度。 若电视塔的实际高度为 125m, 试问 d 为多少时,? - ? 最大?

n ? ? cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x ? , 10. 已知 m ? (cos ? x ? sin ? x, 3 cos ? x) , 其中 ω>0. 设
函数 f(x)= m ? n ,且函数 f(x)的周期为 π. (Ⅰ ) 求 ω 的值; (Ⅱ )在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,当 f(B)=1 时,判断△ ABC 的形状.

11.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b ? 4 , BA ? BC ? 8 . (1)求 a 2 ? c 2 的值; (2)求函数 f ( B) ? 3 sin B cos B ? cos 2 B 的值域.
12.如图,△ABC 中.角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c 满足 c=l, a 2 ? b 2 ? ab ? 1, 以 AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD. (1)求∠ACB 的大小; (2)设∠ABC= ? ,| CD |2 ? f (? ) .试求函数 f (? ) 的最大值及 f (? ) 取得 最大值时的 ? 的值.

2 13. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x) sin x ? m sin( x ?

?

) sin( x ? ) , 4 4

?

(1)当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ? (2)当 tan a =2 时, f ( a ) = 14.已知函数

? ? 3? ? 上的取值范围; , ?8 4 ? ?

3 ,求 m 的值。 5

, 2 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x ( m ? 0) 的最大值为 .

(Ⅰ )求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域; (Ⅱ )已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 的边分别是 a , b ,求

? ? 3 , f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所对
4 4

1 1 ? 的值. a b

? ? ? 15. 已知函数 f ( x) ? ?2sin( x ? ) ? sin x ? cos x ? 3sin 2 x , x ? R . 3 ? ? f ( x ) (1)求函数 的最小正周期;
? ?? (2)求 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 4?

16.已知向量 a

3 ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
2

(Ⅰ)当 a // b 时,求 cos (Ⅱ)设函数 若

x ? sin 2 x 的值; f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,
6 3
, 求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

a ? 3, b ? 2, sin B ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值 6? ? 3?

? ??

范围. 18.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

(I) 求函数 f ? x ? 的解析式, 并写出 f ? x ? 的单调减区间; ( II ) 已 知 ?ABC 的 内 角 分 别 是 A , B , C , 若

f

B ? ? A? ? 1 , c o s

4 ,求sinC 的值. 5

19. 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x(? ? 0), f ( x) 的两条相邻对称 轴间的距离大于等于

(Ⅰ)求 ? 的取值范围;

π . 2

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c ? 3 , b ? c ? 3, f ( A) ? 1, 当 ? ? 1 时,求△ ABC 的面积. 20.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (I)求 f ( x) 的值域和单调递增区间;

sin A 3 cos B . ? a b

x x x 记 f ( x) ? m ? n , , ?1), n ? (cos , cos 2 ) , 4 4 4

C 的对边分别是 a 、b 、c , (II) 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C ,
若 f ( A) ? ?

1 , a ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 2

22.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(1)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合;

1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2 23. 已知 ?ABC 是半径为 R 的圆内接三角形,且 2R ? (sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b)sin B .
(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? (1)求角 C ; (2)试求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 24.已知向量 a ? (2sin(? x ?

2? ), 2), b ? (2 cos ? x, 0)(? ? 0) ,函数 f ( x) ? a b 的图象与 3

直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (1)求函数 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间; (2)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 在 12

[0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
25.如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上. (Ⅰ)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(Ⅱ)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面 积最小?并求出面积的最小值.

26.
3 在?ABC中,已知a, b, c成等比数列,且 cos B ? . 4 3 ? I ? 求 cot A ? cot C; ? II ? 设BA ? BC= , 求a ? c的值. 2

27. 如图,直角三角形 ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 1, BC ? 3 .点 M , N 分别在边 AB 和

AC 上( M 点和 B 点不重合),将 ?AMN 沿 MN 翻折,?AMN 变为 ?A?MN ,使顶点 A? 落 在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设 ?AMN ? ? . (Ⅰ)用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (Ⅱ)求线段 A?N 长度的最小值.

28.在△ABC 中,已知 AB=2,AC= 2 13 ,BC=8,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E, 连结 DE。 ⑴求角 B 的值; ⑵若四边形 ACDE 的面积为
33 3 ,求 AE· CD 的最大值。 4
A B C D E

答案 2015 高考大题之三角函数
1.已知 a ? (3, ? cos(? x )), b ? (sin(? x), 3) ,其中 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周 期为 ? . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .且 f ( ) ? 3 , a ? 3b ,求 角 A 、 B 、 C 的大小. 1. 【解析】(1) f ( x) ? 3sin(? x) ? 3 cos(? x) ? 2 3 sin(? x ? 故? ? 2 ,

A 2

?
6

) ,T ?

2?

?

?? ,

………………3 分

? ? ? ? f ( x) ? 2 3 sin(2 x ? ) ,由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 6 2 6 2 ? ? 得: k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 6 3 ? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) . ………………6 分 6 3 ? 1 A (2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 sin( A ? ) ? . 2 6 2 ? ? 5 ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? ? .所以 A ? . ………………9 分 3 6 6 6 a b 1 ? 因为 , a ? 3b ,所以 sin B ? . sin A sin B 2 ? ? ? 因为 a ? b ,所以 A ? , B ? , C ? . ………………12 分 3 6 2 2. (本题满分 12 分)已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆 O 交于点 2? A ( x1 , y1 ) ,将射线 OA 按逆时针方向旋转 后与单位圆 O 3
交于点 B ( x2 , y2 ) , f (? ) ? x1 ? x2 ; (Ⅰ)若角 ? 为锐角,求 f (? ) 的取值范围; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若

3 , c ? 3 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求 a 的值。 2 2? ) 2. 解:由三角函数定义知, x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 3 f ( A) ?

f (? ) ? x1 ? x2 ? cos ? ? cos(? ?
由角 ? 为锐角知, ∴

2? 3 3 ? ) ? cos ? ? sin ? ? 3 sin(? ? ) 3 2 2 3


?
3

?? ?

?
3

?

5? 6

1 ? ? s i n? (? ? ) 2 3

1

3 ? ? 3 sin(? ? ) ? 3 2 3
3 2
得 sin( A ?

∴ f (? ) 的取值范围是 ?

? 3 ? , 3 ? ? 2 ? ?
∴A ?

(Ⅱ )由 f ( A) ? 由 S ?ABC ?

?
3

)?

? 4? 3 ? ∵ ? A? ? 3 3 3 2

?
3

1 bc sin A ? 3 3, c ? 3 得 b ? 4 2

由余弦定理得 a ? 13

3.△ABC 中,角 A、B、C 的对边 a、b、c,且 3a cos A ? 6(b cos C ? c cos B) 。 (1) 求 tan 2 A 的值; (2) 若 sin(

?

1 ? B) ? , c ? 2 2 ,求△ABC 的面积。 2 3

3.解: (1)由正弦定理得 3sin Acos A ? 6 sin( B ? C) ,得 cos A ?

6 3 , , sin A ? 3 3

tan A ?

2 , tan 2 A ? 2 2 。 2 1 2 2 , , sin B ? 3 3 5 3 9

(2) cos B ?

sinC ? sin( A ? B) ? sinAcosB? cosAsinB ?



a b c 1 8 6 2 8 3 ? ? 2 得a ? , S ? ? ab sin C ? , b? sinA sin B sin C 2 5 5 5

4、已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x) , n ? (1, 2 cos x) , 设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期与最大值; (Ⅱ) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面积为
4、解: (1) f ( x ) ? m n ?

3 ,求 a 的值. 2

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 3,

∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2) 由 f ( x ) ? 4 得 sin(2 A ?

2? ? ? , f ( x ) 的最大值为 5 ????6 分 2

?
6

)?

1 3 1 ? , 0? A?? , 又 S ? bc sin A ? , ?A? , 2 2 2 3

?c ? 2
由余弦定理得: a ?

3

??????12 分

5.在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 (a cos B ? b cos A) cos 2C ? c ? cos C . (1)求角 C;

3 sin A ? sin B ,求 sin A 及边 c 的值. 2 2 5.解: (1)∵cos2C=cosC,∴2cos C-cosC-1=0 1 2? 即(2cosC+1)(cosC-1)=0,又 0<C<π,∴ cos C ? ? ,∴C= .………6 分 2 3 2? 2 2 2 (2)由余弦定理得:c =a +(2a) -2a· (2a)cos =7a2,∴c= 7 a 3 21 又由正弦定理得:sinC= 7 sinA,∴sinA= .………9 分 14 3 1 1 ∵S= absinC,∴ absinC= sinA· sinB, 2 2 2
(2)若 b ? 2a , ?ABC 的面积 S ?

6 2? a b 3 ? c ? = .………12 分 ? ? ? 2 ,得:c= 2 sin ? ? 2 3 ? sin C ? sin A sin B sin C ? 6.在△ ABC 中,已知 C ? ,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n . 6 (1)求 A 的值; (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.
∴? 6(1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 , 又C ? ………………………………2 分

2

π 5π , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ………………………4 分 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ……………………………6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . …………7 分 6 6 6 3 6 6
(2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x , 由(1)知 A ? C ?

π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3
2π , 3
……10 分

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos 解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 ,

………………………12 分

1 1 2π 9 3 BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin ? 2 2 3 4 7. (本小题满分 12 分)
所以 SΔ ABC ?

在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (1)求 A 的大小; (2)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b . 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 7. 解:(Ⅰ )依题意得 2 sin( A ? ∴

?
3

) ? 2 ,即 sin( A ?

?
3

) ?1

∵0 ? A ? ? ,

?
3

6 a b a ? sin B ? 2 2 , (Ⅱ )方案一:选择① ② 由正弦定理 ,得 b ? sin A sin B sin A 2? 6 A ? B ? C ? ? ,? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 4 . 3 3 2

? A?

?

?

4? , 3

∴A ?

?

?

?

,

∴A ?

?

. ----6 分

1 1 2? 6 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ? ? 3 ? 1 . ---------12 分 2 2 4 2 2 2 2 2 2 方案二:选择① ③ 由余弦定理 b ? c ? 2bc cos A ? a ,有 b ? 3b ? 3b ? 4 ,则 1 1 1 b ? 2 , c ? 2 3 ,所以 S ? bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 . 2 2 2 6 说明:若选择② ③ ,由 c ? 3b 得, sin C ? 3 sin B ? ? 1 不成立,这样的三角形不存. 2 b 2 ? c2 ? a2 8 ? S?ABC (其 8.在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,且 2 3 中 S?ABC 为△ ABC 的面积) . 2 B?C ? cos 2 A ; (Ⅰ)求 sin 2 (Ⅱ)若 b ? 2 ,△ ABC 的面积为 3,求 a . 2bc cos A 8 1 ? ? bc sin A 即 3 cos A ? 4 sin A ? 0 8、解析: (Ⅰ)由已知得 2 3 2 3 ? sin A ? 5 4 cos A ? 5 B?C 1 ? cos A cos A 1 sin 2 ? cos 2 A ? ? cos 2 A ? 2 cos 2 A ? ? 2 2 2 2 16 4 1 59 ? 2? ? ? ? ??????6 分 25 2 ? 5 2 50 1 3 S ? ABC ? bc s i n A ? 3, b ? 2 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 5 2 ?c ? 5 又? a2 ? 62 ? c2 ? 2b cos A 4 ? a 2 ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? 13 5 ?S ?

? a ? 13 ??????????????12 分
9.某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大, 可以提高测量精确度。 若电视塔的实际高度为 125m, 试问 d 为多少时,? - ? 最大?

9.[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差 正切及不等式的应用。 (1)



h H H H ,同理: AB ? , BD ? 。 ? tan ? ? AD ? tan ? tan ? AD tan ?
H H h , ? ? tan ? tan ? tan ?

AD—AB=DB,故得

解得 H ?

h tan ? 4 ?1.24 ? ? 124. tan ? ? tan ? 1.24 ? 1.20

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m。 (2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) (当且仅当 d ? H ( H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, 取等号) d? ? 2 H ( H ? h) , d

故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大。

故所求的 d 是 55 5 m。

n ? ? cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x ? , 10. 已知 m ? (cos ? x ? sin ? x, 3 cos ? x) , 其中 ω>0. 设
函数 f(x)= m ? n ,且函数 f(x)的周期为 π. (Ⅰ ) 求 ω 的值; (Ⅱ )在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a,b,c 成等差数列,当 f(B)=1 时,判断△ ABC 的形状.

10. 【解析】 :(Ⅰ )∵ m= (cos ?x ? sin ?x, 3 cos ?x) ,n= ?cos ?x ? sin ?x,2 sin ?x ? (ω>0) , ∴ f(x)=m· n= cos 2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 cos ?x sin ?x …………………………………………2 分 ?? ? ∴ f ( x) ? 2 sin ? 2?x ? ? ? cos 2?x ? 3 sin 2?x . 6? ? 2? ? ? ? ? ? 1 .…………………………………………5 分 ∵ 函数 f(x)的周期为 π,∴T ? 2? ? 1 ? (Ⅱ )在△ ABC 中 f ( B) ? 1,? 2 sin(2 B ? ) ? 1. ∴sin(2 B ? ) ? .………………………6 分 6 6 2 ? ? 13 ? 5? ? 又∵ 0<B<π,∴ <2B+ < ? .∴ 2B+ = .∴ B= .………………8 分 6 6 6 6 3 6 ∵ a,b,c 成等差数列,∴ 2b=a+c.…………………………………………………9 分 ? ?a ? c ?2 . a2 ? c2 ? b2 1 ∴ cosB=cos = ? , ∴ac ? a 2 ? c 2 ? 3 2ac 2 4 化简得 a=c,……………………………………………………………………………11 分 ? 又∵ B= ,∴ △ ABC 为正三角形.…………………………………………………12 分 3

11.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b ? 4 , BA ? BC ? 8 . (1)求 a 2 ? c 2 的值; (2)求函数 f ( B) ? 3 sin B cos B ? cos 2 B 的值域. 11.解(1)因为 BA ? BC ? 8 ,所以 ac cos B ? 8 .?????????3 分 由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 16 因为 b ? 4 ,所以 a 2 ? c 2 ? 32 .????????????????6 分 (2)因为 a2 ? c2 ? 2ac, 所以 ac ? 16 。 所以 cos B ?

8 1 ? ? . 因为 B ? ? 0, ? ? , 所以 0 ? B ? ac 2 3

因为 f ( B) ? 3 sin B cos B ? cos 2 B ? 由于

3 1 ? 1 sin 2 B ? (1 ? cos 2 B) ? sin(2 B ? ) ? 2 2 6 2

π π 5π ? 2 B ? ≤ ,所以 sin(2 B ? π ) ? ? 1 ,1? , ? 6 ? ?2 ? 6 6 6

所以 f ( B) 的值域为 ?1, 3 ? . ? ? 2? ?

?????

?? 12

分 12.如图,△ABC 中.角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c 满足 c=l, a 2 ? b 2 ? ab ? 1, 以 AB 为边向△ABC 外作等边三角形△ABD.
(1)求∠ACB 的大小; (2)设∠ABC= ? ,| CD |2 ? f (? ) .试求函数 f (? ) 的最大值及 f (? ) 取得最大值时的 ? 的值.

12.解⑴ 在 ?ABC 中, cos C ? ∠ ACB ? ∴

?
3

a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 1 1 ? ? 2ab 2ab 2
4分

? 2? ? c ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? ⑵ 由正弦定理知 a ? ? ? ? 3 ? 3 ? sin 3 ? ? ? 2 ∴ f ?? ? ? a ? 1 ? 2a ? cos ? ? ? ? 3 ? ? 4 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? 3 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ?

6分

2? ? 2? ?? 2 ? 2? ? 1 ? cos ? ? 2? ? ? ? sin ? ? 2? ? ? 1 ? 3? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 5 2? ? 2? ? ? 2? ? ? 5 4 ? 5? ? ? ? ? 3 sin ? ? 2? ? ? cos ? ? 2? ? ? ? ? sin ? ? 2? ? 10 分 3 3? ? 3 ? ? 3 ?? 3 3 ? 6 ? ? ? 2? ? 由于 ? ? ? 0, 12 分 ? ,故仅当 ? ? 时, f ?? ? 取得最大值 3. 3 ? 3 ? ? ? 2 13. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? cot x) sin x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) , 4 4 ? ? 3? ? (1)当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ? , 上的取值范围; ?8 4 ? ? 3 (2)当 tan a =2 时, f ( a ) = ,求 m 的值。 5 ?
13 解: (1)当 m ? 0时,

1 1 2 ? 1 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2
又由 x ? ?

? ? 5? ? ? ? 2 ? ? ? 3? ? , ? 得2 x ? ? ?0, ? , 所以 sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? . 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? ?8 4 ?
2 ? 1 ? 1? 2 ? sin(2 x ? ) ? ? ?0, ?. 2 4 2 ? 2 ?
——6 分

从而 f ( x) ? (2)

m 1 ? cos 2 x 1 m cos 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2 2 1 1 ? ?sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x ? ? 2 2 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ?
由 tan a ? 2 得 sin2a=

2 ? a cos a 2 tan a 4 ? ? , 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5

cos2a=

cos 2 a ? sin 2 a 1 ? tan 2 a 3 3 1 ?4 3? 1 ? ? ? ,所以 ? ? ? (1 ? m) ? ? , 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5 2 ?5 5? 2
——12 分 , 2 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x ( m ? 0) 的最大值为 .

得 m ? ?2 14.已知函数

(Ⅰ )求函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 上的值域; (Ⅱ )已知 ?ABC 外接圆半径 R ?

? ? 3 , f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B 所对
4 4

1 1 的边分别是 a , b ,求 ? 的值. a b
14.解(1)由题意, f ( x)的最大值为 m ? 2, 所以 m ? 2 ? 2
2 2

π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) .…………………………………4 分 4
f ( x) 在 [0,

?

π ? , π ? 递减, ] 上递增.在 ? ? 4 4 ? ?

所以函数 f ( x) 在 ?0,π? 上的值域为 [? 2 ,2] ;…………………………………5 分

π π (2)化简 f ( A ? ) ? f (B ? ) ? 4 6 sin Asin B 得 4 4

sin A ? s iB n ?

2 6A sin B s……7 in 分 .

由正弦定理,得 2R ? a ? b ? ? 2 6ab ,……………………………………………9 分 因为△ ABC 的外接圆半径为 R ? 所以

3 . a ? b ? 2ab .…………………………11 分

1 1 ? ? 2 …………………………………………………………………12 分 a b

? ? ? 15. 已知函数 f ( x) ? ?2sin( x ? ) ? sin x ? cos x ? 3sin 2 x , x ? R . 3 ? ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;
? ?? (2)求 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 4? 15. 解析:

? ? ? ? f ( x) ? ? 2( sinx cos ? cos x sin ) ? sin x ? cos x ? 3 sin 2 x 3 3 ? ?
? 2sin x cos x ? 3 cos 2 ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3
于是(1)函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
2? ?? 2

?

(4分)
(6分)

(2) 0 ? x ?

?
4

,?

?
3

? 2? ?

?
3

?

? f ( x)max ? 2, f ( x)min ? 1
(12 分) 16.已知向量 a

5? 6

1 ? ? ?s i n ( x2 ? ? ) 则1 ? , y1 ? 2 3

2

3 ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
2

(Ⅰ)当 a // b 时,求 cos (Ⅱ)设函数 若

x ? sin 2 x 的值; f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,
6 3
, 求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

a ? 3, b ? 2, sin B ?

? ?

??

? ( x ? ?0, ? )的取值 6? ? 3?

? ??

范围. 16,解: (1)

3 3 a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)+

3 2

由正弦定理得

a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? ?? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 ? 4 12 ? ? 3? ?

?? 1 ? ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , 6? 2 4 ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
? ?

18.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 象如图所示.

??

? 的部分 2?



(I) 求函数 f ? x ? 的解析式, 并写出 f ? x ? 的单调减区间; ( II ) 已 知 ?ABC 的 内 角 分 别 是 A , B , C , 若

f

B ? ? A? ? 1 , c o s

4 ,求sinC 的值. 5

18.解: (Ⅰ)由图象最高点得 A ? 1,

1 2 π π π 2? ? ? , 得 T ? ? ? , 所以 ? ? 2. 2 3 6 2 ? ? ? 当 x ? 时, f (x (2? ?? ) ?1 . ) ?1,可得 sin 6 6 ? ? ? 因为 ? ? , 所以 ? = 故 f (x )?s in ( 2 x? ) . 2 6 6 ? ? 2 π ? 由图像可得 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k ? ? ,k ? ? ? ,k ? Z . 6 3? ? π (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, sin(2A? ) ?1 ,又 0 , ?A ? π 6 π π 1 3 π π π π ?? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? ,A ? . 6 6 6 6 2 6
由周期 T?

???6 分

3 2 0 ?? B π , ? s i n B ? 1 ? c o s B ? . 5 s i n C ? s i n ( π ? A ? B ) ? sin( A ? B )
1 4 3 3 4 ? 33 . ? sin A cos B ? cos A sin B ??? ?? 25 2 5 10
??12 分

19. 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x(? ? 0), f ( x) 的两条相邻对称 轴间的距离大于等于

(Ⅰ)求 ? 的取值范围;

π . 2

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c ? 3 , b ? c ? 3, f ( A) ? 1, 当 ? ? 1 时,求△ ABC 的面积. 19.解: (Ⅰ)

π f ( x) ? cos 2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin(2? x ? ), 6 2π π ? , ?> 0, ∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? T π π π, 由题意得: … ,即 T ? … 2 2 ? 解得: 0 ? ?? 1 .……………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ) ? ? 1 , π ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 6
f ( A) ? 1 ,
π 1 ? sin(2 A ? ) ? , 6 2 π π 13π 2A ? ?( , ), 6 6 6

?2A ?

?
6

?

? 5? ,即 A = . 3 6

a ? 3, b ? c ? 3,
∴由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 即 b ? c ? bc ? 3
2 2

①,

(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9
联立①②,解得: bc ? 2 , 则 S△ABC ?

②,

1 3 bc sin A ? . ……………………………………………………………(12 分) 2 2

20.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值. 20.解(1)

sin A 3 cos B . ? a b

sin A 3 cos B sin A 3 cos B ,由正弦定理得 , ? ? a b sin A sin B

…………4 分

tan B ? 3,? B ?
(2) cos B ?
2 2

?
3

.

…………………………6 分

a 2 ? b2 ? 4 1 ? ,? a 2 ? c 2 ? ac ? 4 2ac 2

……………………………8 分

又? a ? c ? 2ac ,所以 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c 取等号.………………………10 分

S?

1 ac sin B ? 3 , 2
……………………………12 分

ABC 为正三角形时, Smax ? 3 .
21. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (I)求 f ( x) 的值域和单调递增区间;

x x x 记 f ( x) ? m ? n , , ?1), n ? (cos , cos 2 ) , 4 4 4

C 的对边分别是 a 、b 、c , (II) 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C ,
若 f ( A) ? ?

1 , a ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 2
x ? 1 )? 2 6 2

解。 (1) f ( x) ? sin( ?

2 4 ? ? ? 3 1? f ( x) 的值域为 ? ? , ? ,单调递增区间为 ? 4k? ? ? , 4k? ? ? ? ? k ? Z ? ??6 分 3 3 ? ? ? 2 2?

(2)由正弦定理得, 2sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C

1 ? 2sin A cos B ? sin A,? cos B ? ,? B ? 2 3 f ( A) ? sin( A ? 1 1 A ? ? ? ) ? ? ? , 解得 sin( ? ) ? 0,? A ? 2 6 2 2 2 6 3 1 ? ? 2 ? 2sin ? 3 ??12 分 2 3

因此,△ ABC 是正三角形(边长为 2)? S ?ABC ?

22.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(1)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? 22.解:(Ⅰ ) f ( x ) ? sin x ?

1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2

? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

?

? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . ? 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ?

3 ? .当 f ( x) 取最大值时 sin(2 x ? ) ? 1, 4 6 ? ? ? ? 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解得 x ? k? ? , k ? Z . 6 2 6 ? ? ? 故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? .……………………………………(6 分) 6 ? ? ? 1 1 ? ?? 1 1 (Ⅱ )由题意 f ( A) ? sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2 ? 5? ? ? ? 13? ) , ∴2 A ? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴A ? . 3 6 6 6 6 6 ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc . 3 2 3 3 ? b ? c ? 9 a2 ? 9 b ? c ? 3 由 ,知 bc ? ? . ∴ 当 b ? c ? 时, a 取最小值 .…(12 分) ? ? ,即 4 2 2 ? 2 ? 4 23. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 是半径为 R 的圆内接三角形,且
∴ 函数 f ( x) 的最大值为

2R ? (sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b)sin B .
(1)求角 C ; (2)试求 ?ABC 的面积 S 的最大值. 23.解 (1)由 2R(sin2A-sin2C) =( 2a-b)sin B,得 asin A-csin C= 2asin B-bsin B,

∴a2-c2= 2ab-b2, a2+b2-c2 2 由余弦定理得 cos C= = , 2ab 2 π 又 0<C<π,∴C= . 4 (2)∵ c =2R, sin C

4分

6分

∴c=2Rsin C= 2R. 由(1)知 c2=a2+b2- 2ab, ∴2R2=a2+b2- 2ab. 8分

又 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”), ∴2R2≥2ab- 2ab, 2R2 ∴ab≤ =(2+ 2)R2. 2- 2 2+1 2 1 2 ∴S△ABC= absin C= ab≤ R. 2 4 2 即△ABC 面积的最大值为 24.已知向量 a ? (2sin(? x ? 2+1 2 R. 2 12 分 10 分

2? ), 2), b ? (2 cos ? x, 0)(? ? 0) ,函数 f ( x) ? a b 的图象与 3

直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (1)求函数 f ( x ) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间; (2)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 y ? g ( x) 在 12

[0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值.
解: (1) f ( x) ? a ? b ? 4sin(? x ?
2

? 2? 1 3? ) cos ? x ? 4 ?sin ? x ? ( ? ) ? cos ? x ? ? cos ? x 3 2 2 ? ?

= 2 3 cos ? x ? 2sin ? x ? cos ? x ? 3 ?1 ? cos 2? x ? ? sin 2? x ? 2 cos(2? x ? 由题意得。 T ? ? ,所以 ? ? 1 ,故 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

?
6

)? 3

?
6

)? 3

令2 k? ? ? ? 2 x ?

?
6

? 2k? , 解得 k? ?

7? ? ? x ? k? ? ?????4 分 12 12

故单调递增区间为 ? k? ?

? ?

7? ?? ? 5? 11? ? 当 k ? 1 时, 递增区间为 ? ; ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 。 , 12 12 ? ? 12 12 ? ?

当 k ?2 时递增区间为 ? , ?1 2

3? ? 7? 2 ? , 即 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 12 ?

1? ? 5? 1 ? 和 , ? ? ?1 2 1 2 ?

? 7? 23? ? ????????????????????6 分 , ? ? 12 12 ? ?

? 个单位,得到 y ? 2cos 2 x ? 3 的图像 12 5? 7? 所以 g ( x) ? 2cos 2x ? 3 ,令 g ( x) ? 0 ,得 x ? k? ? 或 x ? k? ? ???10 分 12 12
(2)将函数 f ( x ) 的图像向右平移 所以在每个周期上恰好有 2 个零点,若 y ? g ( x) 在 ?0, b? 上至少有 10 个零点,则 b 不小于 第 10 个零点的横坐标,则 b 的最小值为

55? ???????????12 分 12

25.如图,在等腰直角三角形 ?OPQ 中, ?OPQ ? 90 , OP ? 2 2 ,点 M 在线段 PQ 上. (Ⅰ)若 OM ?

3 ,求 PM 的长;

(Ⅱ)若点 N 在线段 MQ 上,且 ?MON ? 30 ,问:当 ?POM 取何值时, ?OMN 的面 积最小?并求出面积的最小值.

25 解.(1)在 ?OMP 中, ?OPM ? 45? , OM ?

5 , OP ? 2 2 ,

由余弦定理得, OM 2 ? OP 2 ? MP 2 ? 2 ? OP ? MP ? cos 45? , 得 MP 2 ? 4 MP ? 3 ? 0 , 解得 MP ? 1 或 MP ? 3 . ?????5 分 (2)设 ?POM ? ? , 0? ? ? ? 60? , 在 ?OMP 中,由正弦定理,得 所以 OM ?

OM OP , ? sin ?OPM sin ?OMP

OP sin 45? , sin ? 45? ? ? ? OP sin 45? ????7 分 sin ? 75? ? ? ?
1 ? OM ? ON ? sin ?MON ???9 分 2

同理 ON ? 故 S ?OMN ?

1 OP 2 sin 2 45? ? ? 4 sin ? 45? ? ? ? sin ? 75? ? ? ?

?

1 sin ? 45? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? 30? ?
1 ? 3 ? 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

?

?

1 3 2 1 sin ? 45? ? ? ? ? sin ? 45? ? ? ? cos ? 45? ? ? ? 2 2 1 3 1 1 ? cos ? 90? ? 2? ? ? ? sin ? 90? ? 2? ? ? ? ? 4 4 1 3 3 1 ? sin 2? ? cos 2? 4 4 4 1 3 1 ? sin ? 2? ? 30? ? 4 2

?

?

?

因为 0? ? ? ? 60? , 30? ? 2? ? 30? ? 150? , 所以当 ? ? 30? 时 , sin ? 2? ? 30? ? 的最大值为

1 , 此时 ?OMN 的面积取到最小值.即 2 ?POM ? 30? 时 , ?OMN 的面积的最小值为

8 ? 4 3 .??12 分
26.
3 在?ABC中,已知a, b, c成等比数列,且 cos B ? . 4 3 ? I ? 求 cot A ? cot C; ? II ? 设BA ? BC= , 求a ? c的值. 2

26.解: ? I ?由已知得 sin B ? 1 ? cos 2 B ?

7 .................................................................2分 4 a, b, c成等比数列,? b 2 ? ac ? sin 2 B ? sin A sin C.....................................................4分

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin ? C ? A ? sin B 1 4 7 ? ? ? ? ? ? ........6分 2 sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin B sin B 7 3 3 ? II ? BA ? BC= ,? ca cos B ? ? b 2 ? 2, ca ? 2.............................8分 2 2 2 2 2 又b ? a ? c ? 2ac cos B, 3 2 ? 2 ? ? a ? c ? ? 2ac ? 2ac ? ...........................................................................................10分 4 ? a ? c ? 3......................................................................................................................12分 cot A ? cot C ?
27. 如图,直角三角形 ABC 中, ?B ? 90 , AB ? 1, BC ? 3 .点 M , N 分别在边 AB 和

AC 上( M 点和 B 点不重合),将 ?AMN 沿 MN 翻折,?AMN 变为 ?A?MN ,使顶点 A? 落 在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设 ?AMN ? ? . (Ⅰ)用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (Ⅱ)求线段 A?N 长度的最小值.

27. 解: (I)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x . 在 Rt ?MBA? 中, cos ?? ? 2? ? ? ∴ MA ? x ?

1? x , …………………………………2 分 x

1 1 ? . …………………………………4 分 1 ? cos 2? 2sin 2 ? ∵点 M 在线段 AB 上, M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合, ?? ? ? ∴ ? ? ? , ? .…………………………………5 分 ?4 2? 2? ?? (II)在 ?AMN 中, ?ANM ? 3 AN MA ? , sin ? ? 2? ? sin ? ?? ? ? 3 ? 1 sin ? ? MA sin ? 1 2sin 2 ? ? .…………… 8 分 AN ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2sin ? sin ? ?? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?

令 t ? 2sin ? sin ?

?1 ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? 2sin ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? 2 ? 3 ? ?2 ?

1 3 1 1 ?? ? ? sin 2? ? cos2? ? ? sin ? 2? ? ? ………………… 11 分 2 2 2 2 6? ? ? ? ? ? 5? ∵ ?? ? , ∴ ? 2? ? ? . 4 2 3 6 6 ? ? 3 ? 当且仅当 2? ? ? ,即 ? ? 时, t 有最大值 . 6 2 2 3 2 ? ∴ ? ? 时, AN ? 有最小值 .………………… 12 分 3 3 ?
28.在△ABC 中,已知 AB=2,AC= 2 13 ,BC=8,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E, 连结 DE。 ⑴求角 B 的值; ⑵若四边形 ACDE 的面积为
33 3 ,求 AE· CD 的最大值。 4
A B C D E

解:⑴由余弦定理得:

AB 2 ? BC 2? AC 2 1 cos B? ? 2 AB ? BC 2
所以 B=

? 。………………………………………4 分 3
1 ? 33 49 ? 2 ? 8 ? sin ? 3? 3 2 3 4 4

⑵设 AE=x,CD=y 则 ∵ S ?BDE ? S ?ABC ? S四边形ACDE ?

1 ? S?BDE ? ? (2 ? x) ? (8 ? y ) ? sin 2 3
∴ (2 ? x)(8 ? y) ? 49 ∴ 33 ? xy ? 8x ? 2 y ? 8 xy ∴ xy ? 8 xy ? 33 ? 0 ∴ xy ? 9 当且仅当 x ? ∴ xy ? 3

3 , y ? 6 时,等号成立。 2

所以 AE· CD 的最大值为 9。………………………………………12 分


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