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辽宁省沈阳二中2016届高三上学期10月月考试题 数学(文)


沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果 阶段验收
说明:1、测试时间:120 分钟

高三(16 届)数学(文)试题
审校人:高三数学组
总分:150 分;

命题人:高三数学组

2、客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的对应位置上

第Ⅰ卷(60 分)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.) 1. 已知 a , b 为两个不相等的实数, M ? a ? 4a, ?1 , N ? b ? 4b ? 1, ?2 , f : x ? x 表示
2 2

?

?

?

?

把 M 中元素 x 映射到集合 N 中仍为 x ,则 a ? b 等于( A.1 B.2 C.3 D.4



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 已知向量 a, b 不共线, c ? ka? b (k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么(
A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向
3 2



?

? ?

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 )

?

? ?

?

? ?

?

? ?

3.若 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 ( A. 1 B. ?1
??? ???

C.-2
??? ? ???

D. ?8
??? ???

4. 已知△ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若 AB? AC ? m AM 成立, 则m? ( A.2 B. 3
x ?x



C.4

D.5
x ?x

5. 已知命题 p1 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为减函数,则 在命题 q1 : p1 ? p2 ; 真命题是( A. q1 , q3 ) B. q2 , q3 C. q1 , q4 (D) q2 , q4 )

q2 : p1 ? p2 ;

q3 :? ? p1 ? ? p2 和

q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,

6. 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? A.

? 4? ? ,0 ? 中心对称,则 | ? | 的最小值为( ? 3 ?
D.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

2 2 7. 函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos

x 的一个单调增区间是( 2
C. ? 0, ?

) D. ? ? , ?

A. ? , ?

? ? 2? ? ?3 3 ?

B. ? , ?

?? ?? ?6 2?

? ?

?? 3?

? ? ?? ? 6 6?

??? ? ??? ? → → ? ??? ? ??? ? AB AC ??? AB AC 1 ? ? ??? ? ) ? BC ? 0 且 8. 已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( ??? · = ,则△ABC 2 → → | AB | | AC | |AB| |AC|
为( ) B.直角三角形 D. 等边三角形 A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 9.在△ABC 中,“A>30°”是“sinA> A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1 ” 的( 2



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,当 x ? [3, 4] 时, f ( x ) ? x ? 2 , 则( )

A. f (sin ) ? f (cos ) C. f (sin1) ? f (cos1)

1 2

1 2

) ? f (cos ) 3 3 3 3 D. f (sin ) ? f (cos ) 2 2
B. f (sin )

?

?

11.若 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? 2 xy ( x, y ? R ) , f (1) ? 2 ,则 f ( ?3) =( A.2 B. 3 C.6 D. 9w

12.已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若存在常数 k ? 0 ,使 f ? x ? ? 成立,则称 f ? x ? 为“海宝”函数. 给出下列函数:
2 ① f ? x ? ? x ;② f ? x ? ? sin x ? cos x ;③ f ? x ? ?

k x 对一切实数 x 均 2015

x x ;④ f ? x ? ? 3 ? 1 x ? x ?1
2

其中 f ? x ? 是“海宝”函数的有( A.1 B. 2 C. 3

)个。 D.4.w.k.s.5.u.c.o.m

第Ⅱ卷(90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若函数 f ( x) ? a ? x ? a (a>0 且 a ? 1) 有两个零点, 则实数 a 的取值范围是
x

.

14.如果 ? m ? 4?

?

1 2

? (3 ? 2m) 2 ,则 m 的取值范围是_______

?

1

15. 如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高, 点 P 在射线 OC 上, 则 AP ? OP 的最小值为 16.已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的 取值范围是 . .

三、 解答题:(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)
2 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x , A cos 2x) ( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6.

2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

原来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求 g ( x) 在 [0, 5? ] 上的值域.

??

? 个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为
24

2

19. (本小题满分 12 分) 在一个特定时段内, 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处 有一个雷达观测站 A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相 距 40 sin ? =
?

2 海里的位置 B ,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? + ? ( 其中
26 ? ? , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (Ⅱ)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ?

2x ? a ( x ? R ) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2

(Ⅰ)求实数 a 的值组成的集合 A; (Ⅱ)设关于 x 的方程 f ( x ) ?

1 的两个非零实根为 x1 , x2 .试问:是否存在实数 m ,使得 x

不等式 m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A 及 t∈[-1,1]恒成立?若存在,求 m 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)
a 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ax ? (a ? 0) x e

(Ⅰ)当 a ? ?1时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

(Ⅰ)若 (Ⅱ)求

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

f ( x) 的最小值;
直接写出 (不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的 f ( x), x ? (a, ??) , ....

(Ⅲ) 设函数 h( x) ? 解集.

沈阳二中 2015-2016 学年度上学期 10 月份小班化学习成果阶段验收高三(16 届) 数学(文科)试题答案 一.选择题 1 2 3 D D B 二.填空题 13. (1,??)
三.解答题
2 5 17.解: 解:(Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

4 B

5 C

6 A

7 C

8 D

9 B

10 C

11 C

12 A

? 1 3? 14. ? ? , ? ? 3 2?

15. ?

1 8

16. ?

3 ? a ? 12 2

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 .

5分

(Ⅱ)由题解三角形知:sinC=

5 a c .又由正弦定理知: , ? 6 sin A sin C

故 c ? 3 . (1)对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S=
3 (舍去). 3

b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3

5 . 2

10 分

18.解:(Ⅰ) f ( x ) ? m ? n = 3 A sin x cos x ? = A sin(2 x ?

A 3 1 cos 2 x = A( sin 2 x ? cos 2 x ) 2 2 2

) 6 因为 A ? 0 ,由题意知 A ? 6 .
(Ⅱ)由(I)知, f ( x) ? 6sin(2x ? ? ) 将 y ? f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位后得到

?

?

y ? 6sin[2( x ? ? ) ? ? ] ? 6sin(2 x ? ? ) 的图象; ?? ? ?
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到

??

y ? 6sin(4x ? ? ) 的图象.
因此 g ( x) ? 6sin(4 x ? ? ) , 所以 4 x ? ? ? [? , 7? ] ,

2

?

?

因为 x ?[0 , 5? ] , 所以 sin(4x ? ? ) ? [? 1 , 1] ,

??

?

?

?

?

2

所以 g ( x) 在 [0 , 5? ] 上的值域为 [?3 , 6] .??????????(12 分)

??

19.解 : (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ?

26 . 26

由于 0 < ? < 90 ,所以 cos ? = 1 ? (
?
?

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 10 5.
10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

所以船的行驶速度为

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y1), C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有,x1=y1=

2 AB=40, 2

x2 ? AC cos ?CAD ? 10 13 cos(45? ? ? ) ? 30 , y2 ? AC sin ?CAD ? 10 13sin(45? ?? ) ? 20
所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=

20 ? 2, 10

直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d=

20 .解:(Ⅰ)f'(x)=

4 ? 2ax ? 2 x 2 ? 2( x 2 ? ax ? 2) = , ( x 2 ? 2) 2 ( x 2 ? 2) 2

∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 即 x2-ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立. 设 ? (x)=x2-ax-2, ①



?

?? (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0 ? -1≤a≤1, ? ?? (?1) ? 1 ? a ? 2 ? 0

∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f'(1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. (Ⅱ)由

2x ? a 1 = ,得 x2-ax-2=0, 2 x ?2 x

∵△=a2+8>0

∴x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两非零实根,x1+x2=a,x1x2=-2,

2 从而|x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a 2 ? 8 .

∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ≤3. 要使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 当且仅当 m2+tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 即 m2+tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立. ② 2 2 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2), ② ? g(-1)=m2-m-2≥0,g(1)=m2+m-2≥0, ? m≥2 或 m≤-2. 所以,存在实数 m,使不等式 m2+tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取 值范围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 21.解:(Ⅰ) f ?( x) ?
?ae x ( x ? 2) (e )
x 2

?

?a( x ? 2) ex

, x ?R .

………………………………1 分

当 a ? ?1时, f ( x) , f '( x) 的情况如下表:

x
f '( x )

(??, 2)

2 0 极小值

(2, ??)

?


?
↗ ……………………………5 分

f ( x)

所以,当 a ? ?1时,函数 f ( x) 的极小值为 f ( x) ? ?e?2 . (Ⅱ) F ?( x) ? f ?( x) ?
?a( x ? 2) ex

.

①当 a ? 0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表:

x
f '( x )

(??, 2)

2 0 极小值

(2, ??)

?


?


f ( x)

因为 F(1)=1>0, …………………………………………………………………………7 分 a 若使函数 F(x)没有零点,需且仅需 F (2) ? 2 ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e 2 e
2 所以此时 ?e ? a ? 0 ;……………………………………………………………………9 分

②当 a ? 0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表:

x
f '( x )

(??, 2)

2 0 极大值

(2, ??)

?


?
↘ ---10 分

f ( x)

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a

1?

10 a 1?

? 10
10 a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0,

e

所以此时函数 F ( x) 总存在零点. ……………………………………………………11 分 (或:当 x ? 2 时, F ( x) ? 当 x ? 2 时,令 F ( x) ?
a ? x ? 1? ex
x

? 1 ? 1,

a ? x ? 1? e

x ? 1 ? 0, 即 a ? x ? 1?? e ? 0,

由于 a ? x ? 1?? e x ? a ? x ? 1?? e2 , 令 a ? x ? 1?? e2 ? 0, 得 x ? 1?
e2 e2 ,即 x ? 1 ? 时 F ( x) ? 0 ,即 x ? 2 时 F ( x) 存在零点.) a a

2 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e ? a ? 0 .????????????12 分

22.解:(1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

2 2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x)min

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x) min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

(3)

x ? (a, ??) 时,h( x) ? 1得 3x2 ? 2ax ? a2 ? 1 ? 0 ,? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2
6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

当a ? ?

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ?( x ? )( x ? )?0 当? 时, ? ? 0, 得 ? ?a? 3 3 2 2 ?x ? a ?
1) a ? (

2 6 , ) 时, x ? (a, ??) 2 2

2) a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ??) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , ] 时, x ? [ 2 2 3

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 3) a ? (? ] ?[ , ??) ?????12 分 ,? ] 时, x ? (a, 2 2 3 3


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