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【优化方案】2016年高中数学 第三章 概率 3.3.2均匀随机数的产生学案 新人教A版必修3


3.3.2

均匀随机数的产生

1.问题导航 (1)如何产生均匀随机数? (2)如何用随机模拟的方法求解几何概型的概率? (3)如何计算不规则图形的面积? 2.例题导读 通过例 2 的学习,学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法求概率; 通过例 3 的学习,学会如何用随机模拟的方法估计圆周率的值或不规则图形的相关量的 值; 通过例 4 的学习,学会如何用几何概型的概率公式和随机模拟的方法近似计算不规则图 形的面积.

1.均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]区间上均匀随机数的函数是 RAND 函数. (2)Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand(__)”. 2.用模拟的方法近似计算某事件概率的方法 (1)随机模拟的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果. (2)计算机模拟的方法:用 Excel 的软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟.注意操 作步骤.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)计算器只能产生(0,1)之间的随机数;( ) (2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数;( ) (3)计算器只能产生均匀随机数.( ) 解析:(1)计算器可以产生[0,1]上的均匀随机数和[a,b]上的整数值随机数等; (2)计算器不可以产生[a,b]上的均匀随机数,只能通过线性变换得到; (3)计算器也可以产生整数值随机数. 答案:(1)× (2)× (3)× 2.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( ) A.旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B.旋转的次数越多,估计的结果越精确 C.旋转时可以按规律旋转 D.转盘的半径越大,估计的结果越精确 解析:选 B.旋转时要无规律旋转,否则估计的结果与实际有较大的误差,所以 C 不正确; 转盘的半径与估计的结果无关,所以 D 不正确;旋转的次数越多,估计的结果越精确,所以 B

-1-

正确,A 不正确. 3.b1 是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则 b 是区间________上的均匀随机数. 解析:0≤b1≤1,则函数 b=3(b1-2)的值域是[-6,-3],即 b 是区间[-6,-3]上的 均匀随机数. 答案:[-6,-3] 4.整数值随机数与均匀随机数有何异同? 解:二者都是随机产生的随机数,在一定的区域长度上出现的机率是均等的,但是整数 值随机数是离散的单个整数值, 相邻两个整数随机数的步长为 1; 而均匀随机数是小数或整数, 是连续的小数值,相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的.

1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值,不同点是均 匀随机数可以取区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的整数. 2.用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是,构造一个包含这个图形的规则图 形作为参照,通过计算机产生某区间内的均匀随机数,再利用两个图形的面积之比近似等于 分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决. 3.利用计算机和线性变换 Y=X*(b-a)+a,X∈[0,1],可以产生任意区间[a,b]上的 均匀随机数,其操作方法要通过上机实习才能掌握.

用随机模拟法估计长度型的概率 取一根长度为 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,用均匀随机模拟方法估计剪得 两段的长都不小于 2 m 的概率有多大? (链接教材 P137 例 2) [解] 设剪得两段的长都不小于 2 m 为事件 A. 法一:(1)利用计算器或计算机产生 n 个 0~1 之间的均匀随机数,x=RAND; (2)作伸缩变换:y=x*(5-0),转化为[0,5]上的均匀随机数; (3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数 m; (4)则概率 P(A)的近似值为 . 法二:(1)做一个带有指针的转盘,把圆周五等分,标上刻度[0,5](这里 5 和 0 重合); (2)固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针,记下指针在[2,3]内(表示剪断绳子位置在 [2,3]范围内)的次数 m 及试验总次数 n; (3)则概率 P(A)的近似值为 . 方法归纳 用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机 数的范围.法一用计算器或计算机产生随机数,法二是用转盘产生随机数.

m n

m n

-2-

1.假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生,并且这 50 名学生早上到校先后的 可能性是相同的.设计模拟方法估计下列事件的概率: (1)小燕比小明先到校; (2)小燕比小明先到校,小明比小军先到校. 解:记事件 A“小燕比小明先到校”;记事件 B“小燕比小明先到校且小明比小军先到 校”. ①利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数,a=RAND,b=RAND,c=RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间; ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b<c 的次数 N1,满足 b<c<a 的次数 N2; ③计算频率 fn(A)= ,fn(B)= ,即分别为事件 A,B 的概率的近似值.

N1 N

N2 N

用随机模拟法估计面积型的概率 利用随机模拟的方法近似计算如图所示阴影部分(函数 y=2-2x-x 与 x 轴围成的 图形)的面积.
2

[解] (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过平 移和伸缩变换 a=a1*4-3,b=b1*3 得到一组[-3,1]和一组[0,3]上的均匀随机数.(3)统 2 计试验总数 N 和落在阴影部分的点数 N1(满足条件 b<2-2a-a 的点(a,b)数).(4)计算频率

N1 就是点落在阴影部分的概率的近似值.(5)设阴影部分面积为 S.由几何概型的概率公式得点 N S S N1 12N1 落在阴影部分的概率为 ,所以 ≈ .所以 S≈ 即为阴影部分面积的近似值. 12 12 N N
方法归纳 解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标,从而确定点的位 置.

2.解放军某部队进行特种兵跳伞演习,如图所示,在长为 16 m,宽为 14 m 的矩形内有 大、中、小三个同心圆,其半径分别为 1 m,2 m,5 m.若着陆点在圆环 B 内,则跳伞成绩为 合格;若着陆点在环状的阴影部分,则跳伞成绩为良好;若跳伞者的着陆点在小圆 A 内,则 跳伞成绩为优秀;否则为不合格.若一位特种兵随意落下,假设他的着陆点在矩形内,利用 随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率.

解:设事件 A 表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”.

-3-

(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=14b1-7,得到[-8,8]与[-7,7]上的均匀 随机数. 2 2 (3)统计满足-8<a<8,-7<b<7 的点(a,b)的个数 N.满足 1<a +b <4 的点(a,b) 的个数 N1. (4)计算频率 fn(A)= ,即为所求概率的近似值.

N1 N

用随机模拟法近似计算不规则图形的面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线 y=2 与 x 轴、 x=±1 围成的部分)的面积. [ 解 ] (1) 利用计算机产生两组 [0 , 1] 上的均匀随机数, a1 = RAND,b1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换, a=(a1-0.5)*2, b=b1*2, 得到一组[- 1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数. a (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b<2 的 点(a,b)数). (4)计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值. (5)设阴影部分的面积为 S.用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P= , 4
x

N1 N

S

N1 S 4N1 所以 ≈ ,所以 S≈ 即为阴影部分面积的近似值. N 4 N
方法归纳 解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率,然后 通过解方程求得相应部分面积的近似值.

3.如图所示,曲线 y=x 与 y 轴、直线 y=1 围成一个区域 A(图中的阴影部分),用模拟 的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法).

2

解:法一:我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子,数出落在区域 A 内的豆子数与 落在正方形内的豆子数,根据 落在区域内的豆子数 区域A的面积 ≈ ,即可求区域 A 面积的 落在正方形内的豆子数 正方形的面积

700 近似值. 例如, 假设撒 1 000 粒豆子, 落在区域 A 内的豆子数为 700, 则区域 A 的面积 S≈ 1 000

-4-

=0.7. 法二:对于上述问题,我们可以用计算机模拟上述过程,步骤如下: 第一步,产生两组 0~1 内的均匀随机数,它们表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点的 2 坐标满足 y≥x ,就表示这个点落在区域 A 内. 第二步,统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N,可求 得区域 A 的面积 S≈ .

M N

数学思想

用随机模拟的方法求曲边梯形面积的近似值

用随机模拟方法求函数 y= x与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积.

[解] 如图所示,阴影部分是函数 y= x的图象与 x 轴和直线 x=1 围成的图形,设阴影 部分的面积为 S. 随机模拟的步骤: (1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND; (2)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 y< x的点(x,y)的个数); (3)计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率的近似值; (4)直线 x=1,y=1 和 x,y 轴围成的正方形面积是 1,由几何概型的概率公式得点落在 阴影部分的概率为 =S. 1 则 S≈ ,即阴影部分面积的近似值为 . [感悟提高] (1)利用随机模拟试验估计图形的面积时,一是选取合适的对应图形;二是由几何概型正 确计算概率. (2)随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法.用计算器或计算机模拟试验,首先需 要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影 响随机事件结果的量.

N1 N

S

N1 N

N1 N

1.与均匀随机数特点不符的是( ) A.它是[0,1]内的任何一个实数 B.它是一个随机数 C.出现每一个实数都是等可能的 D.是随机数的平均数 解析:选 D.A、B、C 是均匀随机数的定义,均匀随机数的均匀是“等可能”的意思,并 不是“随机数的平均数”.

-5-

2.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方 2 形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积约 3 为( A. C. ) 4 3 2 3 B. 8 3

D.无法计算

解析:选 B.∵

S阴影 2 2 8 ≈ ,∴S 阴影≈ S 正方形= . S正方形 3 3 3
)

3.在区间[1,3]上任取一数,则这个数大于 1.5 的概率为( A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75

1.5 解析:选 D.由题意可知,本题是与长度有关的几何概型,P= =0.75. 2

[A.基础达标] 1.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为 m,其实际概率的大小为 n,则( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.m 是 n 的近似值 解析:选 D.随机模拟法求其概率,只是对概率的估计. 2.要产生[-3,3]上的均匀随机数 y,现有[0,1]上的均匀随机数 x,则 y 可取为( ) A.-3x B.3x C.6x-3 D.-6x-3 解析:选 C.法一:利用伸缩和平移变换进行判断; 法二:由 0≤x≤1,得-3≤6x-3≤3,故 y 可取 6x-3. 3.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之, 自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为 1.5 cm 的圆,中间有边长为 0.5 cm 的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的 大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( ) A. C. 4 9π 4π 9 B. D. 9 4π 9π 4

0.5×0.5 4 解析:选 A.由题意知所求的概率为 P= = . 1.5 2 9π π ×( ) 2 4.(2015·青岛高一检测)某人下午欲外出办事,我们将 12:00~18:00 这个时间段称 为下午时间段,则此人在 14:00~15:00 之间出发的概率为( ) A. 1 3 B. 1 4

-6-

C.

1 6

D.

1 8

解析:选 C.所有可能结果对应时间段为 18-12=6,事件发生的时间段为 15-14=1,∴

P= .
5.如图所示,四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形.转动转盘,转盘停止转 动后,有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同,则这两个转盘是( )

1 6

A.转盘 1 和转盘 2 B.转盘 2 和转盘 3 C.转盘 2 和转盘 4 D.转盘 3 和转盘 4 解析:选 C.根据每个转盘中白色区域面积与转盘总面积的比值分别计算出指向白色区域 3 2 1 2 1 1 的概率,P1= ,P2= = ,P3= = ,P4= ,故 P2=P4. 8 6 3 12 6 3 6.如图,矩形的长为 6,宽为 3,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在 阴影部分的黄豆为 125 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为________. 解析:∵矩形的长为 6,宽为 3,则 S 矩形=18, ∴

S阴 S阴 125 15 = = ,∴S 阴= . S矩 18 300 2

15 答案: 2 7.(2013·高考福建卷)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“3a-1<0” 发生的概率为________. 1 1 解析:由 3a-1<0,0≤a≤1,得 0<a< ,而 0~1 的“长度”为 1,故所求概率为 . 3 3 1 答案: 3 8.如图,在一个两边长分别为 a,b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯 1 1 形的上、下底分别为 a 与 a,高为 b,向该矩形内随机投一点,那么所 4 2 投点落在梯形内部的概率为________. 1 1 1 3 解析:∵图中梯形的面积为 s= ×( a+ a)×b= ab,矩形的面积 2 4 2 8 为 S=ab, 3 ab s 8 3 ∴落在梯形内部的概率为:P= = = . S ab 8 3 答案: 8 9.如图所示,在一个长为 4,宽为 2 的矩形中有一个半圆,试用随机 模拟的方法近似计算半圆面积,并估计π 的值.
-7-

解:记事件 A 为“点落在半圆内”. (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数 a1=RAND,b1=RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*4,b=b1*2; 2 2 (3)统计试验总次数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足 a +b <4 的点(a,b)个数); (4)计算频率 ,即为点落在阴影部分的概率近似值; (5)用几何概型的概率公式求概率,P(A)= 的近似值. 8N1 4N1 又 2π ≈ ,所以π ≈ .

N1 N

S半圆
8

,所以

S半圆 N1 8N 1 ≈ ,即 S 半圆≈ ,为半圆面积 8 N N

N

N

10.在长为 14 cm 的线段 AB 上任取一点 M,以 A 为圆心,以线段 AM 为半径作圆.用随机 2 2 模拟法估算该圆的面积介于 9π cm 到 16π cm 之间的概率. 2 2 解:设事件 A 表示“圆的面积介于 9π cm 到 16π cm 之间”. (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数 a1=RAND; (2)经过伸缩变换 a=14a1 得到一组[0,14]上的均匀随机数; (3)统计出试验总次数 N 和[3,4]内的随机数个数 N1(即满足 3≤a≤4 的个数); (4)计算频率 fn(A)= ,即为概率 P(A)的近似值. [B.能力提升] 1.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向 D 中随意投一点, 则落入 E 中的概率为( ) π A.1- 16 C. π 4
2

N1 N

π B. 16 D. 3π 4

解析:选 B.由题意知,区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界),区域 E 表示单位 π ×1 π 圆及其内部,如图所示,因此 P= = . 4×4 16

2.如图所示,在墙上挂着一块边长为 16 cm 的正方形木块,上面画了小、 中、 大三个同心圆,半径分别为 2 cm,4 cm,6 cm,某人站在 3 m 之外向此 板 投镖,设镖击中线上或没有投中木板时不算,可重投,记事件 A={投中 大 圆内}, 事件 B={投中小圆与中圆形成的圆环内}, 事件 C={投中大圆之外}. (1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND. (2)经过伸缩和平移变换,a=16a1-8,b=16b1-8,得到两组[-8,8]内的均匀随机数. 2 2 (3)统计投在大圆内的次数 N1(即满足 a +b <36 的点(a,b)的个数),投中小圆与中圆形

-8-

成的圆环次数 N2(即满足 4<a +b <16 的点(a,b)的个数),投中木板的总次数 N(即满足上述- 8<a<8,-8<b<8 的点(a,b)的个数). 则概率 P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是( ) A. , , C. ,

2

2

N1 N2 N-N1 N N N N1 N2-N1 N2 , N N N N1 N

B. , , D. , ,

N2 N1 N-N2 N N N N2 N1 N1-N2 N N N N2 N N-N1 . N

解析:选 A.P(A)的近似值为 ,P(B)的近似值为 ,P(C)的近似值为

3.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD?A1B1C1D1 内任取一点 M, 点 M 在球 O 内的概率是________. 解析:设正方体的棱长为 2. 4 4π 3 正方体 ABCD?A1B1C1D1 的内切球 O 的半径是其棱长的一半,其体积为 V1= π ×1 = . 3 3 4π 3 π 则点 M 在球 O 内的概率是 3 = . 2 6 π 答案: 6 4.图形 ABC 如图所示,为了求其面积,小明在封闭的图中找出了一个半径为 1 m 的圆, 在不远处向圈内掷石子,且记录如下:

总的投掷次数 石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的次数 m 石子落在阴影内次数 n 则估计封闭图形 ABC 的面积为________ m . 解析:由记录 ≈1∶2, 可见 P(落在⊙O 内)=
2

50 14 29

150 43 85

300 93 186

m n

m 1 = , n+m 3

⊙O的面积 又 P(落在⊙O 内)= , 阴影面积+⊙O的面积 所以

S⊙O 1 2 = ,SABC=3π (m ). SABC 3

答案:3π 2 2 5.已知圆 C:x +y =12,直线 l:4x+3y=25,设点 A 是圆 C 上任意一点,求点 A 到直 线 l 的距离小于 2 的概率.

-9-

解:由 x +y =12,知圆心 O(0,0), ∴圆心到直线 l 的距离 |0+0-25| d= =5, 2 2 3 +4 如图所示,设与直线 l:4x+3y=25 平行且到该直线的距离为 2 的直线为 l′,且 l′与 圆 C 交于 P、Q 两点. 因此点 O(0,0)到 l′的距离为 3, 又圆 C 的半径 r=2 3, π ∴在△POQ 中,可求|PQ|=2 3,则∠POQ= . 3 ︵ 记“点 A 到直线 l 的距离小于 2”为事件 M,则事件 M 发生即点 A 在弧PQ上, π r 3 1 ∴P(M)= = = . 2π r 2π r 6 ︵

2

2

PQ

6.(选做题)平面上有一个边长为 4 3的等边△ABC 网格,现将直径等于 2 的均匀硬币抛 掷在此网格上(假定都落在此网格上),求硬币落下后与网格线没有公共点的概率. 解:设事件 M={硬币落下后与等边△ABC 的网格线没有公共点}. 要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC 内部, 故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC. 当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置. 如图,所有临界点形成三条临界线,三条临界线构成一个小△EFG 区域,因此事件 M 所构 成的区域为△EFG 区域.

经计算得△EFG 的边长为 2 3.

∴P(M)=

S△EFG = S△ABC 3
4

3 ×2 3×2 3 4 ×4 3×4 3

1 = . 4

- 10 -



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