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12高中数学必修1复习讲座 第四讲至第七讲 答案 1


12 高中数学必修 1 复习讲座

第四讲至第七讲

答案

1

第四讲习题答案 1.C 2.D a ? 0 且b ? 0 3.

画出图象,考虑开口向上向下和左右平移

4.

1 ( , ??) 2

设 x1 ? x2 ? ?2, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 2ax1 ? x2 ? 2ax2 ? x1 ( x1 ? x2 )(2a ? 1) ? ? ? ? 0 ,则 2a ? 1 ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

5 解: (1)令 x ? y ? 1 ,则 f (1) ? f (1) ? f (1), f (1) ? 0 (2) f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 f ( )

1 2

1 1 f (? x) ? f ( ) ? f (3 ? x) ? f ( ) ? 0 ? f (1) 2 2

f (?

x 3? x )? f ( ? ) f 2 2

x 3? x (, 1 ) f (? ? ) ? f (1) 2 2

? x ?? 2 ? 0 ? ?3 ? x ?0 , ?1 ? x ? 0 。 则? ? 2 ? x 3? x ?? 2 ? 2 ? 1 ?
6.解: f ( x) ? ? 对称轴 x ?

3 a 1 1 1 ( x ? ) 2 ? a 2 , f ( x) ? a 2 ? , 得 ? 1 ? a ? 1 , 2 3 6 6 6

a 3 1 ?1 1? ,当 ?1 ? a ? 时, ? , ? 是 f ( x ) 的递减区间,而 f ( x ) ? , 3 4 8 ?4 2? 1 2

a 3 1 3 ? ? , a ? 1 与 ?1 ? a ? 矛盾,即不存在; 2 8 8 4 1 1 ? 3 a 1 a 1 1 4 2 3 ? a ? 1 x ? ? ? 当 时,对称轴 ,而 ,且 ? ? 4 3 4 3 3 3 2 8 1 a 3 1 3 即 f ( x) min ? f ( ) ? ? ? , a ? 1 ,而 ? a ? 1 ,即 a ? 1 2 2 8 8 4
即 f ( x) min ? f ( ) ? 第五讲 习题答案 1.C 2.C 3.B 4.(-1,-1) 5. 8 3 6.1 7. 0 0

∴a ?1

f(x)g(y)+g(x)f(y)-g(x+y)=0

a· 2x-1-a 1 12.解:∵函数 y= ,∴y=a- x . x 2 -1 2 -1 (1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0, 即 a- 1-2x 1 1 1 +a- x =0,∴2a+ =0,∴a=- . 2 2 -1 2 -1 1-2x
-x

1 1 (2)∵y=- - x ,∴2x-1≠0,即 x≠0. 2 2 -1 1 1 ∴函数 y=- - x 的定义域为{x|x≠0}. 2 2 -1

13.解:由 3-4x+x2>0,得 x>3 或 x<1,∴M={x|x>3 或 x<1}, 1 25 f(x)=-3×(2x)2+2x+2=-3(2x- )2+ . 6 12 ∵x>3 或 x<1,∴2x>8 或 0<2x<2, 1 1 25 ∴当 2x= ,即 x=log2 时,f(x)最大,最大值为 ,f(x)没有最小值. 6 6 12 14.解:(1)把 A(1,6),B(3,24)代入 f(x)=b· ax,得
? ? ?6=ab, ?a=2, ? ? 结合 a >0 且 a ≠ 1 ,解得 ∴f(x)=3· 2x. ?24=b· ?b=3. a3. ? ?

1 1 (2)要使( )x+( )x≥m 在(-∞,1]上恒成立, 2 3 1 1 只需保证函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上的最小值不小于 m 即可. 2 3 1 1 1 1 5 ∵函数 y=( )x+( )x 在(-∞,1]上为减函数,∴当 x=1 时,y=( )x+( )x 有最小值 . 2 3 2 3 6 5 5 ∴只需 m≤ 即可.∴m 的取值范围(-∞, ] 6 6 第六讲 习题答案 一、选择题 1.下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( A.y=2
|x|

). B.y=lg(x+ x +1)
2

C.y=2 +2

x

-x

D.y=lg

1

x+1

解析 依次根据函数奇偶性 定义判断知,A,C 选项对应函数为偶函数,B 选项对应函数为奇函数,只有 D 选项 对应函数定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. 答案 D

?1?0 2.已知实数 a=log45,b=? ? ,c=log30.4,则 a,b,c 的大小关系为( ?2?
A.b<c<a C.c<a<b B.b<a<c D.c<b<a

)

?1?0 解析:由题知,a=log45>1,b=? ? =1,c=log30.4<0,故 c<b<a. ?2?
答案:D 2 3.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ).

x+1 x+1 ∴f(x)=lg ,由 f(x) <0 得,0< <1,∴-1<x<0. 1-x 1-x

答案 A 4.设 a=lg e,b=(lg e) ,c= lg e,则( A.a>b>c C.c>a>b
2

) B.a>c>b D. c>b>a

1 2 解析: ∵0<lg e<1,∴lg e> lg e>(lg e) .∴a>c>b.答案: B 2 5.函数 y= 2-x 的定义域是( lg x ) B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2}

A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} 2-x≥0 ? ? 解析: 要使函数有意义只需要?x>0 ? ?lg x≠0 ∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. 答案: D

解得 0<x<1 或 1<x≤2,[来源:学|科|网]

6.已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

).

2 解析 由 已知条件 0<a<1<b 和 f(a)=f(b)得,-lg a=lg b,则 lg a+lg b=0,ab=1,因此 a+2b=a+ ,

a

2 由对勾函数知 y=x+ 在(0,1)单调递减,得 a+2b>3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞).

x

答案 C 7.若函数 f(x)=loga( x+b)的图像如图 ,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=a +b 的大致图像是(
x

)

解析:由 f(x)=loga(x+b)的图像可知 0<a<1,且 0<b<1,则函数 g(x)=a +b 的大致图像是 D. 答案:D 二、填空题 8.函数 y= log 1 2x-3的定义域为________.
3

x

? ?log 1 2x-3≥0, 3 解析:要使函数有意义? ? ?2x-3>0,
? 3 ? 答案:?x| <x≤2? ? 2 ? ?e ,x≤0, ? 9.设 g(x)=? ?ln x,x>0, ?
x

3 即 0<2x-3≤1,∴ <x≤2. 2

? ?1?? 则 g?g? ??=________. ? ?2??

1 ?1? ? ?1?? ? 1? ln1 1 解析: g? ?=ln <0,∴g?g? ??=g?ln ?=e 2= . 2 2 ?2? ? ?2?? ? 2? 答案: 1 2

10.已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=________. 解析 ∵log2x≤2,∴0<x≤4.又∵A?B,∴a>4,∴c=4. 答案 4 11.函数 f(x)=log0.5(3x -ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.
2

a ? ? ≤-1, 解析 设 g(x)=3x -ax+5,由已知?6 ? ?g(-1)≥0,
2

解得-8≤a≤-6.

答案 [-8,-6] 12.已知函数 ________. 解析:当 x≤0 时,3
x+1

? ?3 f(x)=? ?log2x ?

x+1

x≤0 x>0

,则使函数

f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范围是

>1?x+1> 0,∴-1<x≤0;

当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2.综上所述:-1<x≤0 或 x>2. 答案:-1<x≤0 或 x>2 三、解答题 1? 1 1 1? 13.求值 ?lg32+log416+6lg ?+ lg . 2? 5 5 5? 1 1?? 1? 1? 1? 1? 1? ?1?6 ? 解析:原式= ?lg32+2+lg? ? +lg ?= ?2+lg?32· · ??= ?2+lg ? 2 64 5 10 5? 5? 5? ? ? ? ?? 5? ? 1 1 = [2+(-1)]= . 5 5 14.已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数 (1)求 k 的值; 4 x (2)设 g(x)=log4(a·2 - a),若函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数 a 的取值范围. 3 解析:(1)∵函数 ∴
x

f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数
1+4 x x x )-kx=log4(4 +1)-(k+1)x=log4(4 +1)+kx 恒成立 4
x

f(-x)=log4(4-x+1)-kx=log4(

1 ∴-(k+1)=k,则 k=- 2 4 x (2)g(x)=log4(a·2 - a),函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程 f(x)=g(x)只有一个解由 3 1 4 x x 已知得 log4(4 +1)- x=log4(a·2 - a)[来源:Z§xx§k.Com] 2 3 4 +1 4 x ∴log4 x =log4(a·2 - a) 2 3 4 ? ?a·2 -3a>0 方程等价于? 4 +1 4 ? ? 2 =a·2 -3a
x x x x x

4 x 2 设 2 =t(t>0),则(a-1 )t - at-1=0 有一解 3 4 2 若 a-1>0,设 h(x)=(a-1)t - at-1,∵h(0)=-1<0,∴恰好有一正解∴a>1 满足题意 3 若 a-1=0,即 a=1 时,不满足题意 4 2 3 若 a-1<0,即 a<1 时,由△=(- a) +4(a-1)=0,得 a=-3 或 a= 3 4 1 当 a=-3 时,t= 满足题意 2 3 当 a= 时,t=-2(舍去) 4 综上所述实数 a 的取值范围是{a|a>1 或 a=-3}. 15.若函数 y=lg(3-4x+x )的定义域为 M.当 x∈M 时,求 f(x)=2 解析 y=lg(3-4x+x ),∴3-4 x+x >0, 解得 x<1 或 x>3,∴M={x|x<1,或 x>3},
2 2 2

x+2

-3×4 的最值及相应的 x 的值.

x

f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.
令 2 =t,∵x<1 或 x>3,∴t>8 或 0<t<2.
x

? 2?2 4 2 ∴f(t)=4t-3t =-3?t- ? + (t>8 或 0<t<2). ? 3? 3
由二次函数性质可知:

? 4? 当 0<t<2 时,f(t)∈?0, ?, ? 3?
当 t>8 时,f(t)∈(-∞,-160), 2 2 4 x 当 2 =t= ,即 x=log2 时,f(x)max= . 3 3 3 2 4 综上可知:当 x=log2 时,f(x)取到最大值为 ,无最小值. 3 3 16.已知函数 f(x)=loga

x+b (a>0,b>0,a≠1). x-b

(1)求 f(x)的定义域;(2)讨论 f(x)的奇偶性;(3)讨论 f(x)的单调性;

解析 (1)令

x+b >0,解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). x-b

-x+b ?x+b?-1=-log x+b=-f(x),故 f (x)是奇函数. (2)因 f(-x)=loga =loga? ? a -x-b x-b ?x-b? (3)令 u(x)=

x+b 2b , 则函数 u(x)=1+ 在(-∞, -b)和(b, +∞)上是减函数, 所以当 0<a<1 时, f(x)在(- x-b x-b

∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当 a>1 时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. 第七讲 习题答案 2. f(lg30-lg3)=f(lg10)=f(1)=-2,

?x ? 3 f(x-1)= ? ?? 2

x ? 3, x ? 3.

当 x≥3 时,x(x-3)<10 ? -2<x<5,故 3≤x<5. 当 x<3 时,-2x<10 ? x>-5,故-5<x<3.解集 {x|-5<x<5} 4. ?

1 ;8. 当 x≥0 时,x2+1≥1;当 x<0 时,-x2<0 原函数值域是[1,+∞]∪(-∞,0)。 2

5.设 f ( x) ? ?

?2e x ?1 ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1)
(3, ??)

x?2 x?2

,则不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (

)

A. (1, 2)

B. ( 10, ??)

C. (1, 2)

( 10, ??)

D. (1, 2) ( )

6. 已知函数 f ( x) ? ?

?(2a ? 1) x ? 7a ? 2( x ? 1) ?a
x

( x ? 1)
1 2

在 (-∞, +∞) 上单调递减, 则实数 a 的取值范围是

A. (0,1)

B. (0, )

C. ? ,1?

?3 ? ?8 ?

D. ? ,

?3 1 ? ? ?8 2 ?

7. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? 1 ? x 2 构造函数 F(x),定义 F 如下:当 | f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ?| f ( x) | ,当

| f ( x) |? g ( x) 时, F ( x) ? ? g ( x) ,那么 F ( x)
A.有最小值-1,无最大值 C.有最大值 1,无最小值

(



B.有最小值 0,无最大值 D.无最小值,也无最大值

?1, x ? 0, 8.已知 f(x)= ? 则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________________. ?0, x ? 0,

x ? 0, ?1 ? 9.定义“符号函数”f(x)=sgnx= ?0 x ? 0, 则不等式 x+2>(x-2)sgnx 的解集是______________. ?? 1 x ? 0, ?
10.已知函数 f(x)=|x -2x-3|的图象与直线 y=a 有且仅有 3 个交点,则 a=
2



简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x|x≤1}; 5.(- 5 ,+∞);6. 由图象易知 a=4。


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