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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的实际应用


1.3.3
一、基础过关

导数的实际应用

1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单 1 位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 3 A.8 C.-1 20 B. 3 D.-8 ( ) ( )

2.用长度为 l 的铁丝围成长方形,则围成的长方形的最大面积为 l A. 2 l2 C. 8
2

l B. 4

2

l2 D. 16 ( )

3.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长为 3 A. V 3 C. 4V 3 B. 2V 3 D.2 V

4.从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒 子,则盒子容积的最大值为 A.24 cm
3

( B.72 cm
3

)

C.144 cm3

D.288 cm3

5. 如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙 壁, 其他三边需要砌新的墙壁. 当砌壁所用的材料最省时, 堆料场的长和宽分别为________.

二、能力提升 6.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________ 千米处. 7.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,

?- x +400x,0≤x≤390 ? 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 900 , 则当总利润最大时, ?90 090,x>390 ?

3

每年生产的产品单位数是________. 8.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 200 元,火车的最高速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?

9.从一块边长为 a 的正三角形铁皮的三个角上截去三个同样大小的四边形(如图所示),然后 按虚线把三边折起做成一个无盖的正棱柱形盒子, 要截去多大的小四边形方使盒子容积最 大?

10.如图,四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域,地域内 有一条河流 MD,其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口 向右的抛物线(河流宽度忽略不计).新长城公司准备投资建一个 大型矩形游乐园 PQCN,问如何施工才能使游乐园的面积最大?并求出最大面积.

三、探究与拓展 11.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的 桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他 因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

答案
1.C 2.D 3.C 4.C 5.32 米,16 米 6.5 7.300 8.解 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. a 则总费用 f(x)=(kx3+200)· x 200 =a(kx2+ ). x 1 由已知条件,得 40=k· 3,∴k= , 20 200 1 200 ∴f(x)=a( x2+ ). 200 x a?x3-20 000? 令 f′(x)= =0, 100x2 3 得 x=10 20. 3 当 0<x<10 20时,f′(x)<0; 3 当 10 20<x<100 时,f′(x)>0. 3 ∴当 x=10 20时,f(x)有最小值, 3 即速度为 10 20 km/h 时,总费用最少. 9.解 设盒子的高为 x,则盒子的底面边长为 a-2 3x, 1 3 且盒子容积 V= · (a-2 3x)2· x 3 4 = 3 2 3a? (a x-4 3ax2+12x3)?0<x< , 12 6 ? ? 3 2 (a -8 3ax+36x2). 12

∴V′=

令 V′>0,得 36x2-8 3ax+a2>0, 得 x< 3 3 a 或 x> a. 18 6

∴V 在 x∈?0,

?

3 ? ? 3a, 3a?上为减函数. a 上为增函数,在 18 ? 6 ? ? 18

∴V 在 x=

3 a 处取得最大值, 18

此时小四边形面积 S=

3 3 3 a· a= a2. 18 18 108

3 答 截去三个面积都为 a2 的四边形时,盒子的容积最大. 108 10.解

以 M 为原点,AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则 D(4,2). 设抛物线方程为 y2=2px(p>0). ∵点 D 在抛物线上, ∴22=8p, 1 解得 p= . 2 ∴抛物线方程为 y2=x(0≤x≤4). 设 P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线 MD 上任一点, 则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2. ∴矩形游乐园的面积为 S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y. 求导得 S′=-3y2-4y+4,令 S′=0,得 3y2+4y-4=0, 2 解得 y= 或 y=-2(舍). 3 2 当 y∈?0,3?时,S′>0,函数 S 为增函数; ? ? 2 当 y∈?3,2?时,S′<0,函数 S 为减函数. ? ? 2 ∴当 y= 时,S 有最大值,得 3 2 8 |PQ|=2+y=2+ = , 3 3 2 32 |PN|=4-y2=4-?3?2= . ? ? 9 8 32 256 ∴游乐园最大面积为 Smax= × = (km2), 3 9 27 8 32 256 即游乐园的两邻边分别为 km, km 时,面积最大,最大面积为 km2. 3 9 27

11.解

(1)设需新建 n 个桥墩,

则(n+1)x=m, m 即 n= -1(0<x<m), x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m m =256? x -1?+ (2+ x)x ? ? x = 256m +m x+2m-256(0<x<m). x

256m 1 1 m 3 (2)由 (1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2(x -512). x 2 2 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以 f(x)在 x=64 处取得最小值, m 640 此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.


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