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椭圆的几何性质1.ppt


2.1.1椭圆的几何性质 第一课时

复习:
1.椭圆的定义:

2.椭圆的标准方程是:
3.椭圆中a,b,c的关系是:

问题导入:

x y ? ?1 1.怎样画出椭圆: 25 16
2.由曲线方程研究曲线的性质,通常研究曲 线的范围,对称性等.

2

2

学习目标
1.能根据椭圆方程和图形推导出椭圆的几 何性质:范围、对称性、顶点、离心率
2.能灵活应用性质和a、b、c间的关系求 椭圆的方程

一、椭圆的范围
x y 由 2 ? 2 ?1 ? a b
2 2

x a

2 2

y ? 1和 b

2

2

?1

即 x ? a和 y ? b -a 说明:椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。

y

b
o

a -b

x

练一练
说出下列椭圆的范围:

x y (1) ? ?1 9 4
y (2) x ? ?1 4
2 2

2

2

二、椭圆的对称性
x y 方程: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
2 2

y

o

2、对称性:

x

从图形上看:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看呢:

结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

练一练
说出下列曲线的对称性:

x y (1) ? ?1 9 4

2

2

(2) x ? 4 y

2

(3) x 2 ? 4 y 2 ? 5x

三、椭圆的顶点
在 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 2
2 2

中,令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点( 0, ± ), b
±) a 0 令 y=0,得 x=?,说明椭圆与 x轴的交 ( , y *顶点:椭圆与它的对称 B1(0,b) 轴的四个交点,叫做椭圆 x 的顶点。 F F o A (-a,0) A2(a,0) *长轴、短轴:线段A A 、 1
︱ ︱

a

b

1

2

1 2

B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。

B2(0,-b)

练一练
说出下列椭圆的顶点,焦点,焦距,长轴长, 短轴长,长半轴长,短半轴长,

x y (1) ? ?1 9 4

2

2

(2)9 x ? y ? 81
2 2

x y (3) ? ? 1(n ? m ? 0) m n

2

2

四、椭圆的离心率

c 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:e ? a 叫做椭圆的离心率。 y
1、离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以1 >e >0
2、离心率对椭圆形状的影响: (1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越_____,椭圆就 越_______. o x

(2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越_____,椭 圆就越_______.
(3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合,椭 圆方程变为________.

练一练
说出下列椭圆的长半轴长,短半轴长和离心率.

x y (1) ? ?1 9 4
(2)9 x 2 ? y 2 ? 81

2

2

方程 图形

x2 y2 ? 2 ?1 2 a yb

B1(0,b)

y 2 x2 ? y 2 ?1 2 a A (0,a) b
2

F1 A1(-a,0) o

F2 A2(a,0) B2(-b,0)
B2(0,-b)

x

F1

x B1(b,0)

范围

? a ? x ? a,?b ? y ? b
点对称。

? b ? x ? b,?a ? y ? a
关于x轴,y轴,原点 对称。
B1 ? ?b,0? , B2 ? b,0? A1 (0, ?a), A2 (0, a),

A1(0,-a)

对称性 关于x轴,y轴,原

顶点
离心率

B1 ? 0, ?b ? , B2 ? 0, b ?

A1 (?a,0), A2 (a,0),

c e ? (0 ? e ? 1) a

c e ? (0 ? e ? 1) a

例1

x y 解:把已知方程化成标准方程 ? 2 ?1 2 5 4 这里, a ? 5, b ? 4, c ? 25 ?16 ? 3
c 3 离心率 e ? ? ? 0.6 a 5
焦点坐标分别是

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标 2 2

因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10,2b ? 8

F 1 (?3,0), F 2 (3,0)

四个顶点坐标是

A 1 (?5,0), A 2 (5,0), B 1 (0,?4), B2 (0,4)

小结:基本元素
1.基本量:a、b、c、e(共四个量) 2.基本点:顶点、焦点、中心(共七个点) 3.基本线:对称轴、(共两条线) 请考虑:基本量之间、 基本点之间、基本线 之间以及它们相互之 间的关系(位置、数 量之间的关系) y B1(0,b)

A1

o B2(0,-b)

A2 x


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