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高等数学背景下的导数问题


高等数学背景下的导数问题
随着高中新课程改革的深入,大学高等数学的内容被引入或者介绍了很多,如选修 4 部分。而实际上在必修部分新增的内容就已足够值得关注,这些内容的变化很有可能是高 考试卷今后命题的趋势。导数部分内容就丰富了很多。如指数函数、对数函数及分是函数 的求导就使得我们的研究范围不仅仅局限在多项式函数主要是三次函数的系列问题。我们 还要指导学生通过类比的手段利用导数研究函数的单调性、极值点,作出函数的示意图, 通过直观化解决超越函数的有关问题。另外,随着高考命题自主化的深入,越来越多的省 和地区开始尝试自己命题,而在命题组中高校教师占很重要的地位。他们在命题时,会受 到自身研究氛围的影响,有关高等数学背景的问题会逐渐增加丰富起来。函数图像的凸凹 性,导数中的拐点,拉格朗日中值定理,李普希茨条件??虽然高考考试没有要求学生掌 握但是可以利用已有的知识和方法来解决有关背景的问题。 一、函数的拐点问题 例 1(2007 湖南文 21)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx 在区间 [?11) , , (1, 3] 内各有一 3 2

个极值点. (I)略; 2 (II)当 a ? 4b ? 8 时,设函数 y ? f ( x) 在点 A(1 ,f (1)) 处的切线为 l ,若 l 在点 A 处穿 过函数 y ? f ( x) 的图象(即动点在点 A 附近沿曲线 y ? f ( x) 运动,经过点 A 时,从 l 的 一侧进入另一侧) ,求函数 f ( x ) 的表达式. 解析: (II)思路一:由 f ?(1) ? 1 ? a ? b 知 f ( x ) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线 l 的方程是

y ? f (1) ? f ?(1)( x ?1) ,即 y ? (1 ? a ? b) x ?

因为切线 l 在点 A(1 ,f ( x)) 处过 y ? f ( x) 的图象, 所以 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a, 3 2

x ? 1 不是 g ( x) 的极值点. 1 3 1 2 2 1 而 g ( x) ? x ? ax ? bx ? (1 ? a ? b) x ? ? a ,且 3 2 3 2 2 2 g?( x) ? x ? ax ? b ? (1 ? a ? b) ? x ? ax ? a ?1 ? ( x ?1)( x ? 1 ? a) . 若 1 ? ?1 ? a ,则 x ? 1 和 x ? ?1 ? a 都是 g ( x) 的极值点.

2 1 ? a] 在 x ? 1 两边附近的函数值异号,则 3 2

2 所以 1 ? ?1 ? a ,即 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? x . 3

解法二:同解法一得 g ( x) ? f ( x) ? [(1 ? a ? b) x ?

2 1 ? a] 3 2

1 3a 3 ? ( x ? 1)[ x 2 ? (1 ? ) x ? (2 ? a)] . 3 2 2 l A (1 , f (1)) 因为切线 在点 处穿过 y ? f ( x) 的图象, 所以 g ( x) 在 x ? 1 两边附近的函数值 异号,于是存在 m1,m2 ( m1 ? 1 ? m2 ) .

当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 ; 或当 m1 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, g ( x) ? 0 .

3a ? ? 3a ? ? x ? ? 2 ? ? ,则 2 ? ? 2 ? 当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 ;
设 h( x ) ? x 2 ? ? 1 ? 或当 m1 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 1 ? x ? m2 时, h( x) ? 0 . 由 h(1) ? 0 知 x ? 1 是 h( x) 的一个极值点,则 h(1) ? 2 ? 1 ? 1 ?
2 所以 a ? ?2 ,又由 a ? 4b ? 8 ,得 b ? ?1 ,故 f ( x) ?

? ?

3a ?0, 2

1 3 x ? x2 ? x 3

点评 本题中 “ l 在点 A 处穿过函数 y ? f ( x) 的图象” 实际上是指点 A 处是函数的拐点。 有关拐点的问题,在讲解极值点内容时举的最多的例子就是函数 y ? x 3 。在 x ? 0 处虽然 导函数值为 0,但不是极值点,左右两边的单调性相同。从数来看, x ? 0 使导函数所对 应方程的偶次重根。所以本例中可知 x ? 1 是 g ' ( x) ? 0 重根。 二、函数的凸凹性 例 2. f ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) 若对所有的 x 都有 f ( x) ? ax 成立,则实数 a 的取值范围是 _____. 解析: , , 由

设 F ( x) ? f ( x) ? ax ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? ax. 则 F ' ( x) ? ln(x ? 1) ? 1 ? a

F ' ( x) ? 0, 得 x ? e a ?1 。注意到 F(0)=0 ,若在定义域有极值则比在区间 (0,+ ∞ ) 外 . 即

另解:

f(x) 的示意图如图,由图可知直线 y=ax 在区间 (0,+ ∞ ) 上恒在 y=f(x)图像下方,所以 a≤1. 点评:本题注意 f ( x) 的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带 来一个问题:虽然可以证明函数是单调递增函数,但是递增的

形式是类似 y ? x 3 还是类似 y ? ln x 即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导,探讨切线 斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。

三、拉格朗日中值定理 例 3.(南通 2008 第二次调研考试.19) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x, g ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1). 如果 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 是增函 2

数,且 h' ( x ) 存在零点( h' ( x ) 为 h( x) 的导函数。 (1)求 a 的值; (2)设 A( x 1 , y1 ), B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 是函数 y ? g ( x) 的图像上两点,

g ' ( x0 ) ?

y 2 ? y1 的导函数。证明: x1 ? x0 ? x2 . x2 ? x1 y ? y1 ln x2 ? ln x1 1 1 ,? g ' ( x0 ) ? ? 2 ? x x0 x2 ? x1 x2 ? x1

解析: (1)略。a=e。 (2)由(1)得 g ( x) ? ln x, g ' ( x) ?

即 x0 ?

x2 ? x1 . ln x2 ? ln x1

x 2 ? x0 ? x 2 ?

x2 ? x1 x (ln x2 ? ln x1 ) ? ( x2 ? x1 ) x2 ln x2 ? x2 ln x1 ? x2 ? x1 ? 2 ? ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1

将 x2 换成 x 构造函数 H ( x) ? x ln x ? x ln x1 ? x ? x1 ,定义域为 x ? ( x1 , x2 ) 则 H ' ( x) ? ln x ? ln x1 ,? x ? ( x1 , x2 ) ? H ' ( x) ? 0 即 H ( x ) 在定义域 ( x1 , x2 ) 上单调增,

? H ( x) ? H ( x1 ) ? 0 。即 x2 ? x0 . 同理可证 x1 ? x0 .
点评:本道题目背景是拉格朗日中值定理中值定理:若函数 f ( x) 是在闭区间[a,b]上连续 不 断 的 函 数 , 且 在 区 间 (a,b) 内 导 数 都 存 在 , 则 (a,b) 至 少 存 在 一 点 x0 , 使 得

f ' ( x0 ) ?

f (b) ? f (a) 。而我们解决这一问题的手段是通过构造函数,利用导数证明单调 b?a

性,从而求证不等式。我们学过的指数、对数函数,正弦、余弦函数等都符合拉格朗日中 值定理。仿照例 3,请尝试证明下面题目。 1、 证明:当 0<a<b 时,

b?a b b?a ? ln ? . b a a

2、 已知函数 f ( x) ? mx3 ? nx2 , m, n ? R, m ? 0 的图像(2, f ( 2) )处的切线与 a 轴平 行。 (1) 求 m,n 的关系式并求 f(x)单调递减区间; (2) 证明对于任意实数 0 ? x1 ? x2 ? 1, 关于 x 的方程 f ( x) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 在 x2 ? x1

( x1 , x2 ) 恒有实数解。
例 4.函数 f ( x) ? x 3 ? x ? 2, x ? R. a=0 时,曲线 f ( x) 的切线斜率范围记为集合 A,曲线

f ( x) 上不同两点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,连线斜取值率范围记为集合 B,你认为集合 A、B
之间有怎样的关系,并证明你的结论。 解析: B ? A

? f ( x) ? x 3 ? x ? 2 有 f ' ( x) ? 3x 2 ? 1 ? 1 故 A ? [1,??)
设 PQ 斜率为 k,则 k ?
3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x13 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x 2 x1 ? x2

2 2 = x1 ? x1 x2 ? x2 ? 1= ( x1 ?

x2 2 3 2 ) ? x2 ? 1 2 4 x2 x x ? x1 ? 0. 若 x1 ? 2 ? 0, 有 x1 ? ? 2 ? 0, 得 2 2 2

? x1 ? x2 故 若 x 2 ? 0, 有 x1 ? x2 ? 0 ? ( x1 ?
?B ? A
点评:注意到割线 k 的表示形式 k ?

x2 2 3 2 ) ? x 2 ? 1 ? 1 ,即 k>1.? B ? (1,??) . 2 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ' ( x0 ) , x1 ? x2

x0 ? ( x1 , x2 ) ? 定义域 D,联系拉格朗日定理,易证若 k ? B ? k ? A .可将本题推广到任
意曲线割线斜率的范围组成的集合 B 是切线范围组成集合 A 的子集这一结论。 下面一题就很容易了。 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? b , 求证: 若 y ? f ( x) 图像上任意不同两点连线的斜率都不 大于 1,则 ? 3 ? a ? 3.


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