3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高二数学下学期期末考试试题(一)


高二数学下学期期末考试试题(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题
2 2

共 60 分)

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若 a , b ? (0 , ? ?) ,则“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的( ) .

(A)必要非充分条件; (B)充分非必要条件; (C)充要条件; (D)既不充分也不必要条件. 2.经过点(0,0) ,且与以(2,-1)为方向向量的直线垂直的直线方程为( (A) x ? 2 y ? 0 ; (C) 2 x ? y ? 0 ; (B) x ? 2 y ? 0 ; (D) 2 x ? y ? 0 .
2 2

) .

3.已知动点 P( x , y )满足 ( x ? 1) ? y

? x ? y ,则点 P 的轨迹是(

) .

(A)椭圆; (B)双曲线; (C)抛物线; (D)两相交直线. 4. (文科)给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果两条直线同垂直一个平面,那么这两条直线平行. 其中真命题的个数是( ) . (A)4; (B)3; (C)2; (D)1. (理科)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l ( ) . (A)平行; (B)相交; (C)垂直; (D)互为异面直线. 5.若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 1 ? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为( (A) (?? , 2) ; (B) (?? , 2] ; (C) (2 , ? ?) ; ) .

(D) [2 , ? ?) . ) .

6.已知直线 l : y ? ax ? 2 与以 A(1,4) 、B(3,1)为端点的线段相交,则实数 a 的取值范围是( (A) a ? ?

1 1 1 ; (B) ? ? a ? 2 ; (C) a ? 2 ; (D) a ? ? 或 a ? 2 . 3 3 3

2 2 7. 已知圆 C:( x ? a) ? ( y ? 2) ? 4 (a ? 0) 及直线 l :x ? y ? 3 ? 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3

时,则 a ? ( (A) 2 ;

) . (B) 2 ? 2 ;
2

(C) 2 ? 1 ;

(D) 2 ? 1 .

8.已知点 A(3,2) ,F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,当 PA ? PF 取得最小值时,点 P 的坐标是( ) . (A) (0,0) ;

(B) (2,2) ;

(C) (-2,-2)

(D) (2,0) . ) .

9. (文科)已知 a ? 0 , b ? 0 , (A) 4 2 ;

1 2 ? ? 1 ,则 a ? b 的最小值是( a b
(C)

(B) 3 ? 2 2 ;

2 2;
1

(D)5.

(理科)已知 x ? 4 ,则 y ? (A)最大值

x 2 ? 4x ? 5 有( 2x ? 4

) . (D)最小值 1.

5 5 ; (B)最小值 ; 4 4

(C)最大值 1;

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F1 和 F2 分别是双曲线的左、右焦点,PF 10.点 P 是双曲线 则 ?F1 PF2 1 ? PF 2 ? 0, 4 12
的面积是( ) . (A)24; (B)16;
?

(C)8;

(D)12. ) .

11. 如图 1, PA⊥平面 ABC, ∠ACB= 90 , 且 PA =AC=BC= a , 则异面直线 PB 与 AC 所成的角是 ( (A) arctan

1 ; (B) arctan 2 ; 2 2 ; (D) arctan 3 . 3

P

(C) arctan

A

C

图1

B x2 y2 12. (文科) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左, 右焦点分别为 F1 、 点 P 在椭圆上, 且 PF F2 , 1 ? 3 PF 2 , a b
则此椭圆的离心率的最小值为( (A) ) . (C)

2 ; 3

(B)

1 ; 2

1 ; 3

(D)

1 . 4

(理科)已知 E、F 是椭圆 值是( ) .
?

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, l 是椭圆的一条准线,点 P 在 l 上,则∠EPF 的最大 4 2

(A) 15 ;

(B) 30 ;

?

(C) 45 ;

?

(D) 60 .

?

第Ⅱ卷(非选择题满分 90)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13. m , n 是空间两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下面有四个命题: ①若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n ;②若 m ? n , ? // ? , m ? ? ,则 n // ? ; ③若 m ? n , ? // ? , m // ? ,则 n ? ? ;④若 m ? ? , m // n , ? // ? ,则 n ? ? . 其中真命题的编号是 . (写出所有真命题的编号)

2 2 14 . 对 于 圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上 任 一 点 P( x , y) , 不 等 式 x ? y ? m ? 0 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范





?x ? y ? 1 , ? 15.设 x, y 满足约束条件: ?2 x ? y ? 0 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 0 , ?
2



16.已知抛物线 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 8x ? 8 y ? 0 的对称轴为 x ? y ? 0 ,焦点为(1,1) ,则此抛物线的准线方 程是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)设 a ? 0 ,解关于 x 的不等式:

a ( x ? 2) ? 1. x ?1

18. (12 分)过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点 A、B,经过点 A 和抛物线顶 点的直线交准线于点 M. 求证: (Ⅰ) y A y B ? ? p 2 ; (Ⅱ)直线 MB 平行于抛物线的对称轴.

19. (12 分)如图 2,已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ)求证:MN⊥CD. (Ⅱ)在棱 PD 上是否存在一点 E,使得 AE∥平面 PMC?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明 理由.

P

N A M B C D

2 2 2 2 2 2 20. (12 分)如图 3,过圆 x ? y ? R 上的动点 P 向圆 x ? y ? r ( R ? r ? 0 )引两条切线 PA、PB,

切点分别为 A、B,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M、N 两点,求△MON 面积的最小值.

O
3

M B N

A P x

21. (12 分)已知 a , b ? R , x ? 1 , 求证: x a ? (
2 2

x 2 2 ) b ? ( a ? b) 2 . x ?1

22. (14 分)文科做(Ⅰ) 、 (Ⅱ) ;理科做(Ⅰ) 、 (Ⅲ) . 已知点 B(2,0) , OA ? (0 , 2 2 ) ,O 为坐标原点,动点 P 满足 OP ? OA ? OP ? OA ? 4 3 . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 m 为何值时,直线 l : y ? 3x ? m 与轨迹 C 相交于不同的两点 M、N,且满足 BM ? BN ? (Ⅲ) 是否存在直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与轨迹 C 相交于不同的两点 M、 N, 且满足 BM ? BN ?若存在, 求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案与提示:
一、选择题 1—5 BDBCB; 提示:
2 2

6—12

BCBBD

BB.

1.由 a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 ? (1 ? a)(1 ? b) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b ; 反之由 (1 ? a)(1 ? b) ? 0 不能推得 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 . 故“ a ? b ? 1 ”是“ ab ? 1 ? a ? b ”的充分非必要条件.选(B) .
2 2

4

2.由题设知已知直线的斜率为 ?

1 ,∴所求直线的斜率为 2; 2

又所求直线过原点,故 2 x ? y ? 0 为所求.选(D) . 3.由题设知动点 P 到定点(1,0)的距离和它到定直线 x ? y ? 0 的距离的比是常数 2 ,根据双曲线的第 二定义可得点 P 的轨迹为双曲线.选(B) . 4. (文科)①、④正确,选(C) . (理科)对于任意的直线 l 与平面 ? ,若 l 在平面 ? 内,则存在直线 m⊥ l ; 若 l 不在平面 ? 内,且 l ⊥ ? ,则平面 ? 内任意一条直线都垂直于 l ; 若 l 不在平面 ? 内,且 l 与 ? 不垂直,则它的射影在平面 ? 内为一条直线,在平面 ? 内必有直线 m 垂直于它 的射影,则 m ⊥ l .故选(C) . 5.由 x ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) ? ( x ? 1) ? 2 知 a ? 2 .选(B) . 6.由 A(1,4) 、B(3,1)在直线 l 上或其异侧得 (a ? 2)(3a ? 1) ? 0 . 解得 ?

1 ? a ? 2 .选(B) . 3

7.设截得的弦为 AB,圆心为 C (a , 2) ,作 CH ? AB 于 H,则由平几知识得 CH ? 1 . 由此得 CH ?

a?2?3 2

. ? 1 ,解得 a ? 2 ? 1 .选(C)

8.点 A 在抛物线含焦点区域,过 A 作 AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点 P,则由抛物线的定义知点 P (2,2)为所求点.选(B) . 9. (文科) a ? b ? (a ? b)(

1 2 2a b ? ) ? 3? ? ? 3 ? 2 2 ,选(B) . a b b a

(理科)令 t ? x ? 2 (t ? 2) ,则 f (t ) ?

x 2 ? 4x ? 5 1 1 ? (t ? ) . 2x ? 4 2 t 5 f (t ) 在 [2,??) 上是单调递增函数,故 y 的最小值是 f (2) ? .选(B) . 4
2

10.由 PF 1 1 ? PF 2 ? 0 得 PF ∴ S ?F1PF2 ?

? PF2

2

? 4c 2 ? 64, PF1 ? PF2 ? ?2a ? ?4 .

1 . PF1 ? PF2 =12.选(D) 2

11.如图,过 B 作 BD∥CA,且满足 BD=CA, 则∠PBD 为 PB 与 AC 所成的角. 易得四边形 ADBC 为正方形, 由 PA⊥平面 ABC 得 BD ? PD. 在 Rt△PDB 中, PD ?

P

A D B

C

2a ,
PD ? 2 .选(B) . DB

DB ? a , tan ?PBD ?

12. (文科)由题设和焦半径公式得 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 4 PF 2 ? 4(a ? exP ) .

0 ? x P ? a .∴ a ? 2exP ? 2ea .即 e ?

1 .选(B) . 2
5

(理科)不妨设右准线 l 交 x 轴于点 A,由平几知识知过 E、F 的圆且与 l 相切于点 P 时,∠EPF 最大.由圆 幂定理得 AP
2

? AE ? AF ? 3 2 ? 2 ? 6 .
? ? ?

易得∠FPA= 30 ,∠EPA= 60 ,从而∠EPF= 30 为所求最大值,故选(B) . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.①、④; 14. [ 2 ? 1 , ? ? ) ; 15.

5 ; 3

16. x ? y ? 2 ? 0 .

提示:13.②、③为假命题;①、④为真命题. 14.设点 P(cos? , 1 ? sin ? ) ,由题设得 cos ? ? 1 ? sin ? ? m ? 0 . 即 ? m ? u ? cos ? ? 1 ? sin ? 恒成立.而 u ?

2 sin( x ?

?
4

) ?1 ? 1? 2 ,
y 2x-y=0 x-2y=0 x

∴ ? m ? 1 ? 2 .故 m 的取值范围为 [ 2 ? 1 , ? ? ) . 15.如图,作出不等式表示的可行域(阴影部分) 和直线 l : 2 x ? y ? 0 ,将 l 向右上方平行移动,使其经过可

A

2 1 , ) 时, z ? 2 x ? y 取得最大值. 3 3 2 1 5 故当 x ? , y ? 时, z max ? . 3 3 3
行域内的点A (

O x+y=1 2x+y=0

16.对称轴 x ? y ? 0 与抛物线的交点(0,0)为抛物线的顶点,且抛物线的准线垂直于对称轴,焦点(1, 1)关于顶点(0,0)的对称点(-1,-1)在准线上,故所求准线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 三、解答题

(a ? 1) x ? (2a ? 1) ? 0. x ?1 2a ? 1 (a ? 1)(x ? ) a ? 1 当 a ? 1 时,不等式为 ? 0 .?????(3 分) x ?1 2a ? 1 ? 1 ,原不等式解集为 ①当 0 ? a ? 1 时, a ?1 2a ? 1 (?? , ) ? (1 , ? ?) ;?????(6 分) a ?1
17.不等式整理得 ②当 a ? 1 时,不等式解集为 (1 , ? ?) ;?????(9 分)

2a ? 1 2a ? 1 ? 1 ,原不等式解集为 (1 , ) .?????(12 分) a ?1 a ?1 p 2 18. (Ⅰ)AB 方程为 x ? my ? ,代入抛物线 y ? 2 px 方程得 2
③当 a ? 1 时,

y 2 ? 2 pmy? p 2 ? 0 .?????(3 分)
由韦达定理得 y A y B ? ? p .?????(5 分)
2

6

(Ⅱ)OA 方程为 y ?

yA p ? pyA x ,与准线方程联立解得 M (? , ) .???(8 分) xA 2 2x A

∴ yM ?

? pyA ? p 2 y A ? p 2 ? p 2 ? ? ? ? y B .?????(11 分) 2 2x A yA yA ? p2 yB

故直线 MB 平行于抛物线的对称轴.?????(12 分) 19. (Ⅰ)取 AC 的中点 O,连结 NO,MO, 由 N 为 PC 的中点得 NO∥PA.?????(2 分) 又 PA⊥平面 ABCD,∴NO⊥平面 ABCD.?????(4 分) 又∵OM⊥AB,由三垂线定理得 AB⊥MN. 又∵CD∥AB,∴MN⊥CD.?????(6 分) (Ⅱ)存在点 E,使得 AE∥平面 PMC. 此时点 E 为 PD 的中点.?????(8 分) P 证明如下:取 PD 的中点 E,连结 NE, 由 N 是 PC 的中点得 NE∥CD, NE ? 又 MA ∥CD, MA ?

1 CD . 2
N A M B O

E

1 CD , 2

∴MA∥NE,MA=NE. 由此可知四边形 MNEA 是平行四边形, ∴AE∥MN. 由 MN ? 平面 PMC, AE ? 平面 PMC, ∴AE∥平面 PMC.?????(12 分) 20.设 P( x0 , y0 ) 为圆 x ? y ? R 上任一点,则
2 2 2

D C

x0 ? R cos? , y0 ? R sin ? .
由题设知 O、A、P、B 在以 OP 为直径的圆上,该方程为
2 2 x0 ? y0 x0 2 y0 2 (x ? ) ? ( y ? ) ? ( ) 2 .?????(4 分) 2 2 2

而 AB 是圆 x ? y ? r 和以 OP 为直径的圆的公共弦,将这两圆方程相减得
2 2 2

直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? r .
2

∴M(

r2 r2 , 0) , N (0 , ) .?????(8 分) x0 y0

S ?MON

1 r4 r4 r4 r4 . ? OM ? ON ? ? ? ? 2 2 x0 y0 2 R cos? ? R sin ? R 2 sin 2? R 2
r4 .?????(12 分) R2

故△MON 面积的最小值为

7

21.∵ x a ? (
2 2

x 2 2 2x ? 1 2 ) b ? (a ? b) 2 ? ( x 2 ? 1)a 2 ? b ? 2ab ,??(3 分) x ?1 ( x ? 1) 2

∵ x ? 1 ,∴

2x ? 1 1 2x 2 ? ? ? 0, ( x ? 1) 2 x 2 ? 1 ( x ? 1)(x ? 1) 2



2x ? 1 1 .?????(6 分) ? 2 2 ( x ? 1) x ?1
2 2

∴ ( x ? 1)a ?

1 2x ? 1 2 b 2 ? 2ab b ? 2ab ? ( x 2 ? 1)a 2 ? 2 2 x ?1 ( x ? 1)

? 2 x 2 ? 1)a 2 ?
故x a ?(
2 2

1 b 2 ? 2ab ? 2 ab ? 2ab ? 0 ,?????(11 分) x ?1
2

x 2 2 ) b ? (a ? b) 2 .?????(12 分) x ?1

22. (Ⅰ)设点 P( x , y ) ,则 OP ? OA ? ( x , y ? 2 2 ) , OP ? OA ? ( x , y ? 2 2 ) . 由题设得 x ? ( y ? 2 2 ) ?
2 2

x 2 ? ( y ? 2 2 ) 2 ? 4 3 .???(3 分)

即点 P 到两定点(0, 2 2 ) 、 (0,- 2 2 )的距离之和为定值 4 3 ,故轨迹 C 是以(0, ? 2 2 )为焦点, 长轴长为 4 3 的椭圆,其方程为

x2 y2 ? ? 1 .??(6 分) 4 12

(Ⅱ)设点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) ,线段 MN 的中点为 M 0 ( x0 , y0 ) , 由 BM ? BN 得 BM 0 垂直平分 MN . 联立 ?

? ? y ? 3x ? m , 2 2 消去 y 得 6 x ? 2 3mx ? m ? 12 ? 0 . 2 2 ? ?3 x ? y ? 12 .

由 ? ? (2 3m) 2 ? 24(m2 ? 12) ? 0 得 ? 2 6 ? m ? 2 6 .???(10 分) ∴ x0 ?

x1 ? x2 m m m m m ) ? m ? .即 M 0 (? , ). , y 0 ? 3 (? ?? 2 2 2 3 2 3 2 2 3

由 BM 0 ⊥ MN 得 k BM 0 ? k MN ?

?

m 2 m 2 3

? 3 ? ?1 . ?2

故 m ? 2 3 为所求.???(14 分) (Ⅲ)若存在直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y 2 ) ,且满足
8

BM ? BN ,令线段 MN 的中点为 M 0 ( x0 , y0 ) ,则 BM 0 垂直平分 MN .
联立 ?
2 2 ? ?3x1 ? y1 ? 12 , 2 2 ? ?3x 2 ? y 2 ? 12 .

两式相减得 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ?( y1 ? y 2 )( y1 ? y2 ) . ∴ k MN ?

3x y1 ? y 2 3( x ? x ) ?? 1 2 ?? 0 ?k. x1 ? x2 y1 ? y 2 y0
y0 3 1 ? ? .∴ x0 ? ?1 , y 0 ? . k x0 ? 2 k

又由 BM 0 ⊥ MN 得 k BM0 ? 即 M 0 (?1 ,

3 ) .???(10 分) k
3 k

2 2 又点 M 0 在椭圆 C 的内部,故 3x0 ? y0 ? 12 .即 3 ? (?1) 2 ? ( ) 2 ? 12 .

解得 k ? 1 .又点 M 0 (?1 , ∴m ? k?

3 3 ) 在直线 l 上,∴ ? ?k ? m . k k

3 3 . ? k ? ? 2 3 (当且仅当 k ? 3 时取等号) k k

故存在直线 l 满足题设条件,此时 m 的取值范围为 (?? , ? 2 3] ? [2 3 , .???(14 分) ? ?)

9


推荐相关:

高二数学下期末测试题及答案

高二数学下期末测试题及答案_专业资料。高二数学下期末测试题及答案共 150 分. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 ...


中学2015年高二数学(文)下学期期末考试试题(含答案)

中学2015年高二数学(文)下学期期末考试试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。...第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60...


高二数学下学期期末考试试题(一)

高二数学下学期期末考试试题(一)_数学_高中教育_教育专区。高二数学下学期期末考试试题(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分共 150 分,考试...


辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理_数学_高中教育_教育专区。文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014——2015...


2014高二数学下学期期末考试试题

2014高二数学下学期期末考试试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。由查字典数学网为您提供的 2014 高二数学下学期期末考试试题,希望您阅读愉快!一、选择 题(...


2014人教版高二数学下期末测试题及答案

2014人教版高二数学下期末测试题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2014 人教版高二数学下期末测试题共 150 分 . 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)参考公式: ...


高二数学下学期理科期末考试题

高二数学下学期理科期末考试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。东校区 高二下...20. (本题 满分 1 2 分) 如图一,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, A...


北京高二数学下学期期末考试试题1

北京高二数学下学期期末考试试题1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学下学期期末考试试题 第Ⅰ卷一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四...


新课标高二数学下学期期末考试模拟试题一

新课标高二数学下学期期末考试模拟试题一_高二数学_数学_高中教育_教育专区。部分答案已更正高二数学理科下学期期末考试模拟试题一 何银刚一、选择题: (每题 5 分...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com