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上海市青浦区2013届高三一模数学答案


上海市青浦区 2013 届高三一模数学试题 参考答案
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)Q.2013.01.18 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. a ? 2 ;2. f
?1

(x) ? 2

x ?1

( x ? 2 ) ;3.

(0,

1

3 ) 8 ;4.2;5. 3 3 ;6. 2 ? ;7. ; 2

8. ? 2 或 -

1 2

;9.

4 5

;10.

P3
2

3 4

?

1 40

C 5 P4

;11.1;12. ? , 2 ? ;13.
?2 ?

?3

?

9 3 4

;14.-3.

1. 已知集合 A ? ?x x ? 2 ?, B ? ?x x ? a ? , A ? B ? R , 且 则实数 a 的取值范围__ a ? 2 ____. 2.函数 f ( x ) ? 1 ? log
x ( x ? 2 ) 的反函数 f
1 8
?1

2

(x) ? 2

x ?1

( x ? 2) .

3.抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标是____
2

(0,

)



1

3 b2 4

5 c 2 ? a 2 A 2 ? b 2 B 2 ? c 2 C 2 ,则 C 2 化简后的最后 6

4.若 a 2
2

结果等于_____2 . 5.已知:正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它 的体积 V ?
3 3



6.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半 径的比值是
2?


10 ,则

7.在 ? ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ?
AB ? AC ?
3 2



8.若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位 置后变成一个等比数列,则此等比数列的公比为 可) ? 2 或 .
1 2

(写出一个即



9.如果执行右面的框图,输入 N ? 4 ,则输出的数 S 等于

4 5



10.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 A 、 B 、 C 、 D 四个不同岗位服务,每个岗位至 少有一名志愿者,则甲、乙两人同时参加岗位 A 服务的概率是
P3
2 3 4

?

1 40



C 5 P4
2

11 . 已 知 a sin ? ? a cos ? ? 1 ? 0 与 b 2 sin ? ? b cos ? ? 1 ? 0 ( a ? b ) . 直 线 MN 过 点
M (a, a )
2

与点 N ( b , b 2 ) ,则坐标原点到直线 MN 的距离是
?(2 ? a ) x ? 1 , x ? 1 ?a
x

1



12.已知 f ( x ) ? ?

, x ?1
?3 ?

满足对任意 x 1 ? x 2 都有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? 0 成立,那

么 a 的取值范围是_____ ? , 2 ? ?2 ?



13.正六边形 A1 B 1 C 1 D 1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成了一个正六边形
A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是
9 3 4



1 ? 5 3 ? ( x ? 4 ) ? 2013 ( x ? 4 ) ? ? 4 14.设 x , y ? R 且满足 ? ,则 x , ? y ? _____ ? 3 1 ? 5 3 ? ( y ? 1 ) ? 2013 ( y ? 1 ) ? 4



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方

程为??????????????????????????????????? ( D ) .
A . y ? ?2 x
B.

y ? ?

2x

C .

y ? ?

1 2

x

D . y ? ?

2 2

x

16.对于原命题“周期函数不是单调函数” ,下列陈述正确的是?????????? ( D ) .
A .逆命题为“单调函数不是周期函数”

B . 否命题为“周期函数是单调函数”

C .逆否命题为“单调函数是周期函数”

D . 以上三者都不对

17.已知复数 z 0 ? 1 ? 2 i 在复平面上对应点为 P0 ,则 P0 关于直线 l : z ? 2 ? 2 i ? z 的对称 点的复数表示是????????????????????????????? ( B. ) .
A .? i
B. i C .1 ? i

D .1 ? i

18.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?a n ? 是等差数列,
a 1007 ? 0





f ( a 1 ) ? f ( a 2 ) ? f ( a 3 ) ? ? ? f ( a 2012 ) ? f ( a 2013 )



值????????????( A ) . B . 恒为负数 C .恒为 0 A .恒为正数 D .可正可负 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 中的底面是边长为 6 的正方形, 侧棱
PA 的长为 8,且垂直于底面,点 M 、 N 分别是 DC 、 AB 的

中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值 表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积. (1)解法 一:连结 AM ,可证 CN ∥ AM , 直线 PM 与 AM 所成角等于直线 PM 与 CN 所成角. 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AM , 点 M 分别是 DC 的中点, DC ? 6 ? AM ? 3 5 在 Rt ? PAM 中, PA ? 8 , AM ? 3 5 ,
tan ? PMA ? 8 3 5 ? 8 5 15

??????????2 分

,? ? PMA ? arctan

8 5 15

?

?????????4 分

即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arctan

8 5 15

.??????????6 分

解法二:以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得 M ( 3 , 6 , 0 ) , P ( 0 , 0 ,8 ) , N ( 3 , 0 , 0 ) ,
C ( 6 , 6 , 0 ) ,? PM ? ( 3 , 6 , ? 8 ) ,? CN ? ( ? 3 , ? 6 , 0 )

??????????

2分 直线 PM 与 CN 所成角为 ? ,向量 PM 与 CN 的夹角为 ?
? cos ? ? PM ? CN PM CN
3 545 109

?

? 45 109 ? 45

? ?

3 545 109

??????????4 分

又 cos ? ? cos ? ?

, ? ? arccos

3 545 109



即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arccos (说明:两种方法难度相当)

3 545 109

.??????????6 分

(2) 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AB , PA ? AD 即 Rt ? PAB ≌ Rt ? PDC
? PA ? BC ? BC ? PB ,同理 CD ? PD ? Rt ? PBC ≌ Rt ? PAD ????8 分 ? ? AB ? BC

底面四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,所以 S 底 ? 36 又
S 侧 ? S ? PAB
? 2?( 1 2 PA ? AB ) ? 2 ? ( 1 2

? S ? PAD
PB ? BC ) ? 48 ? 60 ? 108

? S ? PBC

? S ? PCD

S 表 ? 108 ? 36 ? 144

所以四棱锥 P ? ABCD 的表面积是 144 ????????????????12 分 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 3 a n ? 3 (1)设 b n ?
an ? 2 3
n n
n ?1

?2

n

(n ? N ) .
*

证明:数列 ?b n ? 为等差数列,并求数列 ?a n ? 的通项公式;

(2)求数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n .
a n ?1 ? 2 3
n ?1 n ?1

解: (1)? b n ? 1 ? b n ?

?

an ? 2 3
n

n

?

3a n ? 3

n ?1

? 2
n ?1

n

? 2

n ?1

?

an ? 2 3
n

n

? 1 ,??

3

2分
? { b n } 为等差数列.又 b 1 = 0 ,? b n ? n ? 1 .?????????????????

4分
? a n ? ?n ? 1? ? 3 ? 2 . ???????????????????????????
n n

6分 (2)设 T n ? 0 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 3 ,则
1 2 n

3 T n ? 0 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 3
2 3

n ?1


9 (1 ? 3
n ?1

? ? 2 T n ? 3 ? ? ? 3 ? ( n ? 1) ? 3
2 n

n ?1

?

)

1? 3

? ( n ? 1) ? 3

n ?1

. ???????10


? Tn ? 9?3 4
n ?1

?

( n ? 1) ? 3 2

n ?1

?

( 2 n ? 3) ? 3 4

n ?1

?9



? S n ? Tn ? 2 ? 2

?

2

?? ? 2

n

??

? 2 n ? 3 ?3 n ? 1
4

? 2

n?3

?1



??????????

14 分 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 m ? ( 2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x , ? y ) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; (2)已知 a , b , c 分别为 ? ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( x ) ? f (
x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

A 2

) 对所有

解: (I)由 m ? n ? 0 得 2 cos 分 即 y ? 2 cos 4分 所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 分 (II)因为 f ( x ) ? f (
A 2
2

2

x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

??????????2

x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ?????

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

??????????6

) 对所有 x ? R 恒成立

所以 f ( 分

A 2

) ? 3 ,且 A ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z

????????????8

因为 A 为三 角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 分 由正弦定理得 b ?
4 3 3 4 3 3 4 3 3 2? 3 sin B , c ? 4 3 3

?
3



????????????9

sin C , b ? c ?

4 3 3

sin B ?

4 3 3

sin C

?

sin B ?

sin(

? B ) ? 4 sin( B ?

?
6

)

??????????????12


? B ? (0 , 2? 3 ) ,? sin( B ?

?
6

)? (

1 2

,1] , b ? c ? ( 2 , 4 ]

所以 b ? c 的取值范围为 ( 2 , 4 ] 分

??????????????????14

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 2 分. 设直线 L 1: y ? k 1 x ? p , p ? 0 交椭圆 ? :
L 2 : y ? k 2 x 于点 E .
b a
2 2

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 于 C 、 D 两点,交直线

a

(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k 1 ? k 2 ? ?



(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明) 、 . 解: (1)解法一:设 C ( x 1 , y 1 ) D ( x 2 , y 2 ) E ( x 0 , y 0 )
? y ? k1 x ? p ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( b ? a k 1 ) x ? 2 k 1 pa x ? a p ? a b ? 0 ?????????2 ?x y ? 2 ? 2 ?1 b ?a


? x1 ? x 2 ? ? 2 k 1 pa b
2 2 2 2

? a k1

, y1 ? y 2 ? k1 ?

? 2 k 1 pa b
2 2

2 2

? a k1

? 2p ? b

2 pb
2

2 2 2

? a k1

??????4



x1 ? x 2 ? 2 ? x0 ? y1 ? y 2 2 pb ? 2 ? 又? ? k2 ? ? 2 k 1 pa x1 ? x 2 ? y ? y1 ? y 2 0 ? 2 ?

2

? k1 ? k 2 ? ?

b a

2 2

?????????7

分 解法二(点差法) :设 C ( x 1 , y 1 ) D ( x 2 , y 2 ) E ( x 0 , y 0 )
x1 a
2 2

?

y1 b

2

2

? 1 (1 ) ,

x2 a

2

2

?

y2 b

2

2

? 1 (2)

两式相减得

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) a
2

?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) b
2

? 0



2 x 0 ( x1 ? x 2 ) a
2

?

2 y 0 ( y1 ? y 2 ) b
2
2

? 0 ????????????????????3 分

? k1 ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

? b ? x0 a ? y0
2

? ?

b
2

2

a ?k2

? k1 ? k 2 ? ?

b a

2 2

???????????????????????????7 分

(2)逆命题:设直线 L 1: y ? k 1 x ? p 交椭圆 ? :
2 2

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 于 C 、 D 两点,

a

交直线 L 2 : y ? k 2 x 于点 E .若 k 1 ? k 2 ? ? 分

b a

,则 E 为 CD 的中点.?????????9

? y ? k1 x ? p ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ( b ? a k 1 ) x ? 2 k 1 pa x ? a p ? a b ? 0 证法一:由方程组 ? x 2 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

???????????????????????????????????10 分 因为直线 L 1: y ? k 1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点, 所以 ? ? 0 ,即 a k 1 ? b ? p
2 2 2 2

? 0 ,设 C ( x 1 , y 1 ) 、 D ( x 2 , y 2 ) 、 E ( x 0 , y 0 )
y1 ? y 2 2 pb b
2 2 2 2

则? x 0 ?

x1 ? x 2 2

? b

? k 1 pa
2 2

2 2

? a k1

, y0 ?

?

? a k1

????????12 分

p ? 2 ? y ? k1 x ? p b ?x ? k 2 ? k 1 又因为? k 1 ? k 2 ? ? ? ? ,所以 ? 2 a ?y ? k2x ?y ? k x 2 ?
2 ? ? a k1 p p x ? ? 2 ? x0 ? 2 2 k 2 ? k1 b ? a k1 ? ,故 E 为 CD 的中点.???????????14 分 ? 2 b p ? y ? k2x ? 2 ? y0 2 2 ? b ? a k1 ?

证法二:设 C ( x 1 , y 1 ) D ( x 2 , y 2 ) E ( x 0 , y 0 )
x1 a
2 2



?

y1 b

2

2

? 1 (1 ) ,

x2 a

2

2

?

y2 b

2

2

? 1 (2)

两式相减得

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) a
2

?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) b
2

? 0

即 k1 ?

y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

? b ? ( x1 ? x 2 )
2

a ? ( y1 ? y 2 )
2

?????????????????????9 分

又? k 1 ? k 2 ? ?

b a

2 2

,k2 ?

y0 x0



y1 ? y 2 x1 ? x 2

?

x0 y0



k 1 x1 ? p ? k 2 x 2 ? p x1 ? x 2
? k1 ? 2p x1 ? x 2

?

kx 0 ? p x0

????????????????????12 分

? k1 ?

p x0

得 x 1 ? x 2 ? 2 x 0 ? y 1 ? y 2 ? 2 y 0 ,即 E 为 CD 的中点.???????????14 分
x
2 2

(3)设直线 L 1: y ? k 1 x ? p , p ? 0 交双曲线 ? :

?

y b

2 2

? 1 (a ? 0 , b ? 0) 于C 、 D 两

a

点,交直线 L 2 : y ? k 2 x 于点 E .则 E 为 CD 中点的充要条件是
k1 ? k 2 ? b a
2 2

.???????16 分

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把定义在 R 上,且满足 f ( x ? T ) ? af ( x ) (其中常数 a , T 满足 a ? 1 , a ? 0 , T ? 0 )的

函数叫做似周期函数. (1)若某个似周期函数 y ? f ( x ) 满足 T ? 1 且图像关于直线 x ? 1 对称.求证:函数 f ( x ) 是偶函数; (2)当 T ? 1, a ? 2 时,某个似周期函数在 0 ? x ? 1 时的解析式为 f ( x ) ? x (1 ? x ) ,求函 数 y ? f ( x ) , x ? ?n , n ? 1 ?, n ? Z 的解析式; (3)对于确定的 T ? 0且 0 ? x ? T 时, f ( x ) ? 3 ,试研究似周期函数函数 y ? f ( x ) 在区
x

间 ( 0 , ?? ) 上是否可能是单调函数?若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由. 解:因为 x ? R 关于原点对称,????????????????????1 分 又函数 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称,所以
f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ①

?????????????????????2 分

又 T ? 1 ,? f ( x ? 1) ? af ( x ) , 用 ? x 代替 x 得 f ( ? x ? 1) ? af ( ? x ) , ③ ?????????????????3 分 由①②③可知 af ( x ) ? af ( ? x ) , ? a ? 1 且 a ? 0 ,
? f ( x ) ? f ( ? x ) .即函数 f ( x ) 是偶函数;????????????????4 分

(2)当 n ? x ? n ? 1 ( n ? Z ) 时, 0 ? x ? n ? 1 ( n ? Z )
f ( x ) ? 2 f ( x ? 1) ? 2
2

f ( x ? 2) ? ? ? 2

n

f ( x ? n ) ? 2 ( x ? n )( n ? 1 ? x ) ;??10 分
n

(3)当 nT ? x ? ( n ? 1 )T ( n ? N ) 时, 0 ? x ? nT ? T ( n ? N )
f ( x ) ? af ( x ? T ) ? a f ( x ? 2 T ) ? ? ? a f ( x ? nT ) ? a 3
2 n n x ? nT

???????12 分 ???????13 分

显然 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , ?? ) 上不是单调函数 又 a ? 0 时, f ( x ) ? a 3
n n n T x ? nT

, x ? ( nT , ( n ? 1) T ], n ? N 是增函数,

此时 f ( x ) ? ( a , a 3 ], x ? ( nT , ( n ? 1) T ], n ? N ??????????????14 分 若函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , ?? ) 上是单调函数,那么它必须是增函数,则必有
a
n ?1

? a 3 ,
n T T

?????????????????????16 分 ?????????????????????18 分

解得 a ? 3




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