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1.3函数的基本性质习题课课时练(人教A版必修1)


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§ 1.3
课时目标 力.

习题课

1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能

1.若函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数,则( 1 1 1 A.k> B.k< C.k>- 2 2 2

)

1 D.k<- 2 f?a?-f?b? 2.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 >0 成立,则必 a-b 有( ) A.函数 f(x)先增后减 B.函数 f(x)先减后增 C.f(x)在 R 上是增函数 D.f(x)在 R 上是减函数 3.已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,且 a+b>0,则有( ) A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) 4.函数 f(x)的图象如图所示,则最大、最小值分别为( )

3 3 A.f( ),f(- ) 2 2 3 B.f(0),f( ) 2 3 C.f(0),f(- ) 2 D.f(0),f(3) 5.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,b= ________. 1 x-1, x≥0, 2 6.已知 f(x)= 若 f(a)>a,则实数 a 的取值范围是______________. 1 , x<0, x

? ? ?

一、选择题 1.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,已知 x1>0,x2<0,且 f(x1)<f(x2),那么一定有( ) A.x1+x2<0 B.x1+x2>0 C.f(-x1)>f(-x2) D.f(-x1)· f(-x2)<0
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2.下列判断: ①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,那么这个函数为偶函数; ②对于定义域为实数集 R 的任何奇函数 f(x)都有 f(x)· f(-x)≤0; ③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数; ④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一. 其中正确的序号为( ) A.②③④ B.①③ C.② D.④ 2⊕x 3.定义两种运算:a⊕b=ab,a?b=a2+b2,则函数 f(x)= 为( ) ?x?2?-2 A.奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 4.用 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值,若函数 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直 1 线 x=- 对称,则 t 的值为( ) 2 A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.如果奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数,且最小值为 3,那么 f(x)在区间[-5,-1] 上是( ) A.增函数且最小值为 3 B.增函数且最大值为 3 C.减函数且最小值为-3 D.减函数且最大值为-3 6.若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则 f(x-1)<0 的解集是( ) A.(-1,0) B.(-∞,0)∪(1,2) C.(1,2) D.(0,2) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 x+a 7. 若函数 f(x)=- 为区间[-1,1]上的奇函数, 则它在这一区间上的最大值为____. bx+1 8.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-3,则 f(-2)+f(0)= ________. 9.函数 f(x)=x2+2x+a,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围 是________. 三、解答题 10.已知奇函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, f(1)=0. (1)求证:函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数; (2)解关于 x 的不等式 f(x)<0.

x2+ax+b 11.已知 f(x)= ,x∈(0,+∞). x (1)若 b≥1,求证:函数 f(x)在(0,1)上是减函数; (2)是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列两个条件: ①在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是 3.若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

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能力提升 1 ,x∈[0,+∞) x+1 (1)用单调性的定义证明 f(x)在定义域上是增函数; (2)设 g(x)=f(1+x)-f(x),判断 g(x)在[0,+∞)上的单调性(不用证明),并由此说明 f(x) 的增长是越来越快还是越来越慢? 12.设函数 f(x)=1-

13.如图,有一块半径为 2 的半圆形纸片,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的 下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,设 CD=2x,梯形 ABCD 的周长为 y. (1)求出 y 关于 x 的函数 f(x)的解析式; (2)求 y 的最大值,并指出相应的 x 值.

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1.函数单调性的判定方法 (1)定义法. (2)直接法:运用已知的结论,直接判断函数的单调性,如一次函数,二次函数,反比 1 例函数;还可以根据 f(x),g(x)的单调性判断-f(x), ,f(x)+g(x)的单调性等. f?x? (3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性. 2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数 f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上最值问题,有以下结论: (1)若 h∈[m,n],则 ymin=f(h)=k,ymax=max{f(m),f(n)}; (2)若 h?[m,n],则 ymin=min{f(m),f(n)}, ymax=max{f(m),f(n)}(a<0 时可仿此讨论). 3.函数奇偶性与单调性的差异. 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的, 这一点与研究函数的单调性不同, 从这个 意义上说,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只 是对函数定义域内的每一个值 x, 都有 f(-x)=-f(x)[或 f(-x)=f(x)], 才能说 f(x)是奇函 数(或偶函数).

§ 1.3
双基演练 1.D

习题课

1 [由已知,令 2k+1<0,解得 k<- .] 2 f?a?-f?b? 2.C [由 >0,知 f(a)-f(b)与 a-b 同号, a-b 由增函数的定义知选 C.] 3.C [∵a+b>0,∴a>-b,b>-a. 由函数的单调性可知,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a). 两式相加得 C 正确.] 4.C [由图象可知,当 x=0 时,f(x)取得最大值; 3 当 x=- 时,f(x)取得最小值.故选 C.] 2 1 5. 0 3 解析 偶函数定义域关于原点对称, 1 ∴a-1+2a=0.∴a= . 3 1 ∴f(x)= x2+bx+1+b. 3 又∵f(x)是偶函数,∴b=0. 6.(-∞,-1) 1 解析 若 a≥0,则 a-1>a,解得 a<-2,∴a∈?; 2 1 若 a<0,则 >a,解得 a<-1 或 a>1,∴a<-1. a 综上,a∈(-∞,-1). 作业设计 1.B [由已知得 f(x1)=f(-x1),且-x1<0,x2<0,而函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数, 因此由 f(x1)<f(x2),则 f(-x1)<f(x2)得-x1<x2,x1+x2>0.故选 B.] 2.C [判断①,一个函数的定义域关于坐标原点对称,是这个函数具有奇偶性的前提 条件,但并非充分条件,故①错误. 判断②正确, 由函数是奇函数, f(-x)=-f(x), 知 特别地当 x=0 时, f(0)=0, 所以 f(x)· f(-
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x)=-[f(x)]2≤0. 判断③,如 f(x)=x2,x∈[0,1],定义域不关于坐标原点对称,即存在 1∈[0,1],而-1 ? [0,1];又如 f(x)=x2+x,x∈[-1,1],有 f(x)≠f(-x).故③错误. 判断④,由于 f(x)=0,x∈[-a,a],根据确定一个函数的两要素知,a 取不同的实数时, 得到不同的函数.故④错误. 综上可知,选 C.] 2x 3.A [f(x)= 2 ,f(-x)=-f(x),选 A.] x +2 4.D [当 t>0 时 f(x)的图象如图所示(实线)

t t 1 对称轴为 x=- ,则 = ,∴t=1.] 2 2 2 5.D [当-5≤x≤-1 时 1≤-x≤5, ∴f(-x)≥3,即-f(x)≥3. 从而 f(x)≤-3, 又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同, 故 f(x)在[-5,-1]上是减函数.故选 D.] 6.D [依题意,因为 f(x)是偶函数,所以 f(x-1)<0 化为 f(|x-1|)<0,又 x∈[0,+∞) 时,f(x)=x-1,所以|x-1|-1<0, 即|x-1|<1,解得 0<x<2,故选 D.] 7.1 解析 f(x)为[-1,1]上的奇函数,且在 x=0 处有定义, 所以 f(0)=0,故 a=0. -1 1 又 f(-1)=-f(1),所以- = , -b+1 b+1 故 b=0,于是 f(x)=-x. 函数 f(x)=-x 在区间[-1,1]上为减函数, 当 x 取区间左端点的值时,函数取得最大值 1. 8.-1 解析 ∵f(-0)=-f(0),∴f(0)=0, 且 f(2)=22-3=1. ∴f(-2)=-f(2)=-1, ∴f(-2)+f(0)=-1. 9.a>-3 解析 ∵f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1, ∴[1,+∞)为 f(x)的增区间, 要使 f(x)在[1,+∞)上恒有 f(x)>0,则 f(1)>0, 即 3+a>0,∴a>-3. 10.(1)证明 设 x1<x2<0,则-x1>-x2>0. ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(-x1)>f(-x2). ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2), ∴-f(x1)>-f(x2),即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. (2)解 若 x>0,则 f(x)<f(1),∴x<1,∴0<x<1; 若 x<0,则 f(x)<f(-1),∴x<-1.
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∴关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1). 11.(1)证明 设 0<x1<x2<1,则 x1x2>0,x1-x2<0. 又 b>1,且 0<x1<x2<1,∴x1x2-b<0. ?x1-x2??x1x2-b? ∵f(x1)-f(x2)= >0, x1x2 ∴f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数. (2)解 设 0<x1<x2<1, ?x1-x2??x1x2-b? 则 f(x1)-f(x2)= x1x2 由函数 f(x)在(0,1)上是减函数,知 x1x2-b<0 恒成立,则 b≥1. 设 1<x1<x2,同理可得 b≤1,故 b=1. x∈(0,+∞)时,通过图象可知 f(x)min=f(1)=a+2=3. 故 a=1. x1-x2 1 1 12.(1)证明 设 x1>x2≥0,f(x1)-f(x2)=(1- )-(1- )= . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? 由 x1>x2≥0?x1-x2>0,(x1+1)(x2+1)>0, 得 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在定义域上是增函数. 1 (2)解 g(x)=f(x+1)-f(x)= , ?x+1??x+2? g(x)在[0,+∞)上是减函数,自变量每增加 1,f(x)的增加值越来越小,所以 f(x)的增长 是越来越慢. 13.解 (1)作 OH,DN 分别垂直 DC,AB 交于 H,N, 连结 OD. 由圆的性质,H 是中点,设 OH=h, h= OD2-DH2= 4-x2. 又在直角△AND 中,AD= AN2+DN2 = ?2-x?2+?4-x2?= 8-4x=2 2-x,

所以 y=f(x)=AB+2AD+DC=4+2x+4 2-x,其定义域是(0,2). (2)令 t= 2-x,则 t∈(0, 2),且 x=2-t2, 所以 y=4+2· (2-t2)+4t=-2(t-1)2+10, 当 t=1,即 x=1 时,y 的最大值是 10.

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