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高中数学典型例题解析导数及其应用


三、经典例题导讲
2 [例 1]已知 y = (1 + cos 2 x) ,则 y ′ =

.

错因: 错因:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解 为: y ′ = ?2 sin 2 x(1 + cos 2 x ) .

′ x 正解: 正解:设 y = u , u = 1 + cos 2 x ,则 y ′ = y u u ′ = 2u (1 + cos 2 x ) ′ = 2u ? ( ? sin 2 x ) ? ( 2 x ) ′ x
2

= 2u ? (? sin 2 x) ? 2 = ?4 sin 2 x(1 + cos 2 x) ∴ y ′ = ?4 sin 2 x(1 + cos 2 x) .

?1 2 ? 2 ( x + 1)( x ≤ 1) ? 2]已知函数 f ( x ) = ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? [例 2] ? 1 ( x + 1)( x > 1) ?2 ?
1 1 [(1 + ?x) 2 + 1] ? (12 + 1) 2 错解: = 1,∴ f ′(1) = 1 。 错解:Q lim 2 ?x → 0 ?x
分析: 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 .

1 1 [(1 + ?x) 2 + 1] ? (12 + 1) ?y 2 = lim ? 2 =1 解: lim ? ?x →0 ?x ?x →0 ?x

∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注: ?x → 0 ,指 ?x 逐渐减小趋近于 0; ?x → 0 ,指 ?x 逐渐增大趋近于 0。 点评: 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 lim
+ ?

?x →0

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) + - ,△x→0,包括△x→0 ,与△x→0 ,因此, ?x

在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能 判定这点存在导数,否则不存在导数.
2 3]求 [例 3] y = 2 x + 3 在点 P (1,5) 和 Q ( 2,9) 处的切线方程。

错因: 错因:直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析: 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ′ 在 x = 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:Q y = 2 x + 3,∴ y ′ = 4 x. ∴ y ′
2
x =1 =

4

即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y = 4 x + 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x 0 , y 0 ) ,则切线的斜率为 4 x0 ,又 k PQ =

y0 ? 9 , x0 ? 2



2 x0 2 ? 6 = 4 x0 ,∴ 2 x0 2 ? 8 x0 + 6 = 0. ∴ x0 = 1,3 。 x0 ? 2

即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为:

y = 4 x ? 1, y = 12 x ? 15
点评: 点评 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.

1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 的切线方程. x 1 分析: 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 y = x + 的图象上各点处切线的斜率都小于 1,只要证它的导函数的函数值 x
4]求证:函数 y = x + [例 4] 都小于 1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解:(1) y = x +

1 1 1 ,∴ y ′ = 1 ? 2 < 1 ,即对函数 y = x + 定义域内的任一 x ,其导数值都小于 1 ,于是由导数的几 x x x
1 图象上各点处切线的斜率都小于 1. x

何意义可知,函数 y = x + (2)令 1 ?

1 1 = 0 ,得 x = ±1 ,当 x = 1 时, y = 1 + = 2 ;当 x = ?1 时, y = ?2 , 1 x2
1 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 (1,2) 与 ( ?1,?2) ,切线方程分别为 y = 2 或 y = ?2 。 x

∴ 曲线 y = x +

点评: 要求其切线方程, 需要求出切点, 而切点的横坐标就是 y = f (x ) 点评: 在已知曲线 y = f (x ) 切线斜率为 k 的情况下, 的导数值为 k 时的解,即方程 f ′( x ) = k 的解,将方程 f ′( x ) = k 的解代入 y = f (x ) 就可得切点的纵坐标,求出了切点 坐标即可写出切线方程,要注意的是方程 f ′( x ) = k 有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条. 5]已知 a > 0 , 函数 f ( x ) = x 3 ? a ,x ∈ [0,+∞ ) , x1 > 0 , 设 记曲线 y = f (x ) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l . [例 5] (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴交点为 ( x 2 ,0) ,求证:
1 a3; 1 1 3 ,则 a 3 a

① x2 ≥

②若 x1 >

< x 2 < x1

分析: 分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 . 解:(1) f ( x ) = lim
/

?y ( x + ?x) 3 ? a ? x 3 + a = lim ?x →0 ?x ?x → 0 ?x

= lim

3 x 2 ?x + 3 x(?x) 2 + (?x) 3 ?x →0 ?x

= lim [3 x 2 + 3 x?x + (?x) 2 ] = 3 x 2
?x → 0

∴ f ′( x1 ) = 3x12 ∴ 切线 l 的方程为 y ? f ( x1 ) = f ′( x1 )( x ? x1 )

即 y ? ( x1 ? a ) = 3 x1 ( x ? x1 ) .
3 2

(2)①依题意,切线方程中令 y=0 得,

②由①知 x 2 = x1 ?

x13 ? a 3x12

,∴ x2 ? x1 = ?

x13 ? a 3x12

6]求抛物线 y = x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 = 0 的最短距离. [例 6] 分析: 可设 P ( x, x 2 ) 为抛物线上任意一点, 则可把点 P 到直线的距离表示为自变量 x 的函数, 然后求函数最小值即可, 分析: 另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相切时的切点到直线 x ? y ? 2 = 0 的距离即为本题所求. 解:根据题意可知,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐 标为( ),那么 y | x = x0 = 2 x | x = x0 = 2 x0 = 1 ,∴ x0 =
'
2

1 2

1 1 ? ?2| 7 2 1 1 2 4 ∴ 切点坐标为 ( , ) ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d = = , 2 4 8 2 |
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为

7 2 . 8

三、经典例题导讲 [例 1]已知曲线 S : y = ? 1]

2 3 x + x 2 + 4 x 及点 P (0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3
x =0

2 错解: 错解: y ′ = ?2 x + 2 x + 4 ,∴ 过点 P 的切线斜率 k = y ′

= 4 ,∴ 过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y = 4 x .

错因: 错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点 P 凑巧在 曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P ,上述解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线 方程,认识不到位,发生了混淆. 正解: 正解:设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q ( x0 , y 0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

[例 2]已知函数 f ( x) = ax + 3 x ? x + 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 2]
3 2

错解: 错解: f ′( x ) = 3ax + 6 x ? 1, Q f (x ) 在 R 上是减函数,∴ f ′( x ) < 0 在 R 上恒成立,
2

∴ 3ax 2 + 6 x ? 1 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立,∴ ? < 0 ,即 36 + 12a < 0 ,∴ a < ?3 .
正解: 正解: f ′( x ) = 3ax + 6 x ? 1 ,Q f (x ) 在 R 上是减函数,∴ f ′(x ) ≤ 0 在 R 上恒成立,∴ ? ≤ 0 且 a < 0 ,即
2

36 + 12a ≤ 0 且 a < 0 ,∴ a ≤ ?3 . x [例 3]当 x > 0 ,证明不等式 3] < ln(1 + x) < x . 1+ x
证明: 证明: f ( x ) = ln( x + 1) ?

x x , g ( x ) = ln( x + 1) ? x ,则 f ′( x ) = ,当 x > 0 时。∴ f (x) 在 (0,+∞ ) 内是增 1+ x (1 + x) 2

函数,∴ f ( x ) > f (0) ,即 ln(1 + x ) ?

x ?x > 0 ,又 g ′( x) = ,当 x > 0 时, g ′( x ) < 0 ,∴ g (x ) 在 (0,+∞ ) 内是 1+ x 1+ x x 减函数,∴ g ( x ) < g (0) ,即 ln(1 + x ) ? x < 0 ,因此,当 x > 0 时,不等式 < ln(1 + x) < x 成立. 1+ x x 点评: , g ( x ) = ln( x + 1) ? x .利用导数求函数的单调区间,从而导出 点评:由题意构造出两个函数 f ( x ) = ln( x + 1) ? 1+ x f ( x) > f (0) 及 g ( x) < g (0) 是解决本题的关键.
4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C,现要在铁路 BC 之间 [例 4] 某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那 么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 :设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x + 20 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元/km,那么铁路运费为
2 2

3a 元/km. 5

故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 为: y = 3 a (100 ? x ) + a 5 导,得 y ′ =

x 2 + 400 ,( 0 ≤ x ≤ 100 ).对该式求

ax ? 3a a (5 x ? 3 x 2 + 400 ) 2 2 + = ,令 y ′ = 0 ,即得 25 x =9( x + 400 ),解之得 2 2 5 x + 400 5 x + 400

x1 =15, x 2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所以 x1 =15 是函数 y 的极小值
点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 点评: 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法, 即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际 生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或 它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用 空间. 5]函数 f ( x ) = 3 x 3 + 3ax ? 1, g ( x ) = f ' ( x ) ? ax ? 5 ,其中 f ' ( x ) 是 f (x ) 的导函数.(1)对满足-1≤ a ≤1 的一切 [例 5]

a 的值,都有 g (x) <0,求实数 x 的取值范围;
(2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f (x ) 的图象与直线 y =3 只有一个公共点. 解:(1)由题意 g ( x ) = 3 x ? ax + 3a ? 5
2

2

令 ? ( x ) = ( 3 ? x ) a + 3 x ? 5 , ?1 ≤ a ≤ 1
2

对 ?1 ≤ a ≤ 1 ,恒有 g ( x ) < 0 ,即 ? ( a ) < 0

? ? (1) < 0 ? ∴? ?? ( ?1) < 0 ?
解得 ? 故 x ∈? ? (2) f
'

?3x 2 ? x ? 2 < 0 即? 2 ?3 x + x ? 8 < 0

2 < x <1 3

? 2 ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x ) < 0 . ? 3 ?

( x ) = 3x 2 ? 3m2
3

①当 m = 0 时, f ( x ) = x ? 1 的图象与直线 y = 3 只有一个公共点 ②当 m ≠ 0 时,列表:

x f ' ( x) f ( x)
∴ f ( x )极小 = f

( ?∞, m )
+

?m
0
极大

(? m , m )
?

m
0
极小

( m , +∞ )
+

( x ) = ?2m

2

m ? 1 < ?1

又∵ f ( x ) 的值域是 R ,且在 m , +∞ 上单调递增 ∴当 x > m 时函数 y = f ( x ) 的图象与直线 y = 3 只有一个公共点. 当 x < m 时,恒有 f ( x ) ≤ f ? m 由题意得 f ? m < 3 即 2m m ? 1 = 2 m ? 1 < 3
2 3

(

)

(

)

(

)

) ( ) 综上, m 的取值范围是 ( ? 2, 2 ) .
解得 m ∈ ? 3 2, 0 U 0, 3 2
3 3

(

6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动,桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A,问电灯与点 0 的距离怎样, [例 6] 可使点 A 处有最大的照度?( ∠BAO = ? , BA = r , 照度与 sin ? 成正比,与 r 2 成反比)
2 分析: 分析:如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 成反比,

即y=C

sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2 x 2 2 ,r = x + a r

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? =

于是 y = C

sin ? x =C 3 =C 2 r r

x (x 2 +
2
3 2 2 a )

(0 ≤ x < ∞ ) , y ′ = C

a 2 ? 2x 2 (x2 +
5 2 2 a )

= 0.

当 y ′ = 0 时,即方程 a ? 2 x = 0 的根为 x1 = ?
2

a 2

(舍)与 x 2 =

a 2

,在我们讨论的半闭区间 [0,+∞ ) 内,所以函

数 y = f (x) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距离为

a

2

时,点 A 的照度 y 为最大.

(0,

a



2
y′ y
+

(


a

2

,+∞)



点评: 在有关极值应用的问题中, 绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得 f ′( x ) =0 且在该点两侧, f ′( x ) 的 符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大(小)值点.



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