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高中数学人教版必修4知识点总结


高中数学必修 4 知识点
6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?
l . r

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? ? tan ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ? cos ?

y

P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式: 14

口诀:奇变偶不变,符号看象限.

y ? sin x →向左(右)平移 ? 个单位长度→ y ? sin ? x ? ? ? 的图象→横坐标
1

伸长(缩短)到原来的

?

倍(纵坐标不变)→ y ? sin ?? x ? ? ? →纵坐标伸长(缩

短)到原来的 ? 倍(横坐标不变)→ y ? ? sin ??x ? ? ? .
y ? sin x →横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,→ y ? sin ? x →向

左(右)平移

? 个单位长度→→纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不 ?

变)→ y ? ? sin ??x ? ? ? 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相: ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

最大值为 ymax ,则 ? ?
函 质 数 y ? sin x



y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?
单 调 性



? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?

? ?? ? 上 是 增 函 数 ; 在 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ? 2 k ? ,2 k ? ? ? ? ? ? k ??? 上是增函数. ? k ??? 上是减函数.

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

? k ??? 上是减函数.







心 对







对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2











? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 :

a ? b ? a ?b ? a ? b

⑷运算性质:①交换律: a ?b ? b ?a ;②结合律: a ?b ? c ? a ? b ? c ;③

?

?

?

?

a ?0 ? 0?a ? a .
⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 则? ?? 19、向量数乘运算: ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a .①

C

a
?

?
b

? ?x 1

x2 y ,1 ? y2

?.

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

? ? 0 时, ? a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

?

?

b b ?0 设 a ? ? x1, y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,
共线.

?

?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、?2 ,使 a ? ?1e1 ? ? (不共线的向量 e1 、e2 作 2e 2 . 为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , 当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ? 23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

?

?

a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . 2

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? 2

?

?

? ?

?

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ??

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 x ? y 12 x 2 ?y 2 1

2 2



24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?


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