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2014年高二数学必修5(文科)试卷


2014 年高二数学必修 5(文科)试卷
一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,则 ?p 是
2


2

C )

A. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

C. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 1
2

D. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 1 ( A )

2.等差数列 ?a n ?中, a4 ? 1 , a8 ? 8 ,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 3.不等式 x( x ? 2) ? 0 的解集是 A. ?0 ,2 ? B. ?0 ,2? D.64

(B

)

C. ?? ? ,0? ? ?2 ,?? ? D、 ?? ? ,0? ? (2 ,??) ( B )

?x ? 3y ? 6 ? 0 4.不等式组 ? 表示的平面区域是 ?x ? y ? 2 ? 0

5. 在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , C ? 30 , c ? 5 ,则 a ?
0 0

( C )

A. 5
2

B. 10
2

C. 5 3

D. 5 6

6.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点为 (0,2) ,那么 k 等于( A.

D

)

5

B.

? 5

C.

—1

D. 1 ( A )

7.使不等式 0 ? x ? 2 成立的充分不必要条件是 A. 0 ? x ? 1 B. ?

1 ? x ?1 3

C. ? 1 ? x ? 2

D. 0 ? x ? 2

8.已知 a , b , c 满足 c ? b ? a ,且 ac ? 0 ,下列选项中一定成立的是( B ) A. cb ? ab
2 2

B.

ab ? ac

C. c(b ? a) ? 0

D. ac(a ? c) ? 0 ( D )

9. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3n ? a ,则 a 等于
A.3 B.1 C.0 D.?1

10.下列结论中正确的个数是 ①函数 y ? x(1 ? 2 x)( x ? 0) 有最大值

( C )

1 8
1

4 ( x ? 0 )有最大值 2 ? 4 3 x 1 ③若 a ? 0 ,则 (1 ? a)(1 ? ) ? 4 a
②函数 y ? 2 ? 3x ? A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 小题。满分 20 分 11. 已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

1 1 ,则公比 q = 4 2

12.在△ABC 中,已知 b ? c ? a ? bc. 则 A= 60 0 (或 ) 3
2 2 2

?

13. 已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上的一点,Q 是 PF1 的中点, 16 9 若 OQ ? 1 ,则 PF1 ?
2

x2

y2

6.
2

14.若命题 p: ?x ?R ? ax ? 4 x ? a ? ?2 x ? 1 是真命题,则实数 a 的取值范围是 a ? 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15(本题满分 12 分) 已知集合 A ? x | ? x ? 4 ? 0
2

?

? , 集合 B ? ?x | x ? 1 ? 0且x ? 0?

(1)化简 A和B
2

(2)求 C R ( A ? B)
2

解: (1)由 ? x ? 4 ? 0 得 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 2)( x ? 2) ? 0 解之得 ? 2 ? x ? 2 ,所以 A ? ?x | ?2 ? x ? 2? , …………4 分 又由 x ? 1 ? 0且x ? 0 得

??1 ? x ? 0 ,? B ? ? x | ?1 ? x ? 0? ………………7 分
(2) 由(1)得 A ? B ? ?x | ?2 ? x ? 2?? ?x | ?1 ? x ? 0?? ?x | ?1 ? x ? 0? , …10 分 所以 C R ( A ? B) ? ?x | x ? ?1或x ? 0? , ……………………12 分

16. (本小题满分 13 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , b ? (1)求 A 的大小; 16.解: (1)由 b ? (2)若 b ?

2a sin B .

6 , c ? 3 ? 1 ,求 a .

2a sin B ,根据正弦定理得
2

sin B ? 2 sin A sin B ,…………………3 分
因为在三角形中 sin B ? 0 所以 sin A ?

2 ,…………………5 分 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 A ? (2)根据余弦定理,得

?
4

.…………………7 分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A …………………8 分

? 6 ? (4 ? 2 3 ) ? 2 ? 6 ? ( 3 ? 1) cos
所以: a ? 2 .…………………13分

?
4

? 4 …………11 分

17.(本小题满分 13 分) 已知 p :集合 ?a | ?6 ? 1 ? a ? 6? ;

q :集合 A ? {x | x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0, x ? R} ,且 A ? ? .
若(
?

p) ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

17. 解:由 ?6 ? 1 ? a ? 6 解之得: ?5 ? a ? 7 即当 ?5 ? a ? 7 时 p 是真命题;
2

………3 分

若 A ? ? ,则方程 x ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有实数根, 由 ? ? (a ? 2) ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?4 或 a ? 0 ,
2

即当 a ? ?4 ,或 a ? 0 时 q 是真命题; 由于 ( ∴
?

………8 分

? p) ? q 为假命题,∴ p和q 都是假命题

p 是真命题, q 是假命题。……10 分
∴ ?4? a ?0 ………12 分

即?

?? 5 ? a ? 7 ?? 4 ? a ? 0

故知所求 a 的取值范围是 (?4 ,0) . ……13 分

18.(本小题满分 14 分) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产
3

每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品 可获得利润 3 万元。 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, 原料不超过 18 吨. B 在一个生产周期内,该企业如何安排生产,可获得最大利润,最大利润为多少? 18.解:设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,利润为 y 万元,………1 分



?3 x ? y ? 1 3 ? 8 ? 2 x ? 3y ? 1 , z ? 5x ? 3 y ,…………5 分 ? x ? 0 ,y ? 0 ?

y
13

如图画出不等式组的平面区域. ………………8 分

?3 x ? y ? 13 ?x ? 3 由? ,即 ? 得: A(3, 4) .…10 分 ?y ? 4 ? 2 x ? 3 y ? 18
把目标函数化为斜截式得: y ? ? 令 z ? 0 ,作直线 l0 : y ? ?

(0,6) O

A(3,4)



5 z z , x ? ( 为纵截距) 3 3 3

13 ,0) 3

9

x

5 x ,在平面区域内平移直线 l , 3

所以,当 l 过点 A(3, 4) 时, z 取得最大值,即 zmax ? 5 ? 3 ? 3 ? 4 ? 27 (万元)…………13 分 答:当生产甲产品 3 吨,生产乙产品 4 吨,获得最大利润 27 万元.…14 分

19、(本小题满分 14 分) 设 F1 ,F2 分别为椭圆 C:

x2 a2

?

y2 b2
=1(a>b>0)的左右焦点。

(1)设椭圆 C 上的点 A?1 , ? 到两焦点的距离之和为 4,求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是(1) 中椭圆上的一点,∠F1PF2=60°求△F1PF2 的面积。 19 解:(1)依题意得: 2a ? 4 ,则 a ? 2 ……….2 分.

? ?

3? 2?

x2 y2 3 又点 A( 1, ) 在椭圆 C: 2 ? 2 a b 2
则有 b ? 3
2

=1 上,则

1 9 ? 2 ? 1 ………4 分 4 4b

…………………5 分

所以所求椭圆 C:
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ………………6 分 4 3
2

(2)因 c ? a ? b ,所以 c ? 1 …………….7 分 而 | F1 F2 |? 2c ? 2 ………………………8 分

4

令 | PF1 |? m , | PF2 |? n ,则 m ? n ? 2a ? 4 ………….9 分 在 ?PF1 F2 中∠F1PF2=60°,由由余弦定理得:

?| F1 F2 |?2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos 60 0
所以 S ? PF F ?
1



mn ? 4 .........12 分

2

1 mn sin 60 0 ? 3 …………14 分 2

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n }是首项为a1 ?

1 1 , 公比q ? 的等比数列 , 4 4

设 bn ? 2 ? 3 log 1 a n (n ? N *) ,数列 {c n }满足c n
4

? a n ? bn 。

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn;

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 1 n 20.证明: (1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ……………………1 分 4
(3)若 c n ?

1 ? bn ? 3 log 1 a n ? 2 ? 3 log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 , 4 4 4

?b1 ? 3 ? 2 ? 1 ……………2 分
bn?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? 3n ? 2 ? 3 ……………3 分
∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列……………………4 分 (2)解:由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

1 4

1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) …………………………5 分 4
? S n ? 1? 1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 …6 分

于是

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 ……………7 分
两式相减得

3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4
5

?

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 2 4 ………………………8 分

? Sn ?

2 12 n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N *) ……………………9 分 3 3 4 1 1 (3)? cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4
1 ? 9(1 ? n) ? ( ) n?1 , (n ? N *) 4 …………10 分
∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1 4 …………………11 分

n ? 2时,c

n ?1

? cn 即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ... ? cn
1 4 ………………12 分

∴当 n=1 时, c n 取最大值是 又 cn ?

1 2 m ? m ? 1对一切正整数n恒成立 4

1 1 ? m2 ? m ?1 ? 4 4 ……………………13 分
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ……………………14 分
2

6


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