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排列组合典型例题3


排列组合的常见题型及其解法
一. 特殊元素(位置)用优先法 把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素 (位置)优先安排的方法。 例 1. 6 人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?

二. 相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:即将这几个元素看作一个 整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。 例 2. 5 个男生和 3 个女生排成一排,3 个女生必须排在一起,有多少种不同排法?

三. 相离问题用插空法 元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排 好的元素位置之间和两端的空中。 例 3. 7 人排成一排,甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法?

四. 定序问题用除法 对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。解题方法是:先将 n 个元素进行全 排列有 A n 种, m ( m ? n )个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只
n m

能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,则有

A nn 种排列方法。 A mm

例 4. 由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字 的六位数有多少个?

五. 分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题, 若没有其他特殊要求, 可采取统一成一排的方 法求解。

例 5. 9 个人坐成三排, 第一排 2 人, 第二排 3 人, 第三排 4 人, 则不同的坐法共有多少种?

六. 复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先 求出无限制条件的方法种数, 然后去掉不符合条件的方法种数。 在应用此法时要注意做到不 重不漏。 例 6. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点, 取其中 4 个不共面的点, 则不同的取法共有 ( ) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种 七. 多元问题用分类法 按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计 算总数。 例 7. 已知直线 a 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3} x ? b y ? c ? 0 中的 3 个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。

八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。 例 8. 将 4 名教师分派到 3 所中学任教,每所中学至少 1 名教师,则不同的分派方案共有 多少种?

九. 隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例 9. 有 10 个三好学生名额,分配到 6 个班,每班至少 1 个名额,共有多少种不同的分配 方案?

排列组合易错题正误解析
1 没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类用加、分 步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例 1(1995 年上海高考题)从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中 至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情 况共有( )种.
3 (A) A4

(B) 4 3

(C) 3 4

3 (D) C 4

2 判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时, 主要看元素的组成有没有顺序性, 有顺序的是 排列,无顺序的是组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,排成一排,共有多少种不同的 排列方法?

3 重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、 平均分组问题等, 这些问题要注意避免重复计数, 产生错误。 例 4(2002 年北京文科高考题)5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本, 不同的分法种数为( (A)480 种 ) (C)120 种 (D)96 种

(B)240 种

例 5 某交通岗共有 3 人,从周一到周日的七天中,每天安排一人值班,每人至少值 2 天,其不同的排法共有( (A)5040 (B)1260 )种. (C)210 (D)630

4 遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面,因为遗漏某些情况,而出错。 例 6 用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有( ) (A)36 个 (B)48 个 (C)66 个 (D)72 个

5 忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号, 不然就可能 多解或者漏解. 例 7 (2003 全国高考题)如图,一个 地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 3 1 4 2

5

要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)

例 8 已知 ax 2 ? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程,其中 a 、b ?{1,2,3,4} ,求解集不同的一 元二次方程的个数.

6 未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况,一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张,100元人民币2 张,从中至少取一张,共可组成不同的币值种数是( (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 )

7 题意的理解偏差出错
例 10 现有 8 个人排成一排照相,其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( 种.
3 5 8 6 3 3 3 8 4 ? A5 ? A6 ? A3 ? A3 ? A6 (A) A6 (B) A8 (C) A5 (D) A8



8 解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难,要采取适当的解决策略,如间接法、 插入法、捆绑法、概率法等,有助于问题的解决. 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须 有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( (A)16 种 (B)18 种 (C)37 种 ).

(D)48 种


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