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2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版课时作业 4-6正弦定理、余弦定理及解三角形


第6讲

正弦定理、余弦定理及解三角形

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1 1.(2014· 北京西城区模拟)在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A=3,则 B=( π A. 4 π B. 3 )

π 2π C. 6 D. 3 1 1 2 2 4 3 解析 因为 cos A=3, 所以 sin A= 1-9= 3 , 由正弦定理, 得sin A=sin B, π π 2 所以 sin B= 2 ,又因为 b<a,所以 B< 2 ,B= 4 ,故选 A. 答案 A 3 2.(2015· 合肥模拟)在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为 3 A. 2 解析 B. 3 C.2 3 ( D.2 )

1 1 3 3 因为 S=2×AB×ACsin A=2×2× 2 AC= 2 ,所以 AC=1,所以 BC2

=AB2+AC2-2AB· ACcos 60°=3,所以 BC= 3. 答案 B

π π 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B= 6 ,C= 4 , 则△ABC 的面积为 A.2 3+2 C.2 3-2 解析 B. 3+1 D. 3-1 ( )

b c 由正弦定理sin B=sin C及已知条件,得 c=2 2,

2+ 6 1 2 3 2 又 sin A=sin(B+C)=2× 2 + 2 × 2 = 4 .
-1-

2+ 6 1 1 从而 S△ABC=2bcsin A=2×2×2 2× 4 = 3+1. 答案 B

4.(2014· 长沙模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则“a=2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

依题意,由 a=2bcos C 及正弦定理,得 sin A=2sin Bcos C,sin(B+C)

-2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Bcos C=sin(C-B)=0,C=B,△ ABC 是等腰三角形;反过来,由△ABC 是等腰三角形不能得知 C=B,a=2bcos C.因此, “a=2bcos C”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件,故选 A. 答案 A

5.(2014· 四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于 ( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m 解析

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=

AD 60 60 m, 在 Rt△ACD 中, CD= = = tan ∠ACD tan 30° AD 60 60 3(m), 在 Rt△ABD 中, BD= = tan ∠ABD tan 75° = 60 = 60(2 - 3)(m) ,∴ BC = CD - BD = 60 3 - 60(2 - 3) = 120( 3 - 2+ 3

1)(m). 答案 C
-2-

二、填空题 6. (2014· 新余模拟)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为________. a2+c2-b2 3 = cos B ,结合已知等式得 cos B · tan B = 2ac 2, π 2π 3 ∴sin B= 2 ,∴B= 3 或 3 . π 2π 答案 3 或 3 解析 由余弦定理,得 7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B, 则 cos C=________. 解析 b c 由正弦定理sin B=sin C,

8 5b b 将 8b=5c 及 C=2B 代入得sin B=sin 2B, 8 5 1 化简得sin B=2sin Bcos B, 4 则 cos B=5, 7 ?4?2 所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1=2×?5? -1=25. ? ? 答案 7 25

1 8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cos C=4, 则 sin B=________. 解析 1 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4,即 c=2.由 cos C=4得 sin C

15 b c bsin C 2 15 15 = 4 .由正弦定理sin B=sin C,得 sin B= c =2× 4 = 4 (或者因为 c= 15 2,所以 b=c=2,即三角形为等腰三角形,所以 sin B=sin C= 4 ). 15 答案 4 三、解答题 9.(2015· 广州测试)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=3, b=5,c=7.
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(1)求角 C 的大小; π? ? (2)求 sin?B+ ?的值. 3? ? 解 (1)由余弦定理,得 cos C= a2+b2-c2 32+52-72 1 = =- 2ab 2. 2×3×5

2π ∵0<C<π ,∴C= 3 . b c (2)由正弦定理sin B=sin C,得 2π 5sin 3 bsin C 5 3 sin B= c = 7 = 14 , 2π ∵C= 3 ,∴B 为锐角, ∴cos B= 1-sin2B= ?5 3?2 11 ? = . 1-? 14 ? 14 ?

π π π? ? ∴sin?B+ ?=sin Bcos 3 +cos Bsin 3 3? ? 5 3 1 11 3 4 3 = 14 ×2+14× 2 = 7 . 10.(2014· 杭州检测)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,ac=3, 3 3 S△ABC= 4 . (1)求 B; (2)若 b= 2,求△ABC 的周长. 1 1 3 3 3 (1)因为 S△ABC=2acsin B,所以2×3sin B= 4 ,即 sin B= 2 . π 2π 又因为 0<B<π ,所以 B= 3 或 3 . π 2π (2)由(1)可知,B= 3 或 3 , π 当 B= 3 时,因为 a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=2,ac=3, 解 所以 a+c= 11; 2π 当 B= 3 时,因为 a2+c2+ac=2,ac=3, 所以 a2+c2=-1(舍去), 所以△ABC 的周长为 a+c+b= 11+ 2.
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能力提升题组
(建议用时:25 分钟) 11.(2014· 东北三省四市联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c, b c + ≥1,则角 A 的范围是 ( ) a+c a+b π? π? ? ? ?π ? ?π ? A.?0, ? B.?0, ? C.? ,π ? D.? ,π ? 3? 6? ? ? ?3 ? ?6 ? b c 解析 由 + ≥1,得 b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),化简得 b2+c2- a+c a+b b2+c2-a2 1 π 1 2 a ≥bc,即 ≥ ,即 cos A≥ (0<A<π),所以 0<A≤ ,故选 A. 2bc 2 2 3 满足 答案 A

12.(2015· 咸阳模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且满 足 csin A= 3acos C,则 sin A+sin B 的最大值是 A.1 解析 B. 2 C. 3 D.3 ( )

由 csin A= 3acos C,得 sin Csin A= 3sin Acos C,又在△ABC 中 sin A

π ≠0,所以 sin C= 3cos C,tan C= 3,C∈(0,π),所以 C= 3 .所以 sin A+ π? 2π? 3 ?π ? 3 ? ? sin B=sin A+sin? +A?=2sin A+ 2 cos A= 3sin?A+ ?,A∈?0, ?,所 6? 3 ? ?3 ? ? ? π 以当 A= 3 时,sin A+sin B 取得最大值 3,故选 C. 答案 C

13.在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________. 解析 AB 由正弦定理知sin C= 3 BC =sin A, sin 60°

∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又 A+C=120°,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C) =2(sin C+ 3cos C+sin C) =2(2sin C+ 3cos C)

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=2 7sin(C+α), 3 其中 tan α= 2 ,α是第一象限角,由于 0°<C<120°,且 α 是第一象限角, 因此 AB+2BC 有最大值 2 7. 答案 2 7

1 14.已知函数 f(x)= 3sin xcos x-cos2x+2. (1)求 f(x)的最小正周期及对称轴方程; ?A? 1 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f ? 2 ?=2,bc=6,求 a ? ? 的最小值. 解 1 (1)f(x)= 3sin xcos x-cos2x+2

π? 3 1 ? = 2 sin 2x-2cos 2x=sin?2x- ?, 6? ? 2π 故最小正周期 T= 2 =π . π π kπ π 令 2x- 6 =kπ + 2 ,得 x= 2 + 3 (k∈Z). kπ π 故图像的对称轴为 x= 2 + 3 (k∈Z). π π π 5π π π? 1 ? ?A? (2)由 f? 2 ?=sin?A- ?=2可知 A- 6 = 6 或 A- 6 = 6 ,即 A= 3 或 A=π , ? ? 6? ? π 又 0<A<π ,故 A= 3 .∵bc=6,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc=6, 当且仅当 b=c 时等号成立,故 a 的最小值为 6.

-6-


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