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热点难点突破-不拉分系列之(四)图解函数的零点问题


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函数零点问题主要有四类:一是判断函数零 点或方程根的个数;二是利用函数零点确定函数 解析式;三是确定函数零点或方程根的取值范围; 四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范 围.解决这些问题主要用数形结合法.

1.函数零点个数的判断 函数零点的个数即为方程 f(x)=0 根的个数, 可转化为函数 f(x)的图象与 x 轴交点的个数 进行判断,也可转化为两个函数图象的交点个数(如例 2(1)). 2.利用函数零点求解函数解析式 由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式,求解时要结合函数的图象.
2 [典例 1] 如图所示为 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象,则 x1+x2的值是( 2

)

2 A. 3 8 C. 3

4 B. 3 16 D. 9

[解析] 由图象可知, 函数图象与 x 轴交于三点, (-1,0), (0,0), (2,0),故该函数有三个零点-1,0,2. 由 f(0)=0,得 d=0,故函数解析式可化为 f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c),显然-1,2 为方程 x2+bx+c=0 的两根.
?-1+2=-b, ? 由根与系数的关系,得? ? ??-1?×2=c, ? ?b=-1, 解得? 故 f(x)=x3-x2-2x. ? ?c=-2.

由图象可知,x1,x2 为函数 f(x)的两个极值点, 又 f′(x)=3x2-2x-2, 故 x1,x2 为 f′(x)=0,即 3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 故 x1+x2= ,x1·2=- . x 3 3 2 2 16 故 x2+x2=(x1+x2)2-2x1·2=?3?2-2×?-3?= . x ? ? 1 2 ? ? 9

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[答案] D [题后悟道] 确定零点与三次函数的各个系数之间的关系还可以根据零点写出函数解

析式 f(x)=a(x-α)(x-β)· (x-γ),然后依据代数恒等式成立的条件——对应系数相等,找出 彼此之间的关系. 本题所求的问题类似于一元二次方程根与系数关系中的相关问题, 要注意 1 1 x1+x2 式子的灵活变形.类似的变形有(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, + = 等. x1 x2 x1x2 3.零点取值范围的确定 函数零点的取值范围,即为方程 f(x)=0 的根的取值范围,主要利用零点存在性定理解 决,可结合函数的图象和性质,根据图象上的一些特殊点灵活处理(如本节例 1). 4.由零点个数确定参数的取值范围 根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围, 主要利用数形结合的方法, 根 据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式,通过解不等式求解其取值范围. [典例 2] 已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个 零点,则 m 的取值范围为( A.(-24,8) C.[1,8] ) B.(-24,1] D.[1,8)

[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)· (x-3), 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3) 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减;当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x) 单调递增. 所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24,极大值为 f(-1)=8; 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使方程 g(x) =f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 只需函数 f(x)在[-2,5]内的函数图象与直线 y=m 有 3
?m<8, ? 个交点.故? 即 m∈[1,8). ? ?m≥1,

[答案] D [题后悟道] 解决此类问题主要依据函数图象的特征,利用区间端点处的函数值、函数 的极值等构造关于参数的不等式. 注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响. 如该题 中 f(-2)与 f(5)这两个端点值决定着方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上的零点个数,若 m=8 或-24<m<1,则该方程有 2 个根;若 m=-24,则该方程有 1 个根;当 m>8 或 m<-24 时, 则该方程没有实根. 总之, 解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想, 利用导数研究函数的有 关性质, 主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值, 然后画出函数图象,

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结合函数图象的特征判断、求解.

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