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2.3.2平面与平面垂直的判定教学设计


2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目的: 1.理解二面角及其平面角的概念 ,能确认图形中的已知角是否为 二面角的平面角. 2. 掌握二面角的平面角的一般作法,会求简单的二面角的平面 角: 3.掌握两个平面互相垂直的概念, 能用定义和定理判定面面垂直。 教学重点:二面角的概念和二面角的平面角的作法,面面垂直的判定 教学难点:二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定 教学过程: 一、复习引入: 1 斜线,垂线,射影 ⑴垂线 自一点向平面引垂线 ,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这 个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线 叫做这个平面的斜线 斜线和平面的交点叫斜足; 斜线上一点与斜足间 的线段叫这点到这个平面的斜线段 2.直线和平面所成角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这 条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角. ? 直线和平面所成角范围: ?0, ? 2 二、讲解新课: 1 二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每 一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 若棱
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为 l ,两个面分别为 ? , ? 的二面角记为 ? ? l ? ? ;二面角的图形表示: 第一种是卧式法,也称为平卧式:

A D B C F E

K G L H I J

第二种是立式法,也称为直立式:
l O O' B B'

?
A A'

?

2.二面角的平面角: (1)过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂 线 OA, OB ,则 ?AOB 叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角
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(2) 一个平面垂直于二面角 ? ? l ? ? 的棱 l , 且与两半平面交线分 别为 OA, OB, O 为垂足,则 ?AOB 也是 ? ? l ? ? 的平面角 说明: (1)二面角的平面角范围是 [0? ,180? ] ; (2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面 角的两个平面互相垂直 3.面面垂直的判定定理 一个人平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
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证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明“面面垂直”问题转化为证明“线面垂直” 的问题

图形表示: 符号表示: 三、讲解范例: 例 1 在正四面体 ABCD 中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角 的大小
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解:取 BC 的中点 E ,连接 AE, DE ,

A

D B E C

∵正四面体 ABCD ,∴ BC ? AE, BC ? ED 于 E , ∴ ?AED 为二面角 A ? BC ? D 的平面角, 方法一:设正四面体的棱长为 1, 则 AE ?
1 3 3 , DE ? , AD ? 1 ,由余弦定理得 cos ?AED ? 3 2 2

??? ? ? ??? ? ? ???? ? 方法二: (向量运算)令 AB ? a , AC ? b , AD ? c ,棱长为 1,
??? ? ??? ? 1 ? ? ? 1? 1? 1 ∵ EA ? ED ? [? (a ? b )] ? [c ? a ? b ] ? , 2 2 2 4

??? ? ??? ? 1 3 又∵ | EA |?| ED |? ,∴ cos ?AED ? 3 2
1 即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为 arccos . 3

例 2.在棱长为 1 的正方体 AC1 中, (1)求二面角 A ? B1D1 ? C 的大小; (2) 求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角大小
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解: (1)取 B1 D1 中点 O1 ,连接 AO1 , CO1 , ∵正方体 AC1 ,∴ B1D1 ? AO1 , CO1 ? B1D1 , ∴ ?AO1C 即为二面角 A ? B1D1 ? C 的平面角,
6 , AC ? 2 , 在 ?AOC 中, AO1 ? CO1 ? 2
A A1

D1

O1

C1 B1

D B

C

1 1 可以求得 cos ?AO1C ? 即二面角 A ? B1D1 ? C 的大小为 arccos . 3 3

(2)过 C1 作 C1O ? BD 于点 O ,
D1 C1 B1

∵正方体 AC1 ,∴ CC1 ? 平面 ABCD ,

A1

D
O

C

A

B

∴ ?COC1 为平面 C1 BD 与平面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面 角, 可以求得: tan ?COC1 ? 2 所以,平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角大小 为 arctan 2 . 说明:求二面角的步骤:作——证——算——答
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例 3.已知:二面角 ? ? l ? ? 且 A ? ? , A 到平面 ? 的距离为 2 3 , A 到
l 的距离为 4 ,求二面角 ? ? l ? ? 的大小
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?
l A O B

解:作 AO ? l 于点 O , AB ? 平面 ? 于点 B ,连 接 BO , ∵ AB ? ? 于点 B , AO ? l 于点 O , ∴ l ? OB ,∴ ?AOB 即为二面角 ? ? l ? ? 的平面角, 易知, AB ? 2 3, AO ? 4 , ∴ ?AOB ? 60? 即二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60? .

?

说明:利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重 要的方法, 其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线 则已经 有三种作二面角的平面角的方法,即:定义法、垂面法、三垂线法 例 4.如图, AB ? 平面 BCD , BD ? CD ,若 AB ? BC ? 2 BD ,求二 面角 B ? AC ? D 的正弦值 分析:要求二面角的正弦值,首先要找到二面角的平面角 解:过 D 作 DE ? AC 于 E ,过 E 作 EF ? AC 交 BC 于 F ,连结 DF , 则 C 垂直于平面 DEF , ?FED 为二面角 B ? AC ? D 的平面角, ∴ AC ? DF , A 又 AB ? 平面 BCD , ∴ AB ? DF , AB ? CD , E ∴ DF ? 平面 ABC , F ∴ DF ? EF , DF ? BC , C B
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D

又∵ AB ? CD , BD ? CD , ∴ CD ? 平面 ABD ,∴ CD ? AD , 设 BD ? a ,则 AB ? BC ? 2a , 在 Rt ?BCD 中,
S?BCD ? 1 1 3 BC ? DF ? BD ? CD ,∴ DF ? a, 2 2 2

DF 15 ? 同理,Rt ?ACD 中,DE ? a , ∴ sin ?FED ? DE 2 2

3 a 10 2 ? , 5 15 a 2 2

所以,二面角 B ? AC ? D 的正弦值为 四、课堂练习:

10 . 5

1 ? 如 图 所 示 , 已 知 PA ? 面 ABC , S?PBC ? S , S?ABC ? S ? , 二 面 角
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P ? B C? A 的平面角为 ? , 求证: S ? cos ? S ? P P D AD BC 证明:过 作 的垂线,垂足为 ,连接 ∵ PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC , BC ? PD ∴ BC ? AD ∴ ?PDA 为二面角 P ? BC ? A 的平面角, C A 即 ?PDA ? ? ∵ PA ? 面 ABC ∴ PA ? AD D AD ∵ ?PAD 是直角三角形 ∴ cos ?PAD ? PD B 1 1 又∵ S?PBC ? BC ? PD ? S , S ?ABC ? BC ? AD ? S ? 2 2 S? S? ∴ cos ?PAD ? ∴ cos ? ? 即 S ? cos ? ? S ? S S 说明:这是推广的射影定理,也是求二面角平面角的一种方法 2.如图,在空间四边形 ABCD 中, ?BCD 是正三角形, ?ABD 是等腰
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直角三角形,且 ?BAD ? 90? ,又二面角 A ? BD ? C 为直二面角,求二 面角 A ? CD ? B 的大小
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解:过 A 作 AH ? BD 于 H ∵二面角 A ? BD ? C 为直二面角

∴ AH ? 面 BCD

A

取 CD 中点 E , F 为 DE 中点,连接 HF , AF ∵ BE ? CD ∴ HF // BE ∴ EF ? CD ∴ HF ? CD ∴ ?AFH 为二面角 A ? BD ? C 的平面角 AB ? a 令 ,
2 3 AH ? a, BE ? ? 2a ? a 2 2 2

B

6

H
E

D F C

∴ HF ?

6 a 4

∴在 Rt ?AHF 中 tan ?AFH ?
2 3 3 2 3 3

AH 2 ? 3 HF 3

∴ ?AFH ? arctan

即二面角 A ? CD ? B 的大小为 arctan

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3. 设 A 在平面 BCD 内的射影是直角三角形 BCD 的斜边 BD 的中点 O , (2)二 AC ? BC ? 1, CD ? 2 ,求(1) AC 与平面 BCD 所成角的大小; 面角 A ? BC ? D 的大小; (3)异面直线 AB 和 CD 的大小 解: (1)∵ AO ? 面 BCD ∴ AO ? CO ∴ ?ACO 为 AC 与面 BCD 所成角 ∵ BC ? 1, CD ? 2 ∴ CO ? ∴ BD ? 3
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1 3 3 BD ? ∴ cos ?ACO ? 2 2 2

∴ ?ACO ?

?
6

? 即 AC 与平面 BCD 所成角的大小为 6
(2)取 BC 中点 E ,连接 OE, AE ∵ CD ? BC ∴ OE ? BC

A
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∴ OE // CD

F B E O C D

又∵ AO ? 面 BCD ∴ AE ? BC ∴ ?AEO 为二面角 A ? BC ? D 的平面角
1 2 1 又∵ OE ? CD ? , AO ? 2 2 2

∵ AO ? OE

∴ tan ?AEO ?

AO 2 ? OE 2 2 2

∴ ?AEO ? arctan

2 2

即二面角 A ? BC ? D 的大小为 arctan

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(3)取 AC 的中点 E ,连接 EF , OF ,则 EF // AB, OE // CD ∴ OE 与 EF 所成的锐角或直角即为异面直线 AB 和 CD 所成角 易求得 ?OEF ? 45?
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即异面直线 AB 和 CD 所成角为 45? 五、小结 : 1.二面角的定义、画法. 2.二面角的平面角的定义、作法. 3.求简单的二面角的大小.

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