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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(二)


§ 1.3
一、基础过关

三角函数的诱导公式(二)

1. 已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10° )的值为 1 A.- 2 C.- 3 2 1 B. 2 D. 3 2

(

)

7π 1 2. 若 sin(3π+α)=- ,则 cos ? 2 -α?等于 ? ? 2 1 A.- 2 C. 3 2 1 B. 2 D.- 3 2

(

)

π 1 π 3. 已知 sin?α-4?= ,则 cos?4+α?的值等于 ? ? 3 ? ? 1 A.- 3 2 2 C.- 3 1 B. 3 2 2 D. 3

(

)

π 3 4. 若 sin(π+α)+cos?2+α?=-m,则 cos?2π-α?+2sin(2π-α)的值为 ? ? ? ? 2m A.- 3 3m C.- 2 π 3 π 5. 已知 cos?2+φ?= ,且|φ|< ,则 tan φ 等于 ? ? 2 2 A.- 3 3 B. 3 3 2m B. 3 3m D. 2

(

)

(

)

C.- 3

D. 3 ( )

1 6. 已知 cos(75° +α)= ,则 sin(α-15° )+cos(105° -α)的值是 3 1 A. 3 1 C.- 3 7.sin21° +sin22° +…+sin288° +sin289° =________. tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 8.求证: =-tan α. ?α+3π?cos?α+3π? sin? 2? ? 2? 2 B. 3 2 D.- 3

二、能力提升 π π sin?α-3π?+cos?π-α?+sin?2-α?-2cos?2+α? ? ? ? ? 9. 已知 tan(3π+α)=2,则 =________. -sin?-α?+cos?π+α? 10.化简:sin? 4k-1 ? ?4k+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? (k∈Z).

π 5π 60 π π 11.已知 sin?-2-α?· ?- 2 -α?= ,且 <α< ,求 sin α 与 cos α 的值. ? ? cos? ? 169 4 2 π π sin3?π+α?+cos?α+π? 12.已知 cos?2+α?=2sin?α-2?,求 的值. ? ? ? ? 5π 7π 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? 三、探究与拓展

?sin?3π-α?= 2cos?π-β? ? π π? ?2 ? 13.是否存在角 α,β,α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式? ? ? ? 3cos?-α?=- 2cos?π+β?
同时成立.若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由.

答案
1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 89 6.D 7. 2

tan?-α?· sin?-α?· cos?-α? 8.证明 左边= π ?? π sin?2π-?2-α??· ?2π-?2-α?? cos? ? ? ? ?? = ?-tan α?· ?-sin α?· α cos π π sin?-?2-α??cos?-?2-α?? ? ? ?? ? ? ?? sin2α π π -sin?2-α?cos?2-α? ? ? ? ? sin2α sin α =- cos α -cos α· α sin





=-tan α=右边. ∴原等式成立. 9.2 π π 10.解 原式=sin?kπ-?4+α??+cos?kπ+?4-α??. ? ? ?? ? ? ?? 当 k 为奇数时,设 k=2n+1 (n∈Z),则 π 原式=sin??2n+1?π-?4+α?? ? ? ?? π +cos??2n+1?π+?4-α?? ? ? ?? π =sin?π-?4+α??+ ? ? ?? π cos?π+?4-α?? ? ? ?? π π =sin?4+α?+?-cos?4-α?? ? ? ? ? ?? π π π =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ? ? ? ?

?

?

π π =sin?4+α?-sin?4+α?=0; ? ? ? ? 当 k 为偶数时,设 k=2n (n∈Z),则 π 原式=sin?2nπ-?4+α??+ ? ? ?? π cos?2nπ+?4-α?? ? ? ?? π π =-sin?4+α?+cos?4-α? ? ? ? ?

π =-sin?4+α?+ ? ? π π cos?2-?4+α?? ? ?

?

?

π π =-sin?4+α?+sin?4+α?=0. ? ? ? ? 综上所述,原式=0. 11.解 π sin?-2-α?=-cos α, ? ?

5π π cos?- 2 -α?=cos?2π+2+α? ? ? ? ? =-sin α. 60 ∴sin α· α= , cos 169 120 即 2sin α· α= .① cos 169 又∵sin2α+cos2α=1,② 289 ①+②得(sin α+cos α)2= , 169 49 ②-①得(sin α-cos α)2= . 169 π π 又∵α∈?4,2?,∴sin α>cos α>0, ? ? 即 sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, 17 ∴sin α+cos α= ,③ 13 7 sin α-cos α= ,④ 13 12 5 ③+④得 sin α= ,③-④得 cos α= . 13 13 π π 12.解 ∵cos?2+α?=2sin?α-2?, ? ? ? ? ∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2. ∴ sin3?π+α?+cos?α+π? 5π 7π 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? -sin3α-cos α π 5sin α-3sin?2-α? ? ? -?sin3α+cos α? 5sin α-3cos α







sin3α+cos α sin2α· α+1 tan = 3cos α-5sin α 3-5tan α

sin2α · α+1 tan sin2α+cos2α = 3-5tan α tan3α 23 +1 +1 1+tan2α 1+22 13 = = =- . 35 3-5tan α 3-5×2 ① ?sin α= 2sin β, 13.解 由条件,得? ? 3cos α= 2cos β. ② ①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2,③ 又因为 sin2α+cos2α=1,④ 1 2 由③④得 sin2α= ,即 sin α=± , 2 2 π π 因为 α∈?-2,2?, ? ? π π 所以 α= 或 α=- . 4 4 π 3 当 α= 时,代入②得 cos β= , 4 2 又 β∈(0,π), π 所以 β= ,代入①可知符合. 6 π 3 当 α=- 时,代入②得 cos β= , 4 2 又 β∈(0,π), π 所以 β= ,代入①可知不符合. 6 π π 综上所述,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6


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