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湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案


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株洲市二中 2016 届高三第一次月考试卷 座位号 数学(理科)试题卷
时量:120 分钟 分值:150 分
第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.已知全集 U={0,1,2}且 CU A ={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.4 个 C.5 个 ) D.6 个 ) .

座位号:

2.命题 p : ?x ? 0, x ? ln x ? 0 ,则 ? p 是( A. ?x ? 0, x ? ln x ? 0 C. ?x ? 0, x ? ln x ? 0

B. ?x ? 0, x ? ln x ? 0 D. ?x ? 0, x ? ln x ? 0

900、 1200 人,现用分层抽样的方法 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、
从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( ) D. 30 ) D.10

考场号:

A. 15 B. 20 C. 25 4.等差数列 ?an ?中, a3 ? 7, a9 ? 19 ,则 a5 为( A.13 B.12 C.11

5.设 f(x)= x 2 -2x-3(x∈R) ,则在区间[-π ,π ]上随机取一个实数 x,使 f(x)<0 的概率为 A.

1

? ? ?(2 ? a) x ? 3a, x ? 1 6.已知函数 f ( x) ? ? 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 log x , x ? 1 ? 2 A. (?1, 2) B. [?1, 2) C. (??, ?1] D. {?1}
?
7.观察下列各式: 5 =3125, 5 =15625, 5 =78125, ,则 52015 的末四位数字为( A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
0

B.

2

C.

3

D.

3 2?

姓名:

5

6

7



8.如图,南北方向的公路 l ,A 地在公路正东 2 km 处,B 地在 A 东偏北 30 方向 2 3 km 处, 河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 l 和到 A 地距离相等.现要在曲线 PQ 上一处建一座码头, 向 A、B 两地运货物,经测算,从 M 到 A、M 到 B 修建费用都为 a 万元/km,那么,修建这条公 路的总费用最低是( )万元

班级:

A.(2+ 3 )a

B.2( 3 +1)a

C.5a

D.6a

9.如图,在 5 个并排的正方形图案中作出一个 ?AOn B ? 135? ( n ? 1, 2,3, 4,5,6 ) ,则 n ?(



A. 1 , 6

B. 2 , 5

C. 3 , 4

D. 2 , 3 , 4 , 5 ) D. 5

10.若正数 x, y 满足 x ? 3 y ? 5 xy, 则 3 x ? 4 y 的最小值是( A.

24 5

B.

28 5

C. 6

11. 如图, ? ? ?,? ? ? ? l,A ??,B ? ?,A,B 到 l 的距离分别是 a 和 b ,AB 与 ?,? 所成的角分别是 ? 和 ? , AB 在 ?,? 内的射影长分别是 m 和 n ,若 a ? b ,则( A. ? ? ?,m ? n C. ? ? ?,m ? n B. ? ? ?,m ? n D. ? ? ?,m ? n A a b l )

?
B ?

x2 y 2 12.椭圆 C : ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 在 C 4 3

上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A.



?1 3? , ? ?2 4? ?

B.

?3 3? , ? ?8 4 ? ?

C.

?1 ? , 1 ? ?2 ? ?

D.

?3 ? , 1 ? ?4 ? ?

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
??? ? ??? ? 13.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,且 AC ? AB ? ? 4 ,

则 ?ABC 的面积等于

? ? ? 14 . 已 知 i , j , k 分 别 是 与 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 方 向 相 同 的 单 位 向 量 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则 m + r ? _______. ?? ?? ? ?? ? ?? 15 .设 a1 , a2 , …, an , …是按 先后顺 序排列 的一列向 量,若 a1 ? (?2014,13) , 且 ?? ? ???? an ? an?1 ? (1,1),则其中模最小的一个向量的序号 n ? ______.
? ? x2 ? x ? k x ? 1 x ? (a ? R ) ,若对任意 16.已知函数 f ( x) ? ? 1 , g ( x) ? a ln( x ? 2) ? 2 x ?1 ?? 2 ? log 1 x x ? 1 3 ? 的 x1, x2 ??x | x ? R, x ? ?2? , 均 有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 则 实 数 k 的 取 值 范 围
是 .

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ? 2an?1 ? n - ( 2 n ? 2,且n ? n ? ) (1)求 a2 , a3 的值; (2)证明:数列 ?an ? n? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; (3)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

18. (本题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,?ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA ? AB ? 4 , ?CDA ? 120 ? ,点 N 在线段 PB 上, 且 PN ? 2 . (Ⅰ)求证: MN // 平面 PDC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

19. (本题满分 12 分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某 个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,在某次考试成绩统计中,某老师为 了对学生数学偏差 x (单位:分)与物理偏差 y (单位:分)之间的关系进行分析,随机挑 选了 8 位同学,得到他们的两科成绩偏差数据如下: 学生序号 1 2 3 4 5 6 数学偏差 x 20 15 13 3 2 ﹣5 物理偏差 y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 ﹣0.5 (1)若 x 与 y 之间具有线性相关关系,求 y 关于 x 的线性回归方程; 7 ﹣10 ﹣2.5 8 ﹣18 ﹣3.5

(2)若该次考试该班数学平均分为 120 分,物理平均分为 91.5 分,试由(1)的结论预测数 学成绩为 128 分的同学的物理成绩. 参考数据:

? x y ? 20? 6.5 ? 15? 3.5 ? 13? 3.5 ? 3?1.5 ? 2 ? 0.5 ? ?? 5?? ?? 0.5? ? ??10?? ?? 2.5? ? ??18?? ?? 3.5? ? 324
i ?1 8 i i

i ?8

?x
i ?1

2

i

? 202 ? 152 ? 132 ? 32 ? 22 ? ?? 5? ? ?? 10? ? ?? 18? ? 1256
2 2 2

附:回归方程

y ? bx ? a 中

^

^

^

n n ? ( x ? x )( y ? y ) xi yi ? nx y ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? n , ?b ? n 2 2 2 ? ( xi ? x) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx. ? ?

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 0) ,点 B 在直线 l : x ? ?1上运动, 过点 B 与 l 垂直的直线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过(1)中轨迹 E 上的点 P (1,2)作两条直线分别与轨迹 E 相交于 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) 两 点.试探究:当直线 PC,PD 的斜率存在且倾斜角互补时,直线 CD 的斜率是否为定值?若是, 求出这个定值;若不是,说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x .
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 恒成立,求整数 a 的最小值; ?2 ?

2 2 (Ⅲ)若正实数 x1 , x2 满足 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? x1 x2 ? 0 ,证明 x1 ? x2 ?

?

?

5 ?1 . 2

选做题 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,AD、CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE,AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点为极点, 以x

轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ?

2 1 ? 3 sin 2 ?

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(1)求 m 的最小值; (2)若 2 x ?1 ? x ? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围。

– — – — 密 — – — – — – — – — – — – — – — – 封 — – — – — – — – — – — – — – — – 线 — – — – — – —– — – ——

株洲市二中 2016 届高三第一次月考

数 学 (理)答 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

座位号

题 次 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

座位号:

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ; 14. ;

15.



16.



姓名:

考场号:

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(12 分)

17.(12 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

21.(12 分)

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由 U={0, 1, 2},CU A ? {2} 得 A ? {0,1} 故 A 的真子集个数= 22 -1=3 ,选 A. 考点:集合的运算 2.B 【解析】 试题分析:命题 p 是全称命题,对全称命题的否定为特称命题,并且将不等式加以否定,即

x ? ln x ? 0 改为 x ? ln x ? 0 ,因此 B 正确
考点:全称命题的否定 3.B 【解析】 试题分析:三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人数

选做题(10 分)

为 50 ?

4 ? 20 人,故选 B . 3?3? 4

考点:分层抽样. 4.C. 【解析】

试 题 分 析 : 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 a3 ? 7, a9 ? 19 知 ,

?a3 ? 7 ? a1 ? 2d , , 解 方 程 组 得 , d ? 2, a1 ? 3 . 所 以 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 ? ?a9 ? 19 ? a1 ? 8d

an ? 3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .所以 a5 ? 2 ? 5 ? 1 ? 11.故应选 C.
5. B 【 解 析 】由 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0, 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 f(x)<0 的概率为 6.B 【解析】 试 题 分 析 : 当 x ? 1 时 y ? log2 x ? 0 , 所 以 要 使 f ? x ? 的 的 值 域 为 R , 需 满 足

3 ? (?1) 2 ? ? ? (?? ) ?

?2 ? a ? 0 , 解得 ?1 ? a ? 2 , g ? x ? ? ? 2 ? a ? x ? 3a 在 x ? 1 时的值域中包含所有负数 ,所以 ? ? g ?1? ? 0
故选 B. 考点:分段函数 7.D 【解析】 试题分析: 55 ? 3125,55 ? 15625,57 ? 78125,58 ? 390625,59 ? 1953125? 周期为 4,所以

52015 与 57 后四位相同,都为 8125
考点:归纳推理 8.C 【解析】 试题分析:依 题 意 知 曲 线 PQ 是 以 A 为 焦 点 、 l 为 准 线 的 抛 物 线 , 根据抛物线的定义知: 欲 求 从 M 到 A, B 修 建 公 路 的 费 用 最 低 , 只 须 求 出 B 到 直 线 l 距 离 即 可 . 因 B 地 在 A 地 东 偏 北 30 方 向 2 3 km 处 ,
0

∴ B 到 点 A 的 水 平 距 离 为 3 ( km ) , ∴ B 到 直 线 l 距 离 为 : 3+2=5 ( km ) , 那 么 修 建 这 两 条 公 路 的 总 费 用 最 低 为 : 5a ( 万 元 ) . 故 选 C . 考点:抛 物 线 方 程 的 应 用 . 9.C. 【解析】 试 题 分 析 : 若 n ? 1 或 n ? 6 , 显 然 ?AOn B ? 90? , 若 n ? 2 , 则 有 ?AO2O1 ? 45? ,

?BO2O6 ? 45? ,

∴ ?AOn B ? 135? ,根据对称性可知,若 n ? 5 , ?AOn B ? 135? ,若 n ? 3 ,则有

1 1 ? 2 3 ? 1 ,又∵ ?AO O , ?BO O ? (0, 45? ) , tan(?AO3O1 ? ?BO3O6 ) ? 3 1 3 6 1 1 1? ? 2 3
∴ ?AO3O1 ? ?BO3O6 ? 45? ,∴ ?AO3 B ? 135? ,同理根据对称性有 ?AO4 B ? 135? . 考点:三角恒等变形的运用. 考点:等差数列. 10.D. 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 知 正 数

x, y





1 1 3 ( ? ?) 1 所 以 , 5 y x

3x ?

1 1 3 4y ? ( ? 5 y x

)x ( ? 3y 5

1x ? 4

) y

3 y 1 2 ? ( 1 ? 3 x 5

?

1x

y 4 ,故选 )? ? ( D.1 3 ? y x

3

? 2

考点:基本不等式. 11.D 【解析】 试题分析: 设点 A 在 ? 上的射影为点 C, 点 B 在 ? 上的射影为点 D, 则 ? ? ?B A D , ? ? ?B C D , 则 sin ? ?

b a , sin ? ? , 因 为 a?b , 所 以 s i? n?s i? n , 即 ? ? ?; 又 因 为 AB AB

AB2 ? b 2 ? m 2 , AB2 ? a 2 ? n 2
,所以 m ? n. 考点:直线在平面内所成射影和直线与平面所成的角. 12.B 【解析】 试 题 分 析 : 设 P ? x, y ? , 直 线 PA1 , PA2 的 斜 率 的 分 别 为 , 则

3 3 ? x2 y y y2 3 ?3 3? k1k2 ? ? ? 2 ? 2 4 ? ? ,因为 k2 ? ? ?2, ?1? ,所以 k1 ? ? , ? ,故选 B. x?2 x?2 x ?4 x ?4 4 ?8 4 ?
考点:1.椭圆;2.直线的斜率. 12.A 【解析】 试题分析:分成两类:A 和 C 同色时有 4×3×3=36(种) ;A 和 C 不同色时 4×3×2×2=48 (种) ,∴一共有 36+48=84(种) . 考点:计数原理 二

13. 2 3 【解析】 试题分析:因为 b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,即 b2 ? c 2 -a 2 = ? bc , 所以由余弦定理得 cos A=
???? ??? ? b2 ? c 2 -a 2 1 3 =- ,所以 sin A= ,又 AC ? AB ? ?4 , 2bc 2 2

即 bc cos A=-4,所以bc=8 。所以 S ?

1 1 3 bc sin A= ? 8 ? =2 3 。 2 2 2

考点:余弦定理;平面向量的数量积;三角形的面积公式。 点评:我们要注意余弦定理的形式,一般情况下,有平方关系多想余弦定理。属于基础题型。 14.

74 5

【解析】 试题分析:若 a // b ,所以 考点:空间向量的平行 15. 1001 或 1002 . 【解析】 试题分析:设 an ? ( xn , yn ) ,∵ a1 ? (?2014,13) ,且 an ? an?1 ? (1,1) ,∴数列 {xn } 是首项为

?

?

m 5 ?1 1 74 ? ? ,解得 r ? ? , m ? 15 ,所以 m ? r ? . 3 1 r 5 5

?? ?

??

?? ? ????

?2014 , 公差为 1 的等差数列, 数列 { yn } 是首项为 13 , 公差为1 的等差数列, ∴ xn ? n ? 2015 ,

? ?? yn ? n ? 12 , ∴ |an 2 |? ( n ? 2 0 125? ) n? (
?? ? n ? 1001 或 1002 时, | an | 取到最小值.

2

12 ?) n2 2 ?

4 n 0? 06

2

2 ∴ 可1知 2? 0, 1 5 2当

考点:1.向量的坐标运算;2.等差数列的通项公式;3.二次函数的性质. 16. ? ??, ? ? 4

? ?

3? ?

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 当 x ? (?2, ??) 时 ,

f( x ) a ?x m

g ( x), m i由 n 于

x ???

lim ln( x ? 2) ? ??, lim ln( x ? 2) ? ??, 而 ?
x ??2

1 x 1 ? 2 ? ,因此当 a ? 0 时, g ( x) 不存在 2 x ?1 2 1 , y ? log 1 x 是减函数,当 x ? 1 时, 2 3

最小值,故满足题意的只能是 a ? 0 ,此时 g ( x) min ? ?

1 1 1 1 f ( x) ? ? ? log 1 1 ? ? , 当 ?2 ? x ? 1 时 , f ( x) ? ? x 2 ? x ? k ? ?( x ? ) 2 ? k ? , 2 4 2 2 3

?

1 1 1 3 ? k ,所以 ? k ? ? , k ? ? . 4 4 2 4

考点:函数的最值,不等式恒成立问题.

三 17.(1) a2 ? 6, a3 ? 13 ;(2)证明详见解析, an ? 2 n?1 - n ; (3) S n ? 2 【解析】 试题分析:(1)赋值:令 n ? 2, n ? 3 ; (2)涉及到等差数列,等比数列的证明问题,只需按照 定义证明即可,∴利用等比数列的定义证明,利用等比数列通项公式可求出
n?2

?

n2 ? n ? 8 . 2

?an ? n? 的通项

公式,从而求出 an ; (3)根据通项公式求 Sn ,常用方法有裂项相消法,错位相减法,分组求 和法,奇偶并项求和法. 试题解析: (1)令 n ? 2 , a2 ? 2a1 ? 6, 令 n ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 13 . (2)

an ? n 2a ? n - 2 ? n ? n?1 ? 2 ,∴数列 ?an ? n? 是首项为 4, 公比为 2 的等比数列, an?1 ? (n ? 1 ) an?1 ? n ? 1

∴ an ? n ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,? an ? 2 n?1 ? n . ( 3 ) ∵ 数 列

?an ?











an ? 2 n?1 - n





S n ? (2 2 ? 2 3 ? ......... 2 n ?1 ) ? (1 ? 2 ? .......... .. ? n) ? n2 ? n ? 8 ? . 2
7 . 7

4(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? ? 1? 2 2

2

n?2

考点:1、赋值法;2、等比数列的定义;3、分组求和法求数列前 n 项和. 18. (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (1)根据条件得出

BN BM ? ,即可说明 MN // PD ,进而证明直线 MN 与平面 NP MD

PDC 平行; (2)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标,从 而将几何问题转化为向量问题.其中灵活建系是解题的关键.(3)求出平面 APC 与平面 BPC 的法向量,计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
试题解析: (Ⅰ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,

所以 AD ? CD , ?CDA ? 120 ? ,所以 DM ? 所以 BM : MD ? 3 : 1

2 3 , 3

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4, PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 : 1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN // 平面 PDC . (Ⅱ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立如图的空间直角坐标系,所以

B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0,

4 3 ,0), P(0,0,4) . 3

P N A M B x 由(Ⅰ)可知, DB ? (4, ? D C

y

??? ?

4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量 3

PC ? (2,2 3,?4), PB ? (4,0,?4) ,
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? ??? ? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? 4 x ? 4 z ? 0 n ? PB ? 0 ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3)
设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ?
7 . 7 考点:线面平行的判断及其二面角.

n ? DB | n | ? | DB |

?

7 , 7

所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

19. (1)

(2)94 分 y ? 4 x? 2;

^

1

1

【解析】 试题分析:(1)回归分析是针对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有散点图大 致呈线性时,求出的回归方程才能有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义; ( 2) 正确理解计算 (3)根据回归方程进行预 b a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键; 和
? ?

报,仅是一个预报值,而不是真实发生的值,只有具有线性相关关系,则可通过线性回归方 程来估计和预测. 试题解析: 解: (1) 由题意,x ? 分

20 ? 15 ? 13 ? 3 ? 2 ? (?5) ? (?10) ? (?18) 5 ? , 8 2
2分

1

y?

6.5 ? 3.5 ? 3.5 ? 1.5 ? 0.5 ? (?0.5) ? (?2.5) ? (?3.5) 9 ? , 8 8

?? b
所以

?x y
i ?1 8 i

8

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

2 i

5 9 324 ? 8 ? ? 2 8 ? 1, ? 5 4 1256? 8 ? ( ) 2 2
8分

5分

?x ? 9 ? 1 ? 5 ? 1 , ? ? y ?b a 8 4 2 2
故线性回归方程为

y ? 4 x? 2
10 分

^

1

1

(2)由题意,设该同学的物理成绩为 w ,则物理偏差为: w ? 91 .5 . 而数学偏差为 128-120=8, 11 分 ∴ w ? 91 .5 ?

1 1 ?8 ? , 4 2

12 分

解得 w ? 94 , 13 分 所以,可以预测这位同学的物理成绩为 94 分. 14 分 考点: (1)求线性回归方程; (2)利用线性回归方程进行预测. 20. (1) y ? 4 x
2

(2)是定值,为-1,过程见解析. 【解析】 试题分析:对于第一问,根据线段的中垂线上的点满足的条件,可知 MA ? MB ,根据抛物线 的定义,可知所求的动点的轨迹为抛物线,结合着题中所给的量,从而求得轨迹方程;对于 第二问, 根据题意可以确定直线 CD 的斜率可以用 C , D 两点的坐标有关, 对于直线 PC , PD 的 倾斜角互补,可知两直线的斜率互为相反数,直线的方程与抛物线的方程联立,可知对应的 坐标为多少,再根据刚刚的条件,从而求得对应的直线的斜率为定值. 试题解析: (1)依题意,得 MA ? MB 1分 3分

∴动点 M 的轨迹 E 是以 A(1,0) 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线,

∴动点 M 的轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x .

5分

(2)∵P (1,2), C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,

由①-②得, ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4( x1 ? x2 ) , ∴直线 CD 的斜率为 k CD ?

y1 ? y 2 4 , ? x1 ? x2 y1 ? y 2



7分

设直 PC 的斜率为 k,则 PD 的斜率为-k, 可设直线 PC 方程为 y-2=k(x-1),由 ? ky -4y-4k+8=0,由 2 ? y1 ? 同理可求得 y2=- ∴ kCD ?
4 - 2 k
2

? y2 ? 4x 得: ? y ? kx ? k ? 2,

4 4 ,求得 y1= -2, k k

4 4 ? ? ?1 4 y1 ? y2 ( ? 2) ? (? 4 ? 2) k k

∴直线 CD 的斜率为定值 ?1 . 12 分 考点:求动点的轨迹方程,抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,直线的斜率坐标公式. 21. (1) (1, ??) ; (2)2; (3)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值 和最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、逻辑思 维能力、计算能力.第一问,先对 f ( x ) 求导,再利用 f ( x) ? 0 求出函数的递减区间;第二问,
'

先 将 关 于

x

的 不 等 式

?a ? f ? x ? ? ? ? 1? x 2 ? ax ? 1 恒 成 立 , 转 化 为 ?2 ?

1 g ( x) ? ln x ? ax2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 恒成立,对 g ( x) 求导,对 a ? 0 和 a ? 0 进行讨论,判断函 2
数 g ( x) 的 最 小 值 是 否 小 于 等 于 0 ; 第 三 问 , 将 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 , 化 简 为 , φ(t ) ? t ? ln t ,通过判断函数 φ(t ) 的单调 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? l n ( x1 x ) 2再构造函数 区间单调最小值,从而得到 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ,通过解不等式得到 x1 ? x2 的范围.

f ?( x) ?
试题解析: (Ⅰ)

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x ,

2 ? 由 f ( x) ? 0 ,得 2 x ? x ? 1 ? 0 ,

又 x ? 0 ,所以 x ? 1 .所以

f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) .

3分

a 1 g ( x) ? f ( x) ? [( ? 1) x 2 ? ax ? 1] ? ln x ? ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 2 2 (Ⅱ)令 ,

g ?( x) ?
所以

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 ? ax ? (1 ? a) ? x x .

g ?( x) ? 0 . 当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以
所以

g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数,

1 3 g (1) ? ln1 ? a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 2 2 又因为 ,
a ( ? 1) x 2 ? ax ? 1 f ( x ) 所以关于 x 的不等式 ≤ 2 不能恒成立.

5分

?ax2 ? (1 ? a) x ? 1 g ?( x) ? ?? x 当 a ? 0 时,
? 令 g ( x) ? 0 ,得

1 a( x ? )( x ? 1) a x ,

x?

1 a.

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) ? a 时, g ?( x) ? 0 ;当 a 所以当 时, g ( x) ? 0 ,
g ( x) 在 因此函数

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) a 是增函数,在 a 是减函数.

1 1 1 1 1 1 g ( ) ? ln ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a g ( x) 的 最 大 值 为 a a 2 a a 2a 故 函 数 .
7分

h(a ) ?


1 ? ln a 2a ,

h(1) ?
因为

1 1 ? 0 h(2) ? ? ln 2 ? 0 2 4 , ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数.

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. 8分
2 2

2 2 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0 , (Ⅲ) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 0 , 即

从而

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )

t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, 令
可知, ? (t ) 在区间

? ?(t ) ?

t ?1 t ,

(0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增.

所以 ? (t ) ≥ ? (1) ? 1 , 所以

( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ) ≥1 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,

5 ?1 成立. 12 分 2 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问 题.
因此 x1 ? x2 ? 选做题 22. (Ⅰ)证明见解析; (Ⅱ) AD ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)通过题意分析可得 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, 可得 △BDE ∽

4 3

BE DE ,又 AB ? 2AC ,可得 BE ? 2DE ,又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. ? BA CA (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 ,设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,可得 4 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解出 t ? 即可求出. 3
△BCA ,则
试题解析: (Ⅰ)证明: 因为四边形 ACED 为圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 1 分 又 ?DBE ? ?CBA, 所以△BDE ∽△BCA ,则 而 AB ? 2 AC ,所以 BE ? 2DE . 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 . 设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4, 4分 5分 6分

BE DE . ? BA CA

3分

BE ? BC ,

所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得 t ?

4 4 ,即 AD ? . 3 3

10 分

考点:1、相似三角形;2、割线定理. 23. (I) y ? ? x ? 1, 【解析】 试题分析:(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 把 极坐标方程转化为直角坐标系的普通方程; (2)根据条件将曲线方程联立所得的方程组有解, 利用方程有关知识解决本题. 试题解析: (1)由题意可得: y ? ? x ? 1,

x2 8 ? y 2 ? 1 ,(Ⅱ) 5 4

x2 ? y 2 ? 1 -----------4 分 4

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (2)将 ? ?t为参数? 代人 C 2 直角坐标方程得 5t 2 ? 12 2t ? 8 ? 0 ? y ? ?1 ? 2 t ? 2 ?
t1 ? t 2 ? 8 -------------------10 分 5

考点:参数方程、极坐标方程. 24. (1) 3 ; (2) x ? ? 或 x ?

1 3

5 . 3

【解析】 试题分析:第一问结合柯西不等式,凑成相应的形式,从而求得结果,第二问注意向最值转 换.

? a? ? a b ? 2 2 2 2 2 试题解析: (1) 因为 (a ? b )(1 ?1 ) ? ( a ? b) , 所以 a ? b ? 3 , (当且仅当 ? , 即? 1 1 ?b ? ? ?
时取等号) 又因为 a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 3 .故 m 的最小值为 3 . (2)使 2 x ?1 ? x ? a ? b 恒成立,须且只须 2 x ?1 ? x ? 3 .

3 2 3 2

?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 1 5 ? ? ? x?? x? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 3或 3. ∴? 或? 或? ∴
考点:柯西不等式,恒成立问题的转换. 21.(本题满分 12 分)已知定点 F(3,0)和动点 P(x,y) ,H 为 PF 的中点,O 为坐标原点, 且满足 OH ? HF ? 2 .

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)过点 F 作直线 l 与点 P 的轨迹交于 A,B 两点,点 C(2,0) .连接 AC,BC 与直线 x ? 别交于点 M,N.试证明:以 MN 为直径的圆恒过点 F。

4 分 3

解:21. (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? , (2)证明见解析, 4 5

试题分析:取 F ? ? ?3,0? 连接 PF ? , ? OH ? HF ? 2 ,? PF ? ? PF ? 4 ,符合双曲线定 义 , 点 P 的 轨 迹 是 以 F ?, F 为 焦 点 的 双 曲 线 的 右 支

? a ? 2, c ? 3 ,

?b2 ? c 2 ? a 2 ? 9 ? 4 ? 5 ,点 P 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? ;第二步设直线 l 方程 4 5

?30t ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 5t ? 4 为 x ? ty ? 3 ,联立方程组,设而不求,利用根与系数关系,可得出 ? ,根据 25 ?y ? y ? 1 2 ? 5t 2 ? 4 ?
2 y1 2 y2 y1 m ,? m ? ? ? 同理 n ? ? ? ,求出点 ? 3 x1 ? 2 3 x2 ? 2 x 1 ?2 4 ? 2 3 ??? ? ??? ? M、N 的坐标,要证明以 MN 为直径的圆恒过点 F,只需证明 FM ? FN ? 0 即可;

A、C、M 三点共线, ?

试题解析: (1)如图取 F ? ? ?3,0? 连接 PF ? , ? OH ? HF ? 2 ,? PF ? ? PF ? 4 ,由双 曲 线 定 义 知 , 点 P 的 轨 迹 是 以 F ?,F 为 焦 点 的 双 曲 线 的 右 支 ? a ? 2, c ? 3 ,

?b2 ? c 2 ? a 2 ? 9 ? 4 ? 5 ,?点P 的轨迹方程为:

x2 y 2 ? ? 1? x ? 0 ? 4 5
? ?

(5 分)

( 2 ) 设 A ? x1 , y 1? , B ? x , , m ? , N ? , n ? , 直 线 l 方 程 为 x ? ty ? 3 , 联 立 2 y ?2, M ?

?4 ?3

? ?

?4 ?3

? x ? ty ? 3 ? 2 2 ?5 x ? 4 y ? 20
?30t ? y1 ? y2 ? 2 ? ? 5t ? 4 ? ? y ? y ? 25 1 2 ? 5t 2 ? 4 ?

2 2 整理得: 5t ? 4 y ? 30ty ? 25 ? 0 ,

?

?

(6 分)

? A、C、M 三点共线, ?

2 y1 2 y2 y1 m ,? m ? ? ? 同理 n ? ? ? ? 3 x1 ? 2 3 x2 ? 2 x 1 ?2 4 ? 2 3
(8 分)

?4 2 y ? ?4 2 y ? M ? , ? ? 1 ?, N ? , ? ? 2 ? ? 3 3 x1 ? 2 ? ? 3 3 x2 ? 2 ?

???? ? ???? ? 4 y1 ? y2 2 y ? ?4 2 y ? 25 4 FM ? FN ? ? ? 3, ? ? 1 ? ? ? ? 3, ? ? 2 ? ? ? ? 3 x1 ? 2 ? ? 3 3 x2 ? 2 ? 9 9 ? ty1 ? 1?? ty2 ? 1? ?3
25 y1 ? y2 25 4 25 4 5t 2 ? 4 ? ? ? 2 ? ? ? 9 9 t y1 ? y2 ? t ? y1 ? y2 ? ? 1 9 9 t 2 ? 25 ? t ? ?30t ? 1 5t 2 ? 4 5t 2 ? 4
? 25 4 25 25 4 ? 25 ? 25 25 ? ? ? ? ??? ? ? ? ?0 2 2 2 9 9 25t ? 30t ? 5t ? 4 9 9 ? 4 ? 9 9

? FM ? FN 即 ?MFN ? 90? ?以MN 为直径的圆恒过点 F

(12 分) 考点:1.求动点轨迹方程;2.过定点问题

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