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4[1].3简单线性规划的应用


y

o

x

实例解析
例1 医院用甲乙两种原料为手术后的病人配营养 餐,甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质, 售价3元;乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位 铁质,售价2元,若病人每餐至少需要35单位蛋 白质和40单位铁质,试问:应如何使用甲乙原料, 才能既满足营养,又使费用最省? 解: 设甲乙两种原料分别用10xg和10yg, 需要的费用为z=3x+2y; 病人每餐至少需要35单位蛋白质,可表示为 5x+7y≥35 同理,对铁质的要求可以表示为:10x+4y≥40 这样,问题成为:在约束条件

实例解析
解: 设甲乙两种原料分别用10xg和10yg, 需要的费用为z=3x+2y; 病人每餐至少需要35单位蛋白质,可表示为 5x+7y≥35 同理,对铁质的要求可以表示为:10x+4y≥40 这样,问题成为:在约束条件
?5 x ? 7 y ? 35 ? ?10x ? 4 y ? 40 ? x ? 0, y ? 0 ?

下,求目标函数z=3x+2y的最小值

这样,问题成为:在约束条件

?5 x ? 7 y ? 35, ? ?10 x ? 4 y ? 40, ? x ? 0, y ? 0 ?
下,求目标函数z=3x+2y的最小值 作出可行域 5x+7y=35 令z=0,作直线l:3x+2y=0
A

y 10x+4y=40

O

x

当把l平移到A点时,z最小. 由

?5 x ? 7 y ? 35, ? ?10 x ? 4 y ? 40,



14 A( ,3). 5
乙种原料

所以用甲种原料 费用最省.

14 ?10 ? 28( g ), 5

3 ?10 ? 30( g )

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线 (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

体验:
一、先定可行域和平移方向,再找最优解。

二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关, 而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.

小 结

本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题 正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健
线性目标函数的最值一般都是在可行域 的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要 弄清楚.

变式训练2

某公司计划2010年在甲、乙两个电

视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费 用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准 分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司 带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司

如何分配甲、乙两个电视台的广告时间,才能使
公司的收益最大.最大收益是多少万元?

解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间 分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意 得
?x+y≤300 ? ?500x+200y≤90000, ? ?x≥0 ? ?y≥0 ?x+y≤300 ? ?5x+2y≤900. 即? ?x≥0 ? ?y≥0

目标函数为 z=3000x+2000y. 作出可行域如图所示:

作直线l∶3000x+2000y=0,即3x+2y=0.

平移直线 l,由图可知当 l 过点 M 时,目标函数 z
?x+y=300 取得最大值. ? 由 , M(100, 200). 得 ?5x+2y=900

∴zmax=3000×100+2000×200=700000(元). 所以:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙 电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大 收益为 70 万元.

1.

某厂生产甲乙两种产品,已知生产甲种产品1t需耗A种矿石

10t, B种矿石5t,煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t, B种矿石
4t,煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是 1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 300t,B种矿石不超过200t,煤不超过360t.甲乙两种产品应各生产 多少(精确到0.1t)?

消耗量 资源

产品

甲种产品 (1t) 10 5 4 600

乙种产品 (1t) 4 4 9 1000

资源限额 (1t) 300 200 360

A种矿(t) B种矿(t) 煤(t) 利润(元)

解: 设生产甲、 乙两种产品分别为xt yt, 利润总额为z元得:

z ? 600x ? 1000y

?10 x ? 4 y ? 300 ?5x ? 4 y ? 200 ? ? ?4 x ? 9 y ? 360 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?

y
作出不等式组表示的平面区域

作直线?:600x ? 1000 y ? 0 即直线?: x ? 5y ? 0, 3
直线?过可行域 M点,Z 最大
?5x ? 4 y ? 200 解方程组? ?4 x ? 9 y ? 360 解得 : M?12.4,34.4 ?

M
3x ? 5y ? 0

x
0
5x ? 4y ? 200 10x ? 4y ? 300 4x ? 9y ? 360

例7一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐 18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷 酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸 盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出 满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平 面区域。 若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000 元,生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元, 那么生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产 生最大的利润?

解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 y 肥料的车皮数,于是满足以下条件:

?4x+y ≤10 ?18x+15y ≤66 ? ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?

x
o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮, 能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y, 可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率 为-2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。

容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmax=3 答:生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利 润,最大利润为3万元。

y

M x
o

2.

咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9g,咖啡4g ,糖

3g;乙种饮料每杯含奶粉4g,咖啡5g ,糖10g,已知每天原料的使用 限额为奶粉,咖啡2000g ,糖3000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能 全部售出.每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?

?9 x ? 4 y ? 3600, 解: 设每天应配制甲种饮料x杯、 ? ?4 x ? 5 y ? 2000, 乙种饮料y杯。 咖啡馆每天获利 ?3x ? 10 y ? 3000, ? z ? 0.7 x ? 1.2 y ?x ? 0, y ? 0 ?

?4x ? 5y ? 2000 解方程组? 得C?200, ? 240 ?3x ? 10 y ? 3000

y

9x ? 4y ? 3600

?9 x ? 4 y ? 3600, ?4 x ? 5 y ? 2000, ? ? ?3x ? 10 y ? 3000, ?x ? 0, y ? 0 ?

z ? 0.7 x ? 1.2 y
D

C
B

3x ? 10y ? 3000

A

0
7x ? 12y ? 0

4x ? 5y ? 2000

x

方法感悟 1.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行解、可行域.将约束条件中的每一个 不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不 等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交 集. (2)作出目标函数的等值线. (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数 等值线.从图中能判定问题有唯一最优解,或者 是有无穷最优解,或是无最优解.

2.解答线性规划的实际应用问题时应注意
(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件 较多,因此认真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; (3)结合实际问题,未知数x、y等是否有限制 ,如

x、y为正整数、非负数等;
(4)图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基

本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,
图上操作尽可能规范.


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