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【强力推荐】含参数的一元二次不等式的解法学案


含参数的一元二次不等式的解法学案
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分 类方法有三种: 一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 例1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项系数进行分类讨论。
2

解:

变式训练 1 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 解 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 2 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:

变式训练 2 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R?
2 2

?

?



1

三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x 2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;

1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 a
例 3 解不等式 x 2 ? (a ? 解:

2 2 变式训练 3 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0

分析 此不等式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根
2

2a 与 3a 的大小.


练习( 1)解关于 x 的不等式: x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 0. (2)解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0. (3)解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

2


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