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二次函数图象的性质复习···


函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x y,并且对 函数: 在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对
于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, 的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应, ,y都有唯一确定的值与其对应 那么就说x是自变量,y ,y是 的函数. 那么就说x是自变量,y是x的函数.

二次函数: 二次函数: 一般地, 一般地,形如 (a、 为常数,a≠0) y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中, 自变量,a,b,c ,a,b,c分 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项. 和常数项.

1、函数y=2x2的图象的开口 函数y=2x ,顶点是 (0,0) ; 轴 y轴 轴

向上

,对称

2、函数y=-3x2的图象的开口 函数y=- y= 轴 称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ;

向下

,对

3、观察函数y=x2的图象 则下列判断中正确 、观察函数 的图象,则下列判断中正确 的是( 的是 ) (A) 若a,b互为相反数 则x=a与x=b 互为相反数,则 互为相反数 与 的函数值相等; 的函数值相等 (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. 值与它对应 (C) 对任一个实数 有两个 和它对应 y 对任一个实数y,有两个 和它对应. 有两个x和它对应 (D) 对任意实数 都有 >0. 对任意实数x,都有 都有y>
o x

1、函数y=2x2的图象的开口 函数y=2x 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0)

向上

,

;
向下 对称 ,

2、函数y=-3x2的图象的开口 函数y=- y= y轴 ,顶点是 (0,0) 轴

;

m2+m 是二次函数且其图象开口 2.已知 例2.已知 y =(m+1)x

向上, 向上,求m的值和函数解析式 依题意有: 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ②

解②得:m1=-2, m2=1
由①得:m>-1 :m>-
∴ m=1 此时,二次函数为: 此时,二次函数为: y=2x2,

抛物线y=ax 之间的关系是: 抛物线y=ax2与y=ax2±c之间的关系是:
形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同, 形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同, 而顶点位置和抛物线的位置不同. 而顶点位置和抛物线的位置不同. 抛物线之间的平移规律: 抛物线之间的平移规律:

抛物线y=ax 抛物线y=ax2 抛物线y=ax 抛物线y=ax2

向上平移 抛物线 y=ax2+c c个单位 向下平移 抛物线 y=ax2-c c个单位

把抛物线y=2x2向上平 把抛物线y=2 y= 个单位,会得到那条抛物线? 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? 3.4个单位呢 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2 得到抛物线y= (1)得到抛物线y=2x2+5
2-3.4 (2)得到抛物线y=2 得到抛物线y= (2)得到抛物线y=2x

思考: 思考:抛物线y=2x2+5 的开口方向、对称轴、顶点各是什么? 的开口方向、对称轴、顶点各是什么?

抛物线y=ax2+c与y=-5x2的形状大小,开 的形状大小, 与 - 口方向都相同,且其顶点坐标是( 口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3), - 它是由抛物线y= 则其表达式为 y=-5x2+3 ,它是由抛物线 个单位得到的. -5x2向 上 平移 3 个单位得到的. 向

?

抛物线y=ax2+c与y=3x2的形状相同,且 与 3 的形状相同, 其顶点坐标是 ? (0,1),则其表达式 ),则其表达式 为 y=3x2+1 或y=-3x2, 1 - + 3

画出下列函数图象, 画出下列函数图象,并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点, 开口方向、对称轴、顶点,最大值或 最小值各是什么及增减性如何?。 最小值各是什么及增减性如何?。

y= 2(x-3)2 2(x-3) y= ?2(x+3)2 ( ) y= ?2(x-2)2 ( ) y= 3(x+1)2 ( )

二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2

a>0

a<0

图象

h>0
开口 对称性 顶点 增减性

h<0

h>0

h<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h 直线x=h

(h,0) h
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

1、若将抛物线y=-2(x-2)2的图象的 若将抛物线y=y= 顶点移到原点, 顶点移到原点,则下列平移方法正确 的是( 的是( C ) 向上平移2 A、向上平移2个单位 向下平移2 B、向下平移2个单位 向左平移2 C、向左平移2个单位 向右平移2 D、向右平移2个单位

如何平移: 如何平移:
3 2 y = ( x + 1) 4

3 2 y = ( x ? 1) 4

3 2 y = ( x + 3) 4
1 2 y = ? x ?3 2

3 2 y = ( x ? 5) 4
1 2 y = ? (x ? 6) 2

2、按下列要求求出二次函数的解析式: 按下列要求求出二次函数的解析式: 已知抛物线y=a(x y=a(x- 经过点( (1)已知抛物线y=a(x-h)2经过点(-3,2) 求该抛物线线的解析式。 (-1,0)求该抛物线线的解析式。 形状与y= y=(2)形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 但开口方向不同,顶点坐标是( 同,但开口方向不同,顶点坐标是(1, 的抛物线解析式。 0)的抛物线解析式。
轴上, (3)已知二次函数图像的顶点在 轴上, )已知二次函数图像的顶点在x轴上 且图像经过点( , ) )。求 且图像经过点(2,-2)与(-1,-8)。求 , )。 此函数解析式。 此函数解析式。

3、抛物线y=4(x-3)2的开口方向 向上 , 抛物线y=4( y=4 直线x=3,顶点坐标 对称轴是 直线 是 (3,0) ,抛物线是最 低 点, , ) 当x= 3 时,y有最 小 值,其值为 0 。 , ) 抛物线与x 抛物线与x轴交点坐标 (3,0) ,与y轴交 , ) 点坐标 (0,36)。

抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2

开口方向 向上 向下 向下

对称轴 直线x=-3 直线 直线x=1 直线 直线x=3 直线

顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)

1.完成下列表格: 1.完成下列表格: 完成下列表格 二次函数 y=2(x+3)2+5 y=-3(x- y=-3(x-1)2-2 4(x- y = 4(x-3)2+7 y=-5(2- y=-5(2-x)2-6 开口方向 向上 向下 向上 向下 对称轴 顶点坐标

直线x=- 直线x=-3 (-3, 5 ) x= 直线x=1 ( 1 , -2 ) 直线x=1 直线x=3 直线x=3 直线x=2 直线x=2 ( 3 , 7) ( 2 , -6 )

2.请回答抛物线y 4(x- 由抛物线y=4x 2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 请回答抛物线 样平移得到? 样平移得到? 能够由抛物线y=4x 3.抛物线 =-4(x- 抛物线y 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗? 得到吗?

一个运动员推铅球,铅球出手点在 处 一个运动员推铅球,铅球出手点在A处, 出手时球离地面 1 2 m ,铅球运行所经 过的路线是抛物线, 过的路线是抛物线,已知铅球在运动员前 4m处达到最高点,最高点高为3m,你 m处达到最高点,最高点高为 m, m,你 能算出该运动员的成绩吗? 能算出该运动员的成绩吗?
3

3米
1 2 3

4米

一场篮球赛中,小明跳起投篮 已知球出手时离地面 一场篮球赛中 小明跳起投篮,已知球出手时离地面 小明跳起投篮 与篮圈中心的水平距离为8米 当球出 高 20 米,与篮圈中心的水平距离为 米,当球出 与篮圈中心的水平距离为 手后水平距离为4米时到达最大高度 米 设篮球 手后水平距离为 米时到达最大高度4米,设篮球 米时到达最大高度 运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面 米 运行的轨迹为抛物线 篮圈中心距离地面3米。 篮圈中心距离地面
9

问此球能否投中? 问此球能否投中?

4米
20 9

3米

4米

8米

在出手角度和力度都不变的情况下, 在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈? 为多少时能将篮球投入篮圈?
6

y
(4,4) , ) (8,3) , ) ? 20 ? ? 8, ? ? 9 ?

4

? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?2

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

x
-2

? 在出手角度、力度及高度都不变的情况下,则小明朝 在出手角度、力度及高度都不变的情况下, 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈? 入篮圈?
6

y

4

(4,4) (5,4) , ) , ) (7,3) 7 (8,3) , )


? 20 ? ? 0, ? ? 9 ?
2

0

1

2

3

4

5 5

6

7

8

9

10

X
-2

若假设出手的角度和力度都不变, 若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中? 则如何才能使此球命中?
(1)跳得高一点 ) (2)向前平移一点 )

经过点( , ), (1)抛物线 )抛物线y=a(x+2)2-3经过点(0,0), 经过点 则a= 。 ),且经 (2)设抛物线的顶点为(1,-2),且经 )设抛物线的顶点为( , ), 过点( , ),求它的解析式。 ),求它的解析式 过点(2,3),求它的解析式。 向右平移3个单位再向下平 (3)抛物线 )抛物线y=3x2向右平移 个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 个单位得到的抛物线是 。 (4)抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 )抛物线 的顶点是 。


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