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高考数学教材回归


高考数学教材回归
会泽茚旺高中数学高级教师 杨顺武

尽管剩下的复习时间已经不多,但我们仍然要注意回归课本。只有吃透课本上的例题、习题, 才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法,构建完整的数学知识体系,以不变应万变,实现查漏 补缺。在求活、求新、求变的命题指导思想下,高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内 容, 也不会考查课本上的原题, 但对高考试卷进行分析就不难发现, 许多题目都能在课本上找到 “影 子”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。对课本的知识体系做一个系统的回顾与归 纳,就是要求学生理解每个知识点的内涵、延伸与联系,重视教材中重要定理的叙述与证明,如立 体几何中的三垂线定理、线面关系的判断定理等,当然并不是要学生强记题型、死背结论,而是要 抓纲悟本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一 些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。
1、 集合运算:一抓代表元素二抓属性;空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集 如: (1) A ? {x | y ?

x ? 2}, B ? {y | y ? x ? 2},则A ? B ? ( )

A、 ? B、 [2,+ ? ) C、 [0,+ ? ) D、R 该类问题容易犯仅从 x 与 y 的不同而错选 A
如: (2) 、若 ? ? {x | x2 ? a, a ? R} ,则 a 的取值范围是( ) A、R B、[0, ?? ) C、 (0, ?? ) D、 (??, 0] )

(3) 、 A ? {x || x ? 1|? a}, B ? {x |1 ? A、 (0,2]

5 ? 0}, 且A ? B ,则 a 的取值范围是( x?2
C、[2, 3]

B、 (??, 2]

D、[3, ?? )

2、 “甲是乙的充分条件”与“甲的充分条件是乙” 如:命题甲: “设 A ? {x | 2 ? x ? 6} ” ,命题乙: “ B ? {x | 2a ? x ? a ? 3} ”甲的充分条件是乙,则 a 的取值 范围是( )

A、 [1, 3]

B、(3,+?)

C、 [1, +?)

D、(1,3)

3、三个二次的关系你清楚吗?二次项系数不为零你是否总优先? 如函数 f ?x? ? x lg a ? 2 x ? 1 与 x 轴有两个不同的交点,则 a 的取值范围是
2



4、换元须换域 如:已知

f ( x ?1) ? x ? 2 ,则 f ( x) ?
x 3 2x ? 3 ,则 f x
?1

5、原函数与反函数的关系 如:已知 f ( ) ?

x ( )? 3


6、抽象函数的定义域与值域 如: (1) 、已知函数 f ( x ? 2) 的值域为[-2,3],则函数 y ? f ( x ? 3) ? 2 的值域为( A、[3,8] B、[0,5] C、[-4,1] D、[-2,3]
1

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(2) 、已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [1 , 2],则函数 f ( A、[1,2] B、[0,

x ?1 ) 的定义域为( x
D、[

)

1 ] 2

C、 (??, ?1]

1 , ?? ) 2

7、奇偶函数的定义域必关于原点对称 如:已知 y ? f ( x)在区间 [a-1,a+3]上是偶函数,则a= 8、求反函数最易犯什么错误? 忘写定义域如 f ?x ? ? log2 ?x ? 3? 的反函数是 开。 如:设函数 f ?x ? ? 2 x 3 ? 3?a ? 1?x 2 ? 1,其中 a ? 1 。 (1)求 f ?x ? 单调区间; (2)讨论 f ?x ? 的极值。 10、不等式的解集要把最后结果写成区间或集合的形式。 如:不等式 x ? x 的解集是
2



9、书写单调区间时,不要用并集符号“ ? ”或者“或”字连接几个区间。应用“和”字连接或者用“, ”号隔



11、比如要你求 f (2009) 的值,一般意味着什么? 周期性或者裂项相消 如:设 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数且 f (0) ? 0, y ? g ( x) 是 R 上的奇函数,对于 x ? R ,都有

g ( x)? f ( x ? 1则 ), f (200 ?8 )
12、分段函数在 R 上单调的问题你知道吗? 如:已知f ( x) ? ?

?(3 ? 2a) x ?1, x ? 1 是R上的增函数,那么 a 的取值范围是 ( ) ax , x ? 1 ?
4 C、( ,3) 3 4 D、 [ , 3) 3

3 A、(1,) 2
13、 f ( x) ? x ?

3 4 B、( , ] 2 3

单调区间为 ? ?, ? a 和 a ,?? ,单减区间为 ? a ,0 和 0, a 14、复合函数的单调性的“同增异减”法则你会用吗?

?

a 是双勾函数吗?(a>0才是),单调区间你记熟了吗? x

? ?

?

?

? ?

?

函数y ? f ( x) ? logsin1 ( x2 ? 6x ? 5)在(a, ??)上是减函数,则实数a的取值范围是( )

A、(5,+?)

B、 [5, +?)

C、(-?,3)

D、(3,+?)

(易错点为真数大于 0) 15、比较大小你害怕吗? 如: 设a ? log3 4, b ? log4 3, c ? log3 (log4 3), 则( A、c < b < a B 、a < c < b (易错点为因害怕而乱猜) C 、b < c < a
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D 、c < a < b
2

16、求最值的口诀你记得吗?(不在极点处,便在端点处) 17、 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0)与x轴的交点个数与极大值、极小值的关系你记熟了吗? 极大值与极小值同号时, f ( x)与x轴 有一个交点 极大值与极小值乘积为 0 时, f ( x)与x轴 有二个交点 极大值与极小值异号时, f ( x)与x轴 有三个交点。 如已知函数 f ( x) ? x ( x ? 3a) ?
2

1 (a ? 0 , x?R ) . 2

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围. 18、你会用分离参数法解恒成立问题吗?你会“变换主元”的方法吗? 如: (1)不等式 x ? ax ? 1 ? 0 在 x ? ?0, ? 上恒成立,则 a 的取值范围是 2
2

? 1? ? ?



(2)设不等式 2 x ? 1 ? m x 2 ? 1 对满足 m ? 1 的一切实数 m 都成立,则 x 的取值范围是 19、恒成立和有解的区别你掌握了吗? 如: 设函数f ( x) ? 2x ? 3ax ? 3bx ? 8c在x ? 1及x ? 2时取得极值
3 2

?

?



(1) 、求 a , b 的值 (2) 、 若对任意的x ? , 3 ] 0 , [

f ( x) ? c2有解,求c的取值范围

20、在某点处的切线和过某点处的切线你会求吗? 如: 函数y ?

1 3 4 x ? 过点P(2,4)的切线方程是 3 3
x

21、数形结合法你会用吗? 如: 方程( ) ?| log 3 x | 解的个数是( A、0 个 B、1 个 22、定义域为 R 与值域为 R

1 3


C、2 个 D、3 个

如: 函数y ? log3 ( x2 ? 4x ? a)的定义域为R,则a的取值范围是

函数y ? l o g (2 ? 4 x? a 的值域为 ) ,则 R 的取值范围是 a 3 x
23、 f ( x) ? g ( x) 与 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 的区别 如:已知函数f ( x) ? x ? 2x ? x ? 4, g ( x) ? ax ? x ? 8, 若对于任意的
3 2 2

x1 , x2? [ 0 ? , ?都有 ) f x ( ) g 2 x (则实数 ) , 的取值范围是 a 1 ?
24、等差数列中的公差 d 的范围为 R,特别是 d 可以为 0
2 如: Sn是等差数列 {an }的前n项和,且S3 ? 9S2,S4 ? 4S2,求数列 {an} 的通项公式。

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3

25、等比数列的求和公式的适用范围 如:已知数列 {an }的通项为an ? xn,则{an }的前n项和Sn ? 26、调和数列 27、

an ? (?1)n的前n项和你会求吗?

公式an ? Sn ? Sn?1的适用范围你清楚吗?

如: (1) 、已知数列 A、等比数列 (2) 、

{an }的前n项和为Sn ? an ? 2(a ? 0且a ? 1),则数列{an } 是(
B、等差数列 C、常数列



D、既不是等差数列也不是等比数列

2 设数列{a} ? n 4 ( ? n,) ? N ? 则这个数列的通项公式为:______________ n 的前n项和为sn ? n 2

28、裂项求和的原理是什么?(保持恒等变形) 如: an ?

1 , 则{an }的前n项和Sn ? n(n ? 1)
1 2

29、错位相减求和的原理是什么?(构造新的等比求和) 如: an ? n ( ) ,则 {an } 的前n项和Sn ?
n

30、你会求分段数列的前 n 项和吗? 如: 数列 {an }的通项为an ? 2n ?12, 则{| an |}的前n项和Sn ? 31、见到条件

Sn ? an?1 且 a1 ? 2 ,你知道要注意什么吗?
1 x

32、 “一正、 二定、 三相等” 是何意思? 函数f ( x ) ? x ? 的最值 一定是 2 吗?有哪两种意外情况?未指明 x ? 0 , 或即使指明了 x ? 0 ,但取等号时的 x 不在定义域内,这时怎么办?(利用单调性) 33、 你知道从递推公式求数列的通项公式有哪些方法吗?口诀是什么? (有套就套, 没套就造, 待定系数猜后证, 作差累加,作商累乘,同取倒对同开方) 。 34、你有“看角看名看结构”的习惯吗?你知道升幂公式与降幂公式吗?三角不等式或三角方程的解集你记得注 明 k ? Z 吗? 35、你知道“求角先求函数值,总要优先定范围”这句口诀吗? 如:已知 tan ? ?

1 10 ? ,sin ? ? , 且? ? ( ?? ,0), ? ?(0, ), 则? ? 2 ? ? 7 10 2
a 2 ? b 2 sin(? ? ? ), 其中 tan ? ? b , ? 的范围由点(a,b)所在象限确 a

36、化一公式的应用: a sin ? ? b cos ? ? 定。

如: f ( x) ? 3sin x ? cos x, 则f ( x)的最大值为 37、你知道 y ? sin x, y ? cos x 的对称轴、对称中心怎样求吗? 38、三角变换中遇到形如: sin ? ? cos ? ? m 的条件,如果是研究性质的问题,常“合二为一” ;如果是求值的 cos ? 的符号,再与 sin ? ? cos ? ? m 联立,解方 问题,常两边平方,得到 sin ? cos ? 的值并判断出 sin ?、

cos ? 。 sin ? ? cos ? 与 程组得出 sin ?、 sin ? cos ? “三兄妹”关系密切,要做到见此及彼。
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如: (1) 、已知 n i s A、1 (2) 、已知 ?

? n i s?n i s?? c o 0 s , ? c o s? c o s ? 0 ,? c o ( s ?) ?
B、-1 C、

??
D、-

则 ?? ?
1 2

的值是(



?

1 2

1 ? x ?n i s 0 , o c s x? , n i sx ? o c s 则 2 5

x?

x?

39、闭区间上的最值问题你熟练了吗? 如:已知函数 f ( x) ? 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为

(2)、若0 ? x ?

?
3

? , (1)、求?的值 2

, 求f ( x)的最大值和最小值

40、图像变换的两种思路你清楚吗? 如:由 y ? sin x 变为 y ? sin(2 x ? 思路一: ? ? ?
向左平移 个单位

?
3

) 的两种做法为:

横坐标缩短 3 y ? sin x ?????? ? y ? sin( x ? ) ???? ) 1 ? y ? sin(2 x ? 原来的 3 3 2

?

?

?

思路二: ? ? ?
横坐标缩短为 向左平移 y ? sin x ????? ? y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) 1 ? y ? sin 2 x ???? ? 原来的 个单位 6 3 2 6

?

?

如:已知: sin ? ? ?

? ?

??

3 ? 3 ? ? , ? ? ? ?. 4? 5 4 4

(1)求 cos? ? ?

? ?

??

? 的值;(2)求 sin ? 的值; 4? ? ?

(3)问:函数 y ? cos? x ?

??

? 的图像可以通过函数 y ? sin x 的图像进行怎样的平已得到? 4?

41、根据图像求 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的步骤有哪些?

利用最值求A,利用周期求?,利用特殊点求?。
如:函数 f ( x) ? A cos( ?x ? ? )( A ? 0.? ? 0. ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式。 (Ⅱ)若 x ? ??

?
2

?? ?

?
2

) 的图像如图所示:

? 3? ? ,0? 、求 f ( x) 的值域。 ? 2 ?
f ( x) ? 2 cos 2 x ? a sin x cos x, f ( ) ? 0 6

42、平移口诀: “左加右减,上加下减”你会用吗? 如 : 已 知 函 数

?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调增区间;
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(2)若函数 f ( x) 的图象按向量 m ? ( 43、正弦定理

?
6

,?1) 平移后得到函数 g ( x) 的图象,求 g ( x) 的解析式.

a b c ? ? ? 2 R 的转化功效你清楚吗? sin A sin B sin C
? ? ? ?

如:已知△ ABC 的面积为3,且 0 ? AB? AC ? 6, 设 AB 和 AC 的夹角为? 。 (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? (sin ? ? cos? )2 ? 2 3 cos2 ? 的最大值和最小值。 44、三角形面积公式你知道多少?

1 S? ? ? 底 ? 高 2
S? ?

S? ?

1 ab sin C 2

S? ?
1 (a ? b ? c ) 2

1 (a ? b ? c )r内 2

p( p ? a )( p ? b)( p ? c) 其中 p ?

45、零向量平行于任何非零向量吗?零向量垂直于任何非零向量吗? 46、向量a平行向量b 的充要条件是什么? a ? b 呢? 47、 a在b上的投影为| a | cos(a, b) 48、 若OC ? ? OA ? ? OB, 则A、B、C共线当且仅当? ? ? ? 1 时成立 49、在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方,具体的: 当 a ? 0,b ? 0时,a ? b ? an ? bn .当a ? 0,b ? 0时,a ? b ? a2 ? b2 , a2 ? b2 ?| a |?| b | 。 50、解分式不等式的方法是移项通分,而不是去分母。 如: 不等式

?

?

?

?

? ?

?

? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? 2的解集是 x

(本小题最易犯去分母及不把解集写成集合或区间的形式。 ) 51 、掌握不等式 | x | ? | y |?| x ? y |?| x | ? | y | 及其等号成立的条件,具体为 xy ? 0 ? | x ? y |?| x | ? | y | ;

xy ? 0且 | x |?| y |?| x ? y |?| x | ? | y |, xy ? 0且 | x |?| y |?| x ? y |?| x | ? | y |; xy ? 0且 | x |?| y |?
| x ? y |?| x | ? | y | 。 例如:对于一切实数x,若 x ? 3 ? x ? 2 ? a恒成立,则a的取值范围是

(设u ? x ? 3 ? x ? 2 ,它表示数轴上到两定点 ? 2和3距离之和 u m i n? 3 ? ??2? ? 5,∴5 ? a,即a ? 5

或者: x ? 3 ? x ? 2 ? ?x ? 3? ? ?x ? 2? ? 5,∴a ? 5)
52、基本不等式指哪个?均值不等式又是怎样的?不等式的性质又是什么?

若a、b ? R,则a 2 ? b 2 ? 2ab; 若a、b ? R ?,则

a+b ? ab;若a、b ? R ?,则 2

a 2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? (当且仅当a ? b时等号成立) 2 2 a?b
积定和有最小值,和定积有最大值。
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如: (1)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值为
2 2

1 a

1 b

(2)设 x ? [0, ? ), 则函数f ( x) ? sin x ? A、4 B 、5

4 的最小值是 ( sin x
D、4



C、3

4 (3)若 x ? 0, 2 ? 3x ? 的最大值为 x

4? ? (设y ? 2 ? ? 3x ? ? ? 2 ? 2 12 ? 2 ? 4 3 ? x? 当且仅当3x ? 4 2 3 ,又x ? 0,∴x ? 时,y max ? 2 ? 4 3) x 3

(4)x ? 2 y ? 1,则2 x ? 4 y 的最小值为 (∵2 x ? 2 2 y ? 2 2 x?2 y ? 2 21 ,∴最小值为2 2)
53、注意题设中的隐含条件,我们常犯忽略隐含条件导致错误的毛病。. 如:已知3x2 ? 2 y 2 ? 2 x, 则z=x2 ? y 2的z的取值范围是 54、思考问题不严密,凭直觉错用不等式性质而造成错解 如: 命题p :" x ? y ", 命题q :" A、充分不必要 55、在应用均值不等式

1 1 ? ", 命题p是命题q成立的( x y
C、充要

)条件

B、必要不充分

D、既不充分也不必要

x? y ? xy 求值时忽略“一正、二定、三相等”这个基本条件而导致错解 2 4 如:已知x ? 0,则函数f ( x) ? x ? 的值域是 x
如:已知直线l1 : (m ? 2) x ? (1 ? m) y ? 1与l2 : (m ?1) x ? (2m ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直则 m 的值为( )

56、两直线平行易忘不重合,两直线垂直易忘斜率特殊化

A、1 B、-1 C、1 或-1 57、对“有且只有一个公共点”的理解错误
2 2

D、2 或 1

如: 直线y ? kx ?1与双曲线x ? y ? 1有且只有一个公共点,则k的取值范围是 ( A、1 或-1 B、 ? 2 C、-1 或 ? 2 D、 ? 1 、 ? 2



58、忽视特殊情况(直线的斜率不存在)而造成漏解 如: (1)已知直线 l 经过点 M(1,2) ,且 l与直线l0 : y ? 方程为( ) y A、3 x +4 -11=0

1 1 x ? 2所成的夹角为 ? ? arccos ,则直线 l 的 2 5
D、3 x +4 y =0

B、 x =1

C、 x =1 或 3 x +4 y -11=0

59、截距不是距离,截距有哪几种?截距相等易忽视什么情况? 如:直线 l 经过点(1,2) ,且在两坐标轴上的截距相等,则 l 的方程为 60、直线的方向向量与斜率的关系你知道吗?
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如:直线 l 的方向向量为 a ? (?1, 2) ,则 l 的斜率为 61、直线的倾斜角的范围: [0, ? ) ,x 轴及平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 而不是 ? ;y 轴及平行于 y 轴的直线 的倾斜角为

?

? ,而不是没有倾斜角(只是斜率不存在) 。 2

62、直线方程的五种形式的适应范围都清楚了吗? 63、点 P(a,b)关于直线 l :y=x 的对称点的坐标你知道吗?(b,a) 点 P(a,b)关于任何一条直线 l 的对称点你会求吗?(抓住两点,中点和斜率) ,直线关于直线的对称直线 方程你会求吗? 如: 直线l1 : x ? y ? 1关于直线l : 2x ? y ? 0的对称直线l2的方程为 64、直线系方程有哪两种?(过定点的和有相同斜率的) ,你能够一眼看出来吗? 如: 直线l : (m ? 2) x ? (2m ? 3) y ? m ?1 ? 0 经过定点 65、熟悉线性规划问题的类型:最值型、面积型、距离型、斜率型、含参数形式。

? 1? x ? 4 ? 如: (1) 不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域的面积为( ?2 x ? y ? 0 ?
A、30 B、15 C、12 D、8



?x ? y ?5 ? 0 ? x?3 , 且z ? 2 x ? 4 y的最小值为 ? 6,则常数k 等于 ( (2)已知x、y、z满足 ? ?x ? y ? k ? 0 ?
A、2 B、 9 C、 3 10 D、0



66、圆的四种方程的形式你都记住了吗? 一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0)
2 2 2 2

标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

参数方程: x ? a ? r cos ? , y ? b ? r sin ? 直径式方程:以P )(x ? x2 )+(y ? y1 )(y ? y2 )=0 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 )为直径的圆的方程为(x ? x1 67、圆的参数方程的本质是 sin ? ? cos ? ? 1 ,参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时,可以减少一个变
2 2

量, 或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了, 而无需要借助圆的方程来体现横纵坐标之 特别是研究最值问题最好用。 如:已知实数x、y满足x ? y ? 4 x ? 1 ? 0,则 的最大值为 (
2 2

间的关系,

x y



1 A、 2

B、

3 3

C、

3 2

D、 3

68、要注意数形结合、充分利用圆的性质,如: “垂直于弦的直径必平分弦” 、 “圆的切线垂直于经过切点的半径” 、
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“ 90 的圆周角所对的弦是直径” 、 “两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线” 、 “切割线,相交弦定理”等等, 寻找解题途径,减少运算量。 69、注意将圆上动点到定点、定直线、定圆锥曲线的距离转化为圆心到它们的距离。

?

x2 2 如:已知点 P 在圆 C: x ? ( y ? 4) ? 1上移动,点Q在椭圆 ? y ? 1上移动,求|PQ|的最大值。 4
2 2

70、公切线条数与两圆的位置关系 如: 直线l到点(-1,-1)的距离为2,到点(2,1)的距离为2,这样的直线有( A、1 71、方程 B、2 C、3 D、4

)条

x2 y 2 ? ? 1 表示椭圆还是双曲线的充要条件是什么?焦点的位置如何确定? m n

72、三种圆锥曲线,椭圆、双曲线、抛物线中 x、 y 的范围如何?对称性如何?

x2 y 2 如: (1)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , AA? 为过右焦点F且垂直于长轴的弦,M是椭圆的右顶点,记 a b
?AMA? ? ? ,则( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 5? A. ? 有可能是 B. ? 有可能是 6 2
(2)若椭圆 C. 0 ? ? ?

?
2

D.

?
2

?? ?

5? 6


x2 y2 ? ? 1 上存在两点 A、B 关于直线 l : y ? 4 x ? m 对称,则 m 的取值范围是 2 3

73、求离心率的思路是什么?(定义法,分别求出 a、c 或者用第二定义;方程法——即从 a、b、c、d、e 五个 量中找联系,知二求三) 。

x2 y2 如:直线 l 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右准线,以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆,被直线 l 分成 a b
弧长为 2:1 的两段圆孤,则该双曲线的离心率是 A. 3 B. 5 C. ( )

6 2

D. 2

74、求离心率的范围要结合构成三角形的条件?

x2 y 2 如:双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率 a b
的取值范围为( A.(1,3) ) B. ?1,3

?

C.(3,+ ? )

D. ?3, ?? ?

75、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) m n

2 2 2 2 距离式方程: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a

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9

参数方程: x ? a cos ? , y ? b sin ? 76、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) m n

2 2 2 2 距离式方程: | ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y |? 2a

77、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

2b 2 2b 2 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: 2p a a
78、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如: 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,平面内一个动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 2 则动点 M 的轨迹是 4 3

( ) A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 79、焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b tan
2

?
2

P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b 2 cot

?
2

? ???? ????? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c2 ???? ???? (其中 ?F1PF2 ? ? ,cos ? ? , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? ) | PF1 | ? | PF2 |
80、记住焦半径公式: (1) 椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 ,可简记为“左加右减, 上加下减” 。 (2) 双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ?a (3) 抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ?

p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2

81、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗?什么情况下使用“点差法”最有效?(中点弦问题) 82、你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式 ? ? 0 ,以及根 与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将这两点代入曲线方程得到○ 1○ 2 两个 式子,然后○ 1 -○ 2 ,整体消元· · · · · · ,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过 焦点,则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系 结合消元处理。一旦设直线为 y ? kx ? b ,就意味着 k 存在。

如: (1)双曲线

x2 y 2 16 ? ? 1上有一点P到左准线的距离为 ,则点P到右焦点的距离为 9 16 5

(2)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A,
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|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点,求: 1 求椭圆的方程及离心率 ○ 2 若 OP ? OQ ? 0,求直线PQ的方程 ○

??? ? ??? ?

3 设 AP ? ? AQ(? ? 1), 过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M , 证明FM ? ?? FQ ○ 本题的常犯错误为:设方程时漏条件 a ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

2 ,误认为短轴是 b ? 2 2 ,要分析直线 PQ 斜率是否存在,对一

元二次方程要先看二次项系数为 0 否,再考虑 ? ? 0 ,再用根与系数的关系。 83、注意利用数形结合思想以及极限的观点解决一些问题;注意对焦点位置的分类讨论,注意利用向量方法解决 解析几何问题;注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出。 如:已知椭圆

x2 3 ? y 2 ? 1的离心率为 ,则m的值为 m 2

84、立体几何需要我们解决的问题主要有哪几类? 一是确定位置关系,如共面与异面、平行与垂直 二是确定数量关系,就是会求八种距离和三种角的大小 85、你知道多少典型的立体几何图形? 正方体、长方体、三棱锥、正三棱锥、正四面体、直角四面体、球体、三垂线结构、三余弦结构等 86、立体几何中的三种角的求法及范围是什么? (1)两条异面直线所成的角 求法:①先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求 得;②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是 (0, 范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,三步都必须要清楚地写出来。②向量法,先求直线的方向量于平面的法向量所 成的角α ,那么所要求的角为

?
2

] ,向量所成的角

?
2

? ? 或? ?

?
2



(3)平面与平面所成的角 求法:①“一找二证三求” ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二 面角的平面角,最后就通过解三角形来求。②向量法,先求两个平面的法向量所成的角为α ,那么这两个平面所 成的二面角的平面角为α 或π -α 。 87、立体几何中的存在性问题你会求解吗? (1)在棱上存在某点; (2)在面上存在某点。 如: (1) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,∠DAB=90°,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=1, AD=2,M 为 PD 中点. ( I ) 求证:MC∥平面 PAB;

(Ⅱ)在棱 PD 上找一点 Q,使二面角 Q—AC—D 的正切值为

2 . 2
11

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(2)如图,已知 PA ? 面 ABCD , PA ? AB ? AD ?

1 CD , 2

?BAD ? ?ADC ? 900 ;
(1)在面 PCD 上找一点M,使 BM ? 面 PCD ; (2)求由面 PBC 与面 PAD 所成角的二面角的正切. 88、用传统几何法求二面角的方法有哪些? 定义法、垂截面法、三垂线定理法、射影面积法 89、无棱二面角怎么求? 无棱二面角可用向量法、补棱法——延长相交、射影面积法——抓点的射影 ? S 如:如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,SA⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC= ,AB= 2 2a, AD=CD=a, (1) 若 G 为 SB 的中点,求证: CG∥平面 SAD (2)若平面 SBC 与平面 SAD 所成的二面角为 60°,求 SA 的长; A 90、求距离的方法你会几种?你会求哪些距离? 等体积法求点面距离,向量法求各种距离的统一公式 ??? ? ? · ? ??? ? E PA ? n ) d A?? ? ? (其中 PA 为连线向量, n为平面?的一个法向量B

D C

|n|

如:如图,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平 中点 (Ⅰ)证明:AM⊥PM; (Ⅱ)求二面角 P-AM-D 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 AMP 的距离.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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P

面,BC= 2 2 ,M 为 BC 的

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D M

C



B

91、你害怕球体问题吗? 球体问题主要有:表面积、体积、球面距离、球与多面体的切接问题。主要抓住球心,求出半径 如:已知点 A, B, C , D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6,

AC ? 2 13, AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是
92、边长为 a 的正四面体的内切球的半径为

1 6 6 ,外接球的半径为 a (是正四面体高的 ) a。 4 12 4

93、你知道解排列组合题有哪些方法吗? (1)优先法:特殊元素优先或特殊位置优先 如:某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙,现有编 号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放射性,不可用于办公室内,则不同的装 饰效果有 种。 (2)捆绑法:相邻问题可用捆绑法 如:某人射击 8 抢,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情况的不同种数为 。 (3)插空法:不相邻问题用插空法 如:某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入 原节目单中,那么不同的插法种数为 。 (4)去杂法:从总的种数中减去不符合要求的
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如:在平面直角坐标系中,由六个点(0,0) 、 (1,2) 、 (2,4) 、 (6,3) 、 (-1,-2) 、 (-2,-1)可以确定三 角形的个数为 。 (5)隔板法 如:某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 两车组成一 运输车队,每个车队至少抽一辆车,则不同的抽发有 种。 94、二项式定理的通项公式你记住了吗?
r n r Tr ?1 ? Cn a?b r

如: ? x ?

? ?

1? 4 ? 的展开式中含 x 项的系数是 x?

5



95、你会解二项式定理的以下题型吗? (1)求常数项; (2)求有理项; (3)求特定项; (4)求和包括二项式系数和及各项系数和(可用赋值法)
? 2 1 ? 的二项展开式中的常数项为 ?x ? ? 2x ? 如: (1) ?
6

( C.



A. (2)

15 16

B.

3 16

15 2

D.

15 4

( x2 ? 1)(2x ? 1)9 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? ?? a11 ( x ? 2)11 ,


则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 的值为(

A. 2 B. ?1 C. ?2 D. 1 96、 解概率应用题要学会 “说” : 首先是记事件, 其次是对事件做必要的分析, 指出事件的概率类型, 包括 “等 可能性事件” 、 “互斥事件” 、 “相互独立事件” 、 “独立重复试验” 、 “对立事件”等;然后是列式子,计算,最后别 忘了作答。 如: (1)从 5 双不同的鞋中任意取出 4 只,求下列事件的概率: (Ⅰ)所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的; (Ⅱ)所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的 (2)有 8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的一个景点参观,如果某景点无人下车,该车就不停车, 求恰好有 2 次停车的概率 97、 “等可能性事件”的概率为“目标事件的方法数”与“基本事件的方法数”的商,注意区分“有放回”和“不 放回” ; “互斥事件” 的概率为各事件的概率之和; “相互独立事件”的的概率为各事件的概率之积;若事件 A
王新敞
奎屯 新疆

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奎屯

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k k 再一次实验中发生的概率是 p, 则它在 n 次 “独立重复试验” 中恰好发生 k 次的概率为:pn (k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ;

若事件 A 发生的概率是 p,则 A 的 “对立事件 ” A 发生的概率是

1 - p 等。有的同学只会列式

子,不会“说”事件,那就根据你列的式子“说” ;用排列(组合数)相除的是“等可能事件” ,用概率相加的是
k “互斥事件” ,用概率相乘的是“相互独立事件” ,用 Cn 的是“独立重复试验” ,用“1 减”的是“对立事件” 。

98、 “读懂”样本频率分布直方图,直方图的 高 ?

频率 ,直方图中小矩形框的面积是频率, 组距

频率 ? 样本个数 ? 频数
99、你知道解小题的诀窍吗?有哪些? 数形结合法、特值代验法、逻辑排除法、极端化思考法、趋势判断法、估值法、直觉法、优化的直接法。
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如: (1)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1,则有 ( ) A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3


(2)在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A、12 B、10 C、8 D、 2 ? log3 5

(3)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a= ( ?

?
6

, 0) 平移以后的图象如图所示,则


平移以后的图象所对应的函数解析式是( A、 y ? sin( x ? C、 y ? sin(2 x ?

?

?
3

6

) )

B、 y ? sin( x ? D、 y ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

7? 12

(提示:若选 A 或 B,则周期为 2? ,与图象所示周期不符;若选 D,则与 “按向量 a= ( ? 符,选 C。此题属于容易题) (4) F1 , F2 是椭圆 A、4

?
6

, 0) 平移” 不

x2 2 ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 PF1 ? PF2 的最大值是( 4
B、5 C、1 D、2



(提示:设动点 P 的坐标是 ( 2cos ? ,sin ? ) ,由 F1 , F2 是椭圆的左、右焦点得 F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) ,则

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? |(2cos ? ? 3,sin ? ) (2cos ?

?? 3,sin )|?

?| 4cos2 ? ? 3 ? sin 2 ? |

?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒:下
???? ???? ? ???? ???? ? | PF | ? | PF | 1 2 ? a2 ? 4 ) 列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的—— PF1 ? PF2 ? 2
(5)已知对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数

x? y x? y )f( ) ,且 f (0) ? 0 ,则 f ( x) 是( 2 2



D、非奇且非偶函数

(提示:令 y ? 0 ,则由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ;又令 y ? ? x ,代入条件式可得 f (? x) ? f ( x) ,因此 f ( x) 是偶函 数, (6)若 (1 ? 2 x) A、-1
7

? a0 ? a1x ? a2x 2 ? ?? a7x 7 ,则 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ??? | a7 |? (
B、1 C、0 D、 37



(提示:直觉法,系数取绝对值以后,其和会相当大,选 D。或者退化判断法将 7 次改为 1 次;还有一个绝妙的
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主意:干脆把问题转化为:已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 ,求 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,这与原问题完 全等价,此时令 x ? 1 得解。 ) (7)正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为 ? ,侧面与底面 所成角为 ( ) A、1 B、

? ,则 2cos ? ? cos 2 ? 的值是

1 2

C、0

D、-1

(提示:进行极限分析,当四棱锥的高无限增大时, ? ? 90? , ? ? 90? , 那么

2cos ? ? cos 2? ? 2cos90? ? cos180? ? ?1 ,选 D)
(8)已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( A、 )

16 ? 9

B、 ?

8 3

C、 4?

D、

64 ? 9

(提示:用估计法,设球半径 R,△ABC 外接圆半径为 则 S 球= 4? R ? 4? r ?
2 2

r?

2 3 , 3

16 ? ? 5? ,选 D) 3

100、尽可能得分的策略有哪些? 不慌不忙的心态;赏心悦目的书写;先易后难的程序,跳步得分;训练有素的习惯,如草稿纸对折,有顺序 的使用。答题卷要体现排版概念抓基本分,不该失分的一定要抓住。 101、总体应试策略:先易后难,一般先作选择题,再作填空题,最后作大题,选择题力保速度和准确度为后面 大题节约出时间,但准确度是前提,对于填空题,看上去没有思路或计算太复杂可以放弃,对于大题,尽可能不 留空白,把题目中的条件转化代数都有可能得分,在考试中学会放弃,摆脱一个题目无休止的纠缠,给自己营造 一个良好的心理环境,这是考试成功的重要保证。 102、解答选择题的特殊方法是什么?(顺推法,估算法,特例法,特征分析法,直观选择法,逆推验证法、数形 结合法等等) 103、解答填空题时应注意什么?(特殊化,图解,等价变形) 104、解答应用型问题时,最基本要求是什么?(审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出函数关系式、代 入初始条件、注明单位、答) 105、解答开放型问题时,需要思维广阔全面,知识纵横联系. 106、解答信息型问题时,透彻理解问题中的新信息,这是准确解题的前提. 107、解答多参型问题时,关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕.这当中,参变量的分离、 集中、消去、代换以及反客为主等策略,似乎是解答这类问题的通性通法. 108、学会跳步得分技巧,第一问不会,第二问也可以作,用到第一问就直接用第一问的结论即可,要学会用“由 已知得” “由题意得” “由平面几何知识得”等语言来连接,一旦你想来了,可在后面写上“补证”即可。

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