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等差数列前n项和公式2


等差数列的前n项和公式
兆麟中学高一数学组

一 新课引入
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放 一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多 放一支,最上面一层放100支.这个V形架上 共放着多少支铅笔?

问题就是 “ 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 100

??



(100 ? 1) ?100 ? 5050 2

二.讲解新课
1.公式推导
问题:设等差数列 ?a n ?的首项为

a1,公差为 d ,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an? 2 ? an ?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a3 ? a2 ? a1
两式左右分别相加,得

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an? 2 ) ? ? ? (an? 2 ? a3 ) ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 ) 2Sn ? n(a1 ? an )

n ( a ? a ) 1 n 于是有: Sn ? 2
这就是倒序相加法.

求和公式的两种形式
n(a1 ? an ) Sn ? 2
1

Sn ?

n? ?2a1 ? (n ? 1)d ? ? 2

n(n ? 1) ? na1 ? d 2

课堂练习
等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n 项为an,前n项和为Sn,请填写下表:

a1 5 100 -38 14.5

d 10 -2

n 10 50 15 26

an 95
2

sn 500 2550 -360

2 0.7

-10 32

604.5

3.公式的应用 例1.求和: (1) 101 ? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ; ? ? 64

2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? (2n ? 4) (2 ) (结果用n表示)
例2.等差数列2,4,6,…中前多少项的 和是9900?

例3 求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100? 的元素个数,并求这些元素的和. 100 2 解: ? 7 n ? 100 ?n ? ? 14 7 7 所以集合M中的元素共有14个.

7 , 2 ? 7 , 3 ? 7, 4 ? 7 ,


?,

14? 7,

7,14,21,28,…,98 这数列是成等差数列,记为 ?an ?

? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14
14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

基础训练

(1) 1+2+3+……+n=? (2) 1+3+5+……+(2n-1)=? (3) 等差数列-10,-6,-2,2,…… 前多少项的和是54? (4)已知等差数列前10项和为120,求 a3 ? a8

(5)a1 ? 5,an ? 105,n ? 26, 求S n 及d (6)a1 ? 100,d ? ?2,n ? 50, 求S n 及an 5 1 (7)a1 ? ,d ? ,S n ? ?5, 求n及an 6 6 (8)a 8 ? 36,a 2 ? 54,n ? 20, 求S n


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