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【KS5U首发】浙江省台州中学2012届高三上学期期中试题数学文


台州中学 2011-2012 学年高三第一学期中考试 数学(文科)试题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.若 A ? {x || x |? 2}, B ? {x | x ? a} , A ? B ? A ,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 2 B. a ? ?2 B. ? C. a ? 2 ) D. a ? ?2 2. 已知角 ? 的终边过点 4, 3) ( ? ,则 cos? =( A.

3 3 4 C. D. ? 5 5 5 3. 已知等比数列 {a n } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,则前 9 项之和等于(
A.50 B.70 C.80 D.90

4 5



4.设函数 f (x) 为偶函数,且当 x ? [0,2) 时 f ( x) ? 2 sin x ,当 x ? [2,??) 时 f ( x) ? log 2 x , 则 f (?

?
3

) ? f (4) ? (

) B. 1 C. 3 D.

A. ? 3 ? 2 5. 函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 在区间 ? ? 象 ( A. 0

3?2

? ?

?? 11 ? 的图象为 C ,①图象 C 关于直线 x ? ? 对称;②函数 f ( x) ?? 12

? ? ? 5? ? , ? 内是增函数;③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图 ? ? ?? ?? ?
, 以 上 三 个 论 断 中 , C. 2 正 确 论 断 的 D. 3 个 数 是

C


B. 1

6. 已知 m、n 是两条不重合的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命 题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; ③若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; ④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则? // ? 其中真命题是 ( ) A.①和② B.①和③ C.①和④ D.③和④ 7. 已知曲线 C : y ?

1 ( x ? 0) 及两点 A1 ( x1 , 0) 和 A2 ( x2 , 0) ,其中 x2 ? x1 ? 0 .过 A1 , A2 分别 x

作 x 轴的垂线, 交曲线 C 于 B1 ,B2 两点, 直线 B1 B2 与 x 轴交于点 A3 ( x3 , 0) , ( 那么 A. x1 ,



x3 , x2 成等差数列 2

B. x1 ,

x3 , x2 成等比数列 2

C. x1 , x3 , x2 成等差数列

D. x1 , x3 , x2 成等比数列

x2 y2 x2 y2 8. 若 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 3 , 则 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 离 心 率 为 a b a b
( A. )

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

9. 对于实数 a 和 b , 定义运算“?”: ? b = ? a

?a , a ? b ? 1 2 , 设函数 f ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 1) , ?b , a ? b ? 1


x ? R ,若函数 y ? f ( x) ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是(
A. (?1,1] ? (2,??) C. (??, ? 2) ? (1, 2] B. (?2, ? 1] ? (1, 2] D. [?2, ? 1]

10. 设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ( x ? R ) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) ? 0 。对任意正实数 a,下面不等式恒 . 成立的是( .. ) B. f (a) ? ea f (0) D. f (a) ?

A. f (a) ? e a f (0) C. f (a) ?

f (0) ea

f (0) ea

Ks5u

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 从圆 x ? 2 x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ? 3, 2 ? 向这个圆作两条切线,则这两条切线夹 角
2 2

的余弦值为________________.

?0 ? x ? 2 ? 12.若平面区域 ?0 ? y ? 2 是一个梯形,则实数 k 的取值范围是 ? y ? kx ? 2 ?

.

13.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的表面积 是 .

14. 甲、乙、丙、丁 4 人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球 时,传球者将球等可能地传给另外 3 个人中的任何 1 人,经过 3 次传球后,球在甲手中的概率是_______. 15. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 第 13 题

x2 ? y 2 ? 1 的中心和右焦点,点 P 为 2 ??? ??? ? ? 椭圆上的任意一点,则 OP ? PF 的最大值为 .
??? ? ??? ? ????
S ?OBC ? S ?ABC

16. 设点 O 在△ABC 的外部,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则



17.有 10 台型号相同的联合收割机, 收割一片土地上的庄稼. 现有两种工作方案: 第一种方案, 同时投入并连续工作至收割完毕;第二种方案,每隔相同时间先后投入,每一台投入后都 连续工作至收割完毕.若采用第一种方案需要 24 小时,而采用第二种方案时,第一台投 入工作的时间恰好为最后一台投入工作时间的 5 倍,则采用第二种方案时第一台收割机投 入工作的时间为 小时. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 4 ,求 AC 边上中线长的最小值.
19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 ?a n ? 的公差为 ?1 , 且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)将数列 ?a n ? 的前 4 项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列 ?bn ? 的前 3 项,记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 若存在 m ? N , 使对任意 n ? N 总有 Sn ? Tm ? ? 恒成立,
*

?

求实数 ? 的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)如图,在一个由矩形 ABCD 与正三角形 APD 组合而成的平面图形中,

AD ? 2, DC ? 2, 现将正三角形 APD 沿 AD 折成四棱锥 P ? ABCD ,使 P 在平面

ABCD 内的射影恰好在边 BC 上.
(1)求证:平面 PAB ⊥平面 PBC ;Ks5u (2)求直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值. P D D C 第 20 题 C A B A

P B

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3 ,其中 a 为实数.
2

(1)设 t ? 0 为常数,求函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 2] 上的最小值; (2)若对一切 x ? (0, ??) ,不等式 2f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (本小题满分 15 分) 在平面直角坐标系中,已知点 P(1, ?1) ,过点 P 作抛物线 T0 : y ? x 的切线,其切点分别
2

为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 ) . (1)求 x1 与 x2 的值; (2)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的面积; (3)过原点 O(0, 0) 作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC , BD ,求四边形 ABCD 面积的最大 值.

2011 年台州中学高三期中考试
数学(文科)参考答案及评分标准
选择题 1.C; 2.A; 3.B; 4.D; 5.C; 6.C; 7A; 8.B; 9.B; 10.D 二、 填空题 3 2 11. 12. (2, ?? ) ;13. 12cm2 (单位不写不扣分); 14. ; 5 9 1 1 15. ? 16. ; 17. 40 . 4 2 三.解答题参考解答及评分标准 18.(本小题满分 14 分) 1)由题意得: 2b cos B ? c cos A ? a cosC , 2 sin B cos B ? sin C cos A ? sin A cosC , 2 sin B cos B ? sin B 1 ? s i n ? 0, ? c o s ? , B ? .…………………………6 分 B B 2 3
一、 (2)设 AC 边上的中点为 E ,由余弦定理得: BE ?
2

2( AB 2 ? BC 2 ) ? AC 2 4

?

a 2 ? c 2 ? ac , 4

…………………………10 分

(a ? c) 2 ? ac 16 ? ac ? ? ? 4 4

16 ? (

a?c 2 ) 2 ? 3 ,当 a ? c 时取到”=” 4

所以 AC 边上中线长的最小值为 3 .…………………………14 分 另解:设 AC 边上的中点为 E , BE ?

1 1 ( BA ? BC ) , | BE | 2 ? | BA ? BC | 2 2 4

?

c 2 ? a 2 ? ac ,以下同上面解答方式.Ks*5u 4

19. 解:(1) 由 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 得 a7 ? ?2 ,所以 a1 ? 4 ----------------------4 分

? an ? 5 ? n ,

从而 S n ?

n(9 ? n) ----------------------------------6 分 2

(2)由题意知 b1 ? 4, b2 ? 2, b3 ? 1 ---------------------------------------------8 分

1 ? ? 4 ?1 ? ( ) m ? 1 ? 2 ? ? Tm ? ? ? 8 ?1 ? ( ) m ? b2 1 1 ? ,? 设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,则 q ? 2 ? ? 1? b1 2 2
1 ? ( )m 2


m







?

?Tm ?















4 ? Tm ? 8 --------------------------------------------10 分
又 Sn ?

n(9 ? n) 1 1? 9 81 ? ? ? ( n 2 ? 9n) ? ? ? ( n ? ) 2 ? ? , 2 2 2? 2 4?

故 ( Sn )max ? S4 ? S5 ? 10 ,--------------------------------------------------------11 分 若 存 在 m? N , 使 对
*

任 意 n? N

?

总 有 Sn ? Tm ? ? , 则 10 ? 8 ? ? , 得 P A B

? ? 2 -----------------------------------------------------------14 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)折起后,因 P 在平面 ABCD 内的射影 在边 BC 上,所以,平面 PBC ⊥平面 ABCD 且交线 为 BC .………………………………………4 分 又矩形 ABCD ,所以, AB ⊥ BC .

D

C

由两平面垂直的性质定理, AB ⊥ 平面PBC ? 平面 PAB ⊥平面 PBC .…7 分 (2)折起后,由(1), 在△ PAB 中,∠ ABP ? 90 0 , AB ? 2 , AP ? 2 , ∴ PB ? 2 ,同理得 PC ? 2 ? PC 2 ? PB 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? BC 2 ∴ PC ? PB ……9 分 而 AB ⊥ 平面PBC ? PC ⊥ AB ,又 AB ? PB ? B ∴ PC ? 平面PAB ,知∠PAC 是所 求角…………11 分 在 Rt?APC 中, sin ?APC ?
PC 2 3 ? ? .………………………13 分 AC 6 3

即直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值为
21(本小题满分 15 分) 解答: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 ,

3 ………………14 分 3

当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减,当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增

1 e

1 e

①0 ? t ? ②即 t ?

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ; e e e e

1 时, f ( x)在 ?t , t ? 2? 上单调递增, f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;5 分 e
1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e . ? ?? ?t ln t , t ? 1 ? e ?
2

所以 f ( x) min

3 , x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? , x2 x ① x ? (0,1), h?( x) ? 0, h( x) 单调递减, ② x ? (1, ??), h?( x) ? 0, h( x) 单调递增, 所以 h( x) min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ? (0, ??), 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,所以 a ? h( x) min ? 4 ;
(2) 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

22.(本小题满分 15 分)
解: (Ⅰ)由 y ? x 可得, y? ? 2 x .……1 分
2

∵直线 PM 与曲线 T0 相切,且过点 P(1, ?1) ,∴ 2 x1 ?

x12 ? 1 2 ,即 x1 ? 2 x1 ? 1 ? 0 , x1 ? 1

∴ x1 ?

2? 4?4 ? 1 ? 2 ,或 x1 ? 1 ? 2 , 2

……3 分

同理可得: x2 ? 1 ? 2 ,或 x2 ? 1 ? 2 ∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 .

……4 分 ……5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?1 ,则直线 MN 的斜率 ks**5u

k?

2 y1 ? y2 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 ,……6 分 x1 ? x2 x1 ? x2
2

∴直线 M 的方程为: y ? y1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,又 y1 ? x1 , ∴ y ? x1 ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 ? x1 x2 ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
2 2

……7 分

∵点 P 到直线 MN 的距离即为圆 E 的半径,即 r ?

| 2 ? 1 ? 1| 4 ? , 4 ?1 5

……8 分

16 16 ? ? .……9 分 5 5 1 (Ⅲ)四边形 ABCD 的面积为 S ? AC g BD 2
故圆 E 的面积为 S ? ? r 2 ? ? ? 不妨设圆心 E 到直线 AC 的距离为 d1 ,垂足为 E1 ;圆心 E 到直线 BD 的距离为 d 2 ,垂 足为 E2 ;则 AC ? 2 r ? d1 , BD ? 2 r ? d 2 ,
2 2 2 2
2 2 2

……10 分
2 2

由于四边形 EE1OE2 为矩形.且 d1 ? d 2 ? OE ? (1 ? 0) ? (?1 ? 0) ? 2 所以 S ?

……11 分

1 2 AC g BD ? 2 r 2 ? d12 g r 2 ? d 2 ,由基本不等式 2ab ? a2 ? b2 可得 2 22 2 2 , S ? ( r 2 ? d12 )2 ? ( r 2 ? d 2 )2 ? 2r 2 ? (d12 ? d 2 ) ? 5
……15 分

当且仅当 d1 ? d 2 时等号成立.


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