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专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)


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【高考地位】 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一,也是高考重点考查的内容和热点,知识 综合性较强,对学生逻 辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.定 值问题与定点问题是这类题目的典型代表,为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了 一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引乇的作用. 【方法点评】 方法一 定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量 x,y 当作常数看待,把方 程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零, 这样就得到一个关于 x,y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,或者可以通 过特例探求,再用一般化方法证明.

x2 【例 1】 【四川省广安市 2014 年高 2011 级第三次诊断考试 20】(本小题 13 分)已知 A、B 是椭圆 ? y2 ? 1 2
上的两点,且 AF ? ? FB ,其中 F 为椭圆的右焦点. (1)求实数 ? 的取值范围; (2)在 x 轴上是否存在一个定点 M, 使得 MA? MB 为定值?若存在,求出定值和定点 坐标;若不存在,说明 理由.
[来源:学科网]

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【变式演练 1】 【2015 届广东惠州市第二次调研】已知椭圆 C 过点 M (1,

6 ) ,点 F (? 2,0) 是椭圆的左焦 2

点,点 P 、 Q 是椭圆 C 上的两个动点,且 PF 、 MF 、 QF 成等差数列. (1)求椭圆 C 的标 准方程; (2)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A .

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方法二 定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量 (线段的长度、图形的面积、角 的度数、直线的斜率等)的大小 或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值,求定值 问题常见的解题模板有两种: ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 【例 2 】 【河北省唐山市 2014-2015 学年度高三年级摸底考试 20】

x2 y 2 3 4 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a> b>0)的离心率为 ,P(m,0)为 C 的长轴上的一个动点 ,过 P 点斜率为 的直 a b 5 5
线 l 交 C 于 A、B 两点.当 m=0 时, PA ? PB ? ? (1)求 C 的方程; (2)证明: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

41 2

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【变式演练 2】 【江苏省通州高级中学 2013-2014 学年度秋学期期中考试高三数学试卷】如图,已知椭圆

C1 :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1 , ) ,离心率为 ,左、右焦点分别为 F1、F2 . 点 P 为直线 2 a b 2 2

l:x+y=2 上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D,O 为
坐标原点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2 . (ⅰ)证明:
[来源:学,科,网]

1 3 ? =2. k1 k 2

(ⅱ)问直线 l 上是否存在点 P,使得直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 kOA、kOB、kOC、kOD 满足

kOA+kOB+kOC+kOD=0 ?若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标; 若不存在,说明由.
[来源:Z_xx_k.Com]

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【高考再现】 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一 考试(广东卷)文科】已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点

F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程;

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切 2

(2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

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2. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (广东卷) 理】 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 2

A, B 为切点.

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(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 解:(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

[来源:Z_xx_k.Com]

解得 c ? 1 . 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,即 y ?
2

1 2 1 x ,求导得 y ? ? x 4 2

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3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平分 线, 证明直线 l 过定点.

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4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】 椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线 2 a b 2

被椭圆 C 截得的线段长为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于 点 M ? m, 0 ? ,求 m 的取值范围; (Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线的 PF1 , PF2 斜率分别为 k1 , k2 .若 k ? 0 ,试证明

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk2

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k1 ?

y0 y0 1 1 2x , k2 ? , ? ? 0. y0 x0 ? 3 x0 ? 3 k1 k2

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5.【2012 年高考湖南卷理科】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任 意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C, D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 解: (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,
易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .

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y1 y2 y3 y4 ?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2

?

2 400 ? ? y0 ? 4(k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2

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?

2 2 400 ? ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400.. 6.【2012 年高考辽宁卷理科】如图,椭圆 C0 :

x2 y 2 + =1? a >b>0,a,b为常数 ? ,动圆 C1:x2 +y 2 =t12 ,b<t1 <a . a 2 b2

点 A1 ,A2 分别为 C0 的左、右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点 (1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C2 :x2 +y 2 =t22 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点,其中 b<t2 <a , t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形

A'B'C'D' 的面积相等,证明: t12 +t22 为定值

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7. 【2012 年高考江苏卷】 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F1 (?c , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 0) , a 2 b2

? 3? e) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F2 (c , 0) .已知 (1, ? 2 ? ? ?
y A P B

F1

O

F2

x

(第 19 题)

(1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. (i)若 AF1 ? BF2 ?
[来源:学科网]

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

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∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 ,

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由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ? ∴ PF1 ? PF2 是定值.

2 2 m2 ? 1 m ?2
2 3 = 2, 2 2
2

?

? , AF BF = m

?1 , m ?2
2

2

8.【2014 山东,理 21】已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过
2

点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有 | FA |?| FD | .当点 A 的横坐标为 3 时,?ADF

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为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ) ?ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行,

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所以点 B 到直线 AE 的距离为

d=

? 4 +x0+4+m?y0+ 8 ?-1? y0? ? 4(x0+1) ? ?x0
1+m
2



x0

=4? x0+

?

1 ? , x0?

1 1 ? 1 则△ABE 的学科网面积 S= × 4 x0+ ?x0+ +2≥16, 2 ? x0 x0? 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时,等号成立. x0 所以△ABE 的面积的最小值为 16. 9. 【2014 辽宁,理 20】圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面
2 2

积最小时,切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

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(2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为 直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

4 3 ? ?x +x =m(y +y )+2 3=m +2 , ? 6-6m ?x x =m y y + 3m(y +y )+3= m +2 . ?
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2

③ ④

→ → → → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2),由题意知AP·BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0,⑤

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将①②③④代入⑤式整理得 2m2-2 6m+4 6-11=0,

3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 因此直线 l 的方程为 3 6 6 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2

x2 2 10. 【2014 江西,理 20】如图,已知双曲线 C : 2 ? y ? 1 ( a ? 0 )的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的两条渐 a
近线上, AF ? x 轴, AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P ( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l :

x0 x 3 与直线 x ? 相交于点 ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M , 2 a 2

N ,证明点 P 在 C 上移动时,

MF 恒为定值,并求此定值 NF

(2)A(2,

2 3 xx ), l : 0 ? y0 y ? 1 ,F(2,0) , 3 3

M(2,

3 x ?2 2 x0 ? 3 ),N( , 0 )………………………………………………… 9 分 2 3 y0 2 y0

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?

MF ? NF

1 ? x0 ? 2 ? ? 2 4 4 y0

| 2 x0 ? 3 | 3 y0

2

?

2 | 2 x0 ? 3 |
2 3 y0 ? ( x0 ? 2) 2

? 3

2 | 2 x0 ? 3 |
2 x0 ? 1 ? ( x0 ? 2) 2 3

?

2 | 2 x0 ? 3 | 2 3 ? ? 3 | 2 x0 ? 3 | 3 3

【反馈练习】 1.已知动圆 E 过定点 M (0,2) ,且在 x 轴上截得弦长为 4 ,设该动圆圆心的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 方程; (2)点 A 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P, Q ,求证:直线 PQ 恒过定点,并求出该定点.

2.过 x 轴上动点 A(a, 0) 引抛物线 y ? x ? 1 的两条切线 AP 、 AQ , P 、 Q 为切点,设切线 AP 、 AQ 的
2

斜率分别为 k1 和 k2 .

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(Ⅰ)求证: k1k2 ? ?4 ; (Ⅱ)求证:直线 PQ 恒过定点,并求出此定点坐标;

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3. 【天津一中 2014---2015 高三年级月考数学试卷,理 19】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 a 2 b2

2 ,且过点 2, 2 2

?

?
b2 a2

(1)求椭圆的标准方程: (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ? (i)求 OA ? OB 的最值: (ii)求证:四边形 ABCD 的面积为定值.
[来源:学科网]

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4. 【 山 东 省 实 验 中 学 2014---2015 第 一 次 诊 断 性 考 试 , 理 20 】 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1 ,且焦点与短轴两端点构成等边三角形. a 2 b2

(I)求椭圆的方程;

AE ? ? EB. 判断 ? ? ? (II) 过点 Q ? ?1, 0 ? 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 交直线 x ? ?4 于点 E,AQ ? ? QB,
是否为定值,若是,计算出该定值;不是,说明理由.

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5. 【河南八校 2014-2015 学年上学期第一次联考,理 20】 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 8 3 y 的焦点. 2

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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P(2,3), Q(2,-3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两恻的动点, ①若直线 AB 的斜率为

1 , 求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②当 A、B 运动时,满足于∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

[来源:Z。xx。k.Com]

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6. 【湖南省衡阳市八中 2014 届高 三上学期第三次月考试卷数学】已知直线 l : x ? my ? 1过椭圆

C:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ,抛物线 x2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,且直线 l 交椭圆 C 2 a b

于 A, B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当 m 变化时, 求出这个定值,若不是,说明由.

?1 ? ?2 的值是否为定值?若是,

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7. 【广东省广州市 海珠区 2014 届高三上学期综合测试二】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 a 2 b2

e?

3 ,直线 y ? x ? 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如下图, A 、 B 、 D 是椭圆 C 的顶点, P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N , 直线 AD 交 BP 于点 M ,设 BP 的斜率为 k , MN 的斜率为 m ,求证: 2m ? k 为定值.

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8. 【唐山市 2 013 -2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分)已知点 M 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别为 C 的左右焦点 | F1 F2 |? 4 , ?F1MF2 ? 600 , ?F1MF2 的面积 a 2 b2


4 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 N (0, 2) ,过点 P(?1, ?2) 作直线 l ,交椭圆 C 异于 N 的 A, B 两点,直线 NA, NB 的斜率分别为

k1 , k2 ,证明: k1 ? k2 为定值.

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9. 【广东省惠州市 2014 届高三第二次调研考试】 已知左焦点为 F (?1, 0) 的椭圆过点 E (1, 分别作斜率为 k1 , k2 的椭圆的动弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点.

2 3 过点 P(1,1) ). 3

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1 ; (3)若 k1 ? k2 ? 1 ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

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10. 【 四 川 省 内 江 六 中 2014 届 高 三 第 二 次 月 考 数 学 试 题 】 ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 椭 圆

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x2 y 2 3 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A(2,0) ,离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 B(1, 0) 且斜率为 k( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点, 直线 AE 、AF 分别交直线 x ? 3 于 M 、 N 两点,线段 MN 的中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ? ,求证: k ? k ? 为定值.

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