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椭圆及其标准方程练习题一(2012.2.24)


椭圆及其标准方程
基础卷 1.已知 a=4, b=1,焦点在 x 轴上的椭圆方程是 (A)
x
2

? y ?1
2

(B) x ?
2

y

2

?1

(C)

x

2

? y ?1
2

(D) x ?
2

y

2

?1

4

4

16

16

2.已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且 a=6 的椭圆方程是 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

36 x
2

20 ? y
2

20

36

36

16

16

36

3.若椭圆

100

36

? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是

(A)4 (B)194 (C)94 (D)14 4.已知 F1, F2 是定点,| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 5.若 y2-lga·x2=
1 3

-a 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 a 的取值范围是

.

6.当 a+b=10, c=2 5 时的椭圆的标准方程是

.

7.已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为 2,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP’,则 线段 PP’的中点 M 的轨迹方程为 8.经过点 M( 3 , -2), N(-2 3 , 1)的椭圆的标准方程是 . .

9.椭圆的两焦点为 F1(-4, 0), F2(4, 0),点 P 在椭圆上,已知△PF1F2 的面积的最大值为 12,求 此椭圆的方程。

1

提高卷 1.过点(3, -2)且与椭圆 4x +9y =36 有相同焦点的椭圆的方程是
2 2

(A)

x

2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

15

10
a 2
2

5

10

10

15

25

10

2.若椭圆 a2x2-
1? 4

y =1 的一个焦点是(-2, 0),则 a=

(A)

3

(B)

?1 ? 4

3

(C)

1? 4

5

(D)

?1 ? 4

5

3.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和为 30,则△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 (A)
x
2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

(B)

x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

100

36 ? y
2

100 ? 1( x ? 0 )

84 ? y
2

(C)

x

2

(D)

x

2

? 1( x ? 0 )

100

36

100

84

4.点 P 为椭圆 的坐标是 (A)(±
15 2

x

2

?

y

2

5

4

? 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面积为 1,则点 P

, 1) (B)(
2 2

15 2
2

, ±1) (C)(
2

15 2

, 1) (D)(±

15 2

, ±1)

5.化简方程 x ? ( y ? 3) ? (A)
x
2

x ? ( y ? 3) =10 为不含根式的形式是

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

25 x
2

16 ? y
2

25

9

16

25

9

25

6.椭圆

m ?2

m ?5

? 1 的焦点坐标是

(A)(±7, 0) (B)(0, ±7) (C)(± 7 ,0) (D)(0, ± 7 ) 7. 过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的弦 AB 与另一个焦点 F2 围成的三角形△ABF2 的周长是 8. 为椭圆 P
2 2

. .

x

2

?

y

2

100

64
2 2

? 1 上的一点, 1 和 F2 是其焦点, F 若∠F1PF2=60° 则△F1PF2 的面积为 ,

9.椭圆

x a

?

y b

? 1 (a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标为 c,则椭

圆的离心率为

.
2

综合练习卷 1.方程 Ax +By =C 表示椭圆的条件是 (A)A, B 同号且 A≠B (B)A, B 同号且 C 与异号 (C)A, B, C 同号且 A≠B (D)不可能表示椭圆 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为
2 2

(A)

3 5

(B)

1 3

2

(C)
2

3 4

(D)

9 10

3.设椭圆的标准方程为 (A)k>3

x

k ?3

?

y

2

5?k

? 1 ,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围是

(B)3<k<5
x a
2 2

(C)4<k<5

(D)3<k<4

4.若 AB 为过椭圆

?

y b

2 2

? 1 中心的弦,F(c, 0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值是

(A)b2 (B)bc (C)ab (D)ac 5 . 若 方 程 x2cosα - y2sinα+2=0 表 示 一 个 椭 圆 , 则 圆 (x+cosα)2+(y+sinα)2=1 的 圆 心 在 第 _________象限。 6.椭圆
x
2

?

y

2

12

3

? 1 的两个焦点为 F1,F2, 点 P 在椭圆上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则|PF1|

是|PF2|的 倍。 7.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6, M 是 AB 的中点,当点 P 在同一平面内运动时,PM 长度的最大值、 最小值分别为 . 2 2 8.设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1, 0)是圆内一定点,Q 为圆周上任意一点,AQ 的垂直平分 线与 CQ 的连线的交点为 M,则点 M 的轨迹方程为 . 2 2 9.求过点 P(3, 0)且与圆 x +6x+y -91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。

10.在面积为 1 的△PMN 中,tan∠PMN= 点,且过点 P 的椭圆方程。

1 2

, tan∠MNP=-2, 适当建立坐标系,求以 M, N 为焦

3

椭圆的简单几何性质
基础卷 1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为 18,焦距为 6,那么椭圆的方程为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)
2

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1或

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

9

16 x
2

25

16

25

16

16

25

16

25

2.已知 P 为椭圆
4 5

?

y

? 1 上一点,P 到一条准线的距离为 P 到相应焦点的距离之比为

9

16
5 4

(A)

(B)

(C)

1 4

7

(D)

4 7

7

3.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为 (A)
3 2

(B)
2 2 2 2

3 3

(C)

1 3

6

(D)

1 6

6

4.在椭圆

x a

?

y b

? 1 上取三点,其横坐标满足 x1+x3=2x2,三点顺次与某一焦点连接的线段长

是 r1, r2, r3,则有 (A)r1, r2, r3 成等差数列 (C)
1 , 1 , 1 r3

(B)r1, r2, r3 成等比数列 (D)
1 , 1 , 1 r3

成等差数列

成等比数列

r1 r2

r1 r2

5.椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的准线方程是

9

25
25 4
2 2

(A)x=±

(B)y=±

16 5

(C)x=±
2

16 5

(D)y=±

25 4

6.对于椭圆 C1: 9x +y =36 与椭圆 C2:
x a
2 2

x

?

y

2

? 1 ,更接近于圆的一个是

.

16

12

7.椭圆

?

y b

2 2

? 1 上的点 P(x0, y0)到左焦点的距离是 r=
2 2

.

8.已知定点 A(-2, 取得最小值。

3 ),F 是椭圆

x

?

y

? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M,使|AM|+2|MF|

16

12

4

提高卷 1.若方程
x
2

?

y

2

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则下列关系成立的是

a

b

(A) ? b ?

a

(B) ? b ?

a

(C) b ?

?a

(D) b ?

?a

2.椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为 a, b, c,则其焦点到相应准线的距离 P 是 (A)
a
2

(B)
2

b

2

(C)

b

2

(D)

a

2

c
x
2

c

a

b

3.椭圆

? y ? 4 上一点 P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是

4
3 2
1 2

(A) 3
x a
2 2

(B)
y b
2 2

(C)

(D)随 P 点位置不同而有变化
b 7

4.椭圆

?

? 1 (a>b>0)的左焦点 F 到过顶点 A(-a, 0), B(0, b)的直线的距离等于

,则

椭圆的离心率为 (A)
1 2

(B)

4 5

(C)

7? 6

7

(D)
2 2

7? 6

7

5.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆

x a

2 2

?

y b

? 1 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆

的一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为 (A)
1 3

6

(B)

3 2

(C)

2 2

(D)
1 2

2 3

6.中心在原点,准线方程为 y=±4,离心率为
2 2

的椭圆方程是

.

7.若椭圆

x

k ?8

?

y

? 1 的离心率为 e=

1 2

,则 k 的值等于

. .

9

8.若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成 120° 角,则该椭圆的离心率为 9.椭圆
x
2 2

1? m

?

y

2

? 1 的准线方程为

.

2m

5

综合练习卷 2.椭圆
x
2

?

y

2

4

3
1

? 1 上有 n 个不同的点 P1, P2, P3,……, Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|}是公

差大于

的等差数列,则 n 的最大值为 (A)199 (B)200 (C)198
2 2 2 2

(D)201

100

3.点 P 是长轴在 x 轴上的椭圆

x a

?

y b

? 1 上的点,F1, F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦

距为 c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是 (A)1 (B)a2 (C)b2 (D)c2 4.一个圆心在椭圆右焦点 F2,且过椭圆的中心 O(0, 0),该圆与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆的 左焦点,直线 PF1 恰和圆相切于点 P,则椭圆的离心率是 (A) 3 -1 (B)2- 3 (C)
2 2

(D)

3 2

5. 椭圆短轴的两端点为 B1, B2, 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, 1B2|是|OF1|和|B1B2| 若|F 的比例中项(O 为中心),则
| P F1 | | O B2 |
D

等于

l P Q A F

y

(A) 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3

x O

B

6.如图,已知椭圆中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l 交 x 轴 于点 B,点 P, Q 在椭圆上,且 PD⊥l 于 D,QF⊥AO, 则椭圆的离心 率是①
| PF | | PD |

;②

| QF | | BF |

;③

| AO | | BO |

;④

| AF | | AB |

;⑤

| FO | | AO |

,其中正确的个数是

(A)1 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 7. P 与定点(1, 0)的距离和它到直线 x=5 的距离的比是 点
x
2

3 3

, P 的轨迹方程为 则

.

9. 椭圆

?

y

2

49

24

? 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1, F2 的连线的夹角为直角, Rt△PF1F2 的面积为 则

.

10.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 e 满足 0<e≤

3 2

,则长轴的最大值等于

.

11.若椭圆的一个焦点分长轴为 3 : 2 的两段,则其离心率为 12.椭圆
x a
2 2

.

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)长轴的右端点为 A,若椭圆上存在一点 P,使∠APO=90° ,求此椭

圆的离心率的取值范围。
6


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