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圆的一般方程教案


教学方案设计
课题: 圆的一般方程 学习任务描述: 对圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待 定系数法求圆的一般方程的步骤;学生要学会圆的一般方程和代入法的应用。 学生基础: 我所面临的学生是职高的,所授课的班级中考数学平均分较低,学生层次不同,存在一 定差异。 学习目标: 一、知识目标: (1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。 2 2 (2)掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件。 二、能力目标: (1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。 (2)能应用待定系数法求圆的一般方程。 (3)能应用代入法求曲线的方程。 (4)培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、情感目标: (1)培养学生勇于探索的精神。 (2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质。 学习内容: 一、复习提问,引入课题 问题:求过三点(0,0)、(1.1)、(4,2)的圆的方程? 【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论,回顾旧知识,最后得出运用圆的知识很难解 决问题。 因为圆的标准方程很麻烦, 用直线的知识解决又有其简单的局限性。 于是老师提问, 有没有其他的解决方法呢?带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。 【辅助手段】 :板书展示问题。 二、探索研究,讲授新课 2 2 2 1.请同学们写出圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r 、圆心(a,b)、半径 r 把圆的标准方 2 2 2 2 2 程展开,并整理 x +y -2ax-2by+a +b -r =0 2 2 2 取 D=-2a、 E=-2b、 F=a +b - r 2 2 所以 x +y +Dx+Ey+F=0 这个方程就是圆的方程;反过来给出一个形如 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 把此方程配方得: (x +

D
2

) (y +
2

E
2

)=

2

D 2 ? E 2 ? 4F
4

【师生互动】配方和展开由学生完成,教师最后展示结果。 问题:这个方程是不是表示圆? 2.结果: (1)当 D ?
2

E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示以(-

D E ,- )圆心、以 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F
4
(2)当 D
2

为半径的圆;

? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x = - D , y = - E 2 2

即只表示一个点(-

E
2

,-

D
2

);

(3)当 D

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因此它不表示任

何图形。 【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论,最后师生共同总结出 3 种情况,即圆的 一般方程表示圆的条件。 3.归纳总结圆的一般方程的特点: ⑴① x 和 y 的系数相同,都等于 1。 ②方程不含 x*y 项。 ⑵圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,就能确定圆的一 般方程。 ⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程, 代数特征明显, 圆的标准方程则是几何特征明 显。 例题讲解,对应练习 例 1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。 (1)4 x +4 y -4 x +12 y +9=0
2 2

2

2

(2)4 x +4 y -4 x +12 y +11=0
2

2

分析: 方法 1 利用配方法将其化为圆的标准形式来解; 方法 2 应用圆的一般方程来解。 例 2 求过三点 A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析:根据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程来解。 三.作业:课后练习题 1、2 题。 教学过程与活动: 一、复习提问,引入课题(3 分钟); 二、探索研究,讲授新课(22 分钟); 三、例题讲解,对应练习(16 分钟); 四、课堂小结,反馈回授(3 分钟); 五、分层作业,巩固提高(1 分钟)。 课后反思:


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