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【步步高】2015届高考数学总复习 6.1数列的概念及简单表示法课件 理 新人教B版


数学

R B(理)

§6.1 数列的概念及简单表示法
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
1.数列的定义 按照 一定次序 排列起来的一列数叫做数列, 数列中的每一个 数叫做这个数列的 项 . 2.数列的分类
分类原则 按项数分类 无穷数列
基础知识 题型分类

知识回顾 理清教材

类型 有穷数列

满足条件 项数 有限 项数 无限
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

按项与项 间的大小 关系分类

递增数列 递减数列 常数列 有界数列

> an an+1____ < an an+1____

其中 n∈N+

an+1=an

存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起,有些项大于

按其他标 准分类 摆动数列

它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是 列表法 、 图象法 和

解析法
4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函 数式 an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项 公式. 5.已知 Sn,则
? ? an=? ? ?

S1

?n=1? . Sn-Sn-1 ?n≥2?

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2)√ (3)× (4) √(5)√ (6)√

解析

A A
(-2)n-1
an= 3n-2

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的

一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的

一个通项公式:

先观察各项的特点,然后归

纳出其通项公式,要注意项 (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 与项数之间的关系,项与前 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 后项之间的关系. 2 3 4 5 6
(4)3,33,333,3 333,….

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的



(1) 各项减去 1 后为正偶

一个通项公式:

数,所以 an=2n+1.

(1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; (2)每一项的分子比分母少 1, 2 4 8 16 32 1, 2, 3, 4 3 1 3 1 3 而分母组成数列 2 2 2 2, …, (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 2n-1 所以 an= 2n . (4)3,33,333,3 333,….

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的 (3)奇数项为负,偶数项为正,故通
项公式中含因子 ( - 1)n ;各项绝对 值的分母组成数列 1,2,3,4,…;而 各项绝对值的分子组成的数列中, 奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数 项为 2-1,偶数项为 2+ 1,所以 n 2 + ? - 1 ? an=(-1)n· n . ? 1 ?-n,n为正奇数, 也可写为 an=? ?3,n为正偶数. ?n

一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,….

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的

一个通项公式:

(1)3,5,7,9,…; 分别是 10 - 1,102 - 1,103 - 1,104 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 - 1, … , 3 1 3 1 3 (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 1 (4)3,33,333,3 333,….
所以 an= (10n-1). 3

9 99 999 (4)将数列各项改写为 , , , 3 3 3 9 999 ,…,分母都是 3,而分子 3

题型分类·深度剖析
题型一 由数列的前几项求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

写出下面各数列的

根据所给数列的前几项求其通项 时,需仔细观察分析,抓住其几

一个通项公式:

方面的特征:分式中分子、分母 (1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 相邻项的联系特征; (2) , , , , ,…; 的各自特征; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 拆项后的各部分特征; 符号特征, (3)-1, , - ,, - ,, …; 2 3 4 5 6 应多进行对比、分析,从整体到 (4)3,33,333,3 333,…. 局部多角度观察、归纳、联想.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1
(1)数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式是 an

n ( - 1) · (6n-5) =_______________.

3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公 2 10 17 式是 an=_______________.
(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的绝对


解析

值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6,故通项公式为 an=(-1)n(6n-5).

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1
(1)数列-1,7,-13,19,…的一个通项公式是 an

n ( - 1) · (6n-5) =_______________.

3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项公 2 10 17 2n+1 2 n +1 式是 an=_______________.
2×1+1 2×2+1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 , 2 , 1 +1 2 +1

解析

2×3+1 2×4+1 2n+1 , 2 ,故 an= 2 . 32+1 4 +1 n +1

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

已知下面数列{an}

的前 n 项和 Sn, 求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

已知下面数列{an}

当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1; 当 n≥2 时, 由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn,得 an+1 与 an 的关系.转化成 由递推关系求通项.

的前 n 项和 Sn, 求{an}的通 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析

思维升华

【例 2】

已知下面数列{an}

解 (1)a1=S1=2-3=-1,
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 4n-5,

2 2 的前 n 项和 Sn, 求{an}的通 =(2n -3n)-[2(n-1) -3(n-1)]=

项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3 +b.
n

由于 a1 也适合此等式,

∴an=4n-5.
(2)a1=S1=3+b,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(3n+b)-(3n-1+b)=2· 3n-1.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析

思维升华

【例 2】

已知下面数列{an} 当 b=-1 时,a1 适合此等式.

的前 n 项和 Sn, 求{an}的通 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.
当 b≠-1 时,
? ?3+b, an=? n-1 ? 3 , ?2·

∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1;


n=1, n≥2.

题型分类·深度剖析
题型二 由数列的前n项和Sn求数列的通项
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】

已知下面数列{an} 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

的前 n 项和 Sn, 求{an}的通 系是 项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b.

当 n=

1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an; 当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1, 则用分段函数的形式表示.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其
? ?2,n=1 an=? ? ?6n-5,n≥2

通项公式为________________________.
解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]
=6n-5,显然当 n=1 时,不满足上式.
故数列的通项公式为
? ?2,n=1, an=? ? ?6n-5,n≥2.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

观察递推式的特点,可以 利用累加 ( 乘 ) 或迭代法求 通项公式.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

(1)由题意得,当 n≥2 时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1) = 2 + (2 + 3 + … + n) = 2 + ?n-1??2+n? n?n+1? = 2 +1. 2
1×?1+1? 又 a1=2= +1,符合 2 上式,

n?n+1? 因此 an= +1. 2

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

(2)方法一

(累乘法)

an+1=3an+2, 即 an+1+1=3(an+1),
an+1+1 即 =3, an+1 a2+1 a3+1 a4+1 所以 =3, =3, = a1+1 a2+1 a3+1

an+1+1 3,…, =3. an+1
将这些等式两边分别相乘得 an+1+1 n =3 . a1+1

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

因为 a1=1,

an+1+1 n 所以 =3 , 1+1 即 an+1=2×3n-1(n≥1),
所以 an=2×3n-1-1(n≥2),

又 a1=1 也满足上式,
故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

方法二

(迭代法)

an+1=3an+2,
即 an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1) =33(an-2+1)

=…=3n(a1+1)=2×3n(n≥1),
所以 an=2×3n-1-1(n≥2),

又 a1=1 也满足上式,
故数列{an}的一个通项公式为 an=2×3n-1-1.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

(3)由题设知,a1=1.
n+2 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= 3 an n+1 - a . 3 n-1

an n+1 ∴ = . an-1 n-1
an n+1 a4 5 ∴ = ,…, = , a3 3 an-1 n-1

a3 4 a2 a2=2,a1=3.

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = _______________. (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n 公式为_______________.

以上 n-1 个式子的等号两端 an n?n+1? 分别相乘,得到 = , a1 2
又∵a1=1,

n?n+1? ∴an= . 2

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = n?n+1? +1 _______________. 2 (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an n-1 2 × 3 -1 =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n n?n+1? an= 2 公式为_______________.

以上 n-1 个式子的等号两端 an n?n+1? 分别相乘,得到 = , a1 2
又∵a1=1,

n?n+1? ∴an= . 2

题型分类·深度剖析
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】 (1)设数列{an}中, a1=2, an + 1 = an + n + 1 ,则通项 an = n?n+1? +1 _______________. 2 (2)数列{an}中, a1=1, an+1=3an +2,则它的一个通项公式为 an n-1 2 × 3 -1 =_______________. (3)在数列 {an}中, a1 = 1 ,前 n n+ 2 项和 Sn= a . 则 {an}的通项 3 n n?n+1? an= 2 公式为_______________ .

已知数列的递推关系,求数列 的通项时,通常用累加、累乘、 构造法求解.

当出现 an=an-1+m 时,构造等

差数列; 当出现 an=xan-1+y 时, 构造等比数列;当出现 an=an-1

+f(n)时,用累加法求解;当出 an 现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1

题型分类·深度剖析
n- 1 跟踪训练 3 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an= n an-1(n≥2), 1 n 则 an=________. (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5 等于 A.-16 B.16 C.31 D.32 ( )

n-1 解析 (1)∵an= n an-1 (n≥2),
n-2 1 ∴an-1= an-2,…,a2=2a1. n-1

n-1 a1 1 12 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1· …· n = n =n. 2· 3·

题型分类·深度剖析
n- 1 跟踪训练 3 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an= n an-1(n≥2), 1 n 则 an=________. (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N+),则 a5 等于 A.-16 B.16 C.31 D.32 ( B )

解析 (2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1.

当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,
∴an=2an-2an-1, ∴an=2an-1.
∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2,
故 a5=a1×q4=24=16.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.
(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式 f(n)=n2+kn +4.f(n)在 N+上单调递增,但自变量不连续.从二次函数的对称轴研究 单调性.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4.

∵n∈N+, ∴n=2,3.

∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3.
②∵an=n
2

4分

? 5?2 9 -5n+4=?n-2? -4的对称轴方程为 ? ?

5 n=2.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪
又 n∈N+,

规 范 解 答

温 馨 提 醒
8分

∴当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2.
以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+, k 3 所以-2<2,即得 k>-3.

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn+4,可

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N+上的 二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性,得到实 数 k 的取值范围,使问题得到解决.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列9
(1)若 an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N+,都有 an+1>an.求实数 k 的取值范围.

数列问题中的函数思想

典例:(12 分)已知数列{an}.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位 置的选取.
(3)易错分析: 本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊 性,即自变量是正整数.

思想方法·感悟提高
1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数 列一般用(-1)n 或(-1)n
+1

来区分奇偶项的符号); 已

知数列中的递推关系,一般只要求写出数列的前几

方 法 与 技 巧

项,若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.

2.强调 an 与

? ?S1 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1

?n=1? . ?n≥2?

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高, 但试题难度较难把握.一般有二种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式.

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数 列时, 一定要注意自变量的取值, 如数列 an=f(n) 和函数 y=f(x)的单调性是不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

1. 数列 0,1,0, -1,0,1,0, -1, …的一个通项公式是 an 等于( D ) ?-1?n+1 A. 2 n+ 1 C.cos π 2 nπ B.cos 2 n+ 2 D.cos π 2

解析

令 n=1,2,3,…逐一验证四个选项,易得 D 正确.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6 等于 A.3×44
解析

( A ) B.3×44+1 C.45 D.45+1

当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1,

∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1,

∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列.
又 a2=3S1=3a1=3,
? ?1?n=1?, ∴an=? n-2 ? ?n≥2?. ?3×4

∴当 n=6 时,a6=3×46-2=3×44.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

3.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2 +…+a10 等于 A.15
解析

( A ) C.-12 D.-15

B.12

由题意知,a1+a2+…+a10

=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)
=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9× (3× 9-2)+(-1)10× (3× 10-2)] =3×5=15.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

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10

4 n-1 2 n-1 4.已知数列{an}的通项公式为 an=( ) -( ) ,则数列{an} 9 3 ( C ) A.有最大项,没有最小项 C.既有最大项又有最小项 B.有最小项,没有最大项 D.既没有最大项也没有最小项 4 n-1 2 n-1 解析 ∵数列{an}的通项公式为 an=(9) -(3) , 2 n-1 令 t=(3) ,t∈(0,1],t 是减函数, 12 1 2 则 an=t -t=(t-2) -4,

由复合函数单调性知 an 先递增后递减.

故有最大项和最小项,选 C.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

n 1 5.若 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 Sn= ,则 等于 a5 n+1 ( D ) 5 A. 6 6 B. 5 1 C. 30 D.30

n-1 n 1 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , n n+1 n?n+1?
1 所以 =5×6=30. a5

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8

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10

n2 7 6.已知数列{ 2 },则 0.98 是它的第________ 项. n +1

n2 49 解析 =0.98= , 2 50 n +1

∴n=7.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

7.数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N+,都有

61 16 a1· a2· a3· …· an=n2,则 a3+a5=________.
解析 由题意知:a1· a2· a3· …· an-1=(n-1)2,
n 2 ∴an=( ) (n≥2), n-1

3 2 5 2 61 ∴a3+a5=( ) +( ) = . 2 4 16

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1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8

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10

8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒 成立,则实数 λ 的取值范围是____________.
解析 方法一 (定义法)

因为{an}是递增数列,所以对任意的 n∈N+,都有 an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得 2n+1+λ>0,即 λ>-(2n+1). (*)

因为 n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成 立,只需 λ>-3.

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

8.已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N+,an=n2+λn 恒
(-3,+∞) . 成立,则实数 λ 的取值范围是____________

方法二

(函数法)
2

λ 设 f(n)=an=n +λn,其图象的对称轴为直线 n=-2,

要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数上的函 数 f(n)为增函数,

故只需满足 f(1)<f(2),即 λ>-3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

9.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项, 它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6.

(2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,
解得 n=16 或 n=-9(舍去),

即 150 是这个数列的第 16 项.

(3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍).
故数列从第 7 项起各项都是正数.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

9n?n+1? 10.已知数列{an}的通项公式为 an= ,试判断此数列 10n 是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没 有,说明理由.

9n+1?n+2? 9n?n+1? 9n 8-n 解 an+1-an= - 10n =10n·10 , + 10n 1
当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=8 时,an+1-an=0,即 an+1=an;
当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8

9

10

9n?n+1? 10.已知数列{an}的通项公式为 an= ,试判断此数列 10n 是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没 有,说明理由.

则 a1<a2<a3<…<a8=a9>a10>a11>…,
故数列{an}有最大项,为第 8 项和第 9 项,
98×9 99 且 a8=a9= 108 =108.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中 每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格子的 方法种数为 ( )

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

解析

设跳到第 n 个格子的方法种数有 an,则到达第 n

个格子的方法有两类:
①向前跳 1 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-1;
②向前跳 2 格到达第 n 个格子,方法种数为 an-2, 则 an=an-1+an-2,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.跳格游戏:如图,人从格子外只能进入第 1 个格子,在格子中 每次可向前跳 1 格或 2 格,那么人从格子外跳到第 8 个格子的 方法种数为 ( C )

A.8 种

B.13 种

C.21 种

D.34 种

由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21.

∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 2.数列{an}满足 an+an+1= (n∈N+),a2=2,Sn 是数列{an}的前 n 项 2 和,则 S21 为 A.5
解析

( B ) B. 7 2 9 C. 2 13 D. 2

1 ∵an+an+1= (n∈N+), 2

1 1 1 ∴a1=2-a2=2-2,a2=2,a3=2-2,a4=2,…,

1 故 a2n=2,a2n-1=2-2.

1 1 7 ∴S21=10×2+a1=5+2-2=2.

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1

B组
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3 4 5

2n 4 3.若数列{n(n+4)( ) }中的最大项是第 k 项,则 k=_____. 3
? ?k?k+4??2?k≥?k+1??k+5??2?k+1 3 3 ? 由题意得? 2k 2 k-1 ? k?k+4?? ? ≥?k-1??k+3?? ? ? 3 3 ?

解析



2 ? ?k ≥10 所以? 2 ? ?k -2k-9≤0

,由 k∈N+可得 k=4.

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1

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3 4 5

2 4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= , an+1 且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.
解 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).

1 1 1 (2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1= + +…+ , n+1 n+2 2n+1

?2 ?3?n=1? ∴bn=? ?1?n≥2? ?n

.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2 4.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= , an+1 且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.
1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1

-1 1 1 = - = <0, 2n+3 2n+2 ?2n+3??2n+2?
∴{cn}是递减数列.

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1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.
解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). 即 bn+1=2bn,又 b1=S1-3=a-3,
因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N+.

(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N+,
于是,当 n≥2 时,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N+. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N+,求 a 的取值范围.
an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n 1-3n 1-(a-3)2n
- - -2

=2×3n-1+(a-3)2n-2,

3 an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2[12( )n-2+a-3], 2
3 n-2 当 n≥2 时,an+1≥an?12(2) +a-3≥0?a≥-9.

又 a2=a1+3>a1.综上,所求的 a 的取值范围是[-9,+∞).


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