3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

内切球与外接球习题讲义教师版


立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体
规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合, 以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然 后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 例 1 1.1 球与正方体
2 2

棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, 被球 O 截得的线段长为( D. 2 )

如图 1 所示,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,设正方体的棱长为 a , E, F , H , G 为 棱的中点, O 为球的球心。 常见组合方式有三类:一是球为正方体的内切球,截面图为正方形
EFHG 和其内切圆,则 OJ ? r ?

E,F 分别是棱 AA1 ,DD1 的中点,则直线 EF

A.

B. 1

C.1 ?

2 2

a ; 2

二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形 EFHG 和其外接圆,则
OG ? R ? 2 a; 2

1.2

球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在 内切球 . 设长方体的棱长为 a, b, c , 其体对角线为 l . 当球为长方体的外接球 时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一
l a 2 ? b2 ? c 2 样的,故球的半径 R ? ? . 2 2

三是球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACC1 A1 和其外接圆,则
A1O ? R ' ? 3a . 2

通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截 面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位 置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平 面问题 。
1

例 2 在长、宽、高分别为 2,2,4 的长方体内有一个半径为 1 的球,任意 摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( 10π A. 3 B.4π 8π C. 3 7π D. 3 )

例 3 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的各顶点都在半径为 R 的球面上, 则正四棱柱 的侧面积有最 值,为 .

1.3

球与正棱柱 2

球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例, 介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。设正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高 为 h ,底面边长为 a ,如图 2 所示, D 和 D1 分别为上下底面的中心。根据几 何体的特点,球心必落在高 DD1 的中点 O , OD ? , AO ? R, AD ?
2 3 ? ?h? ? 直角三角形 AOD 的勾股定理,可求 R ? ? ? ? ? a? ? 。 3 ? 2? ? ? ? 2

球与锥体
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充

分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和 高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且 两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。 如图 4,设正四面体 S ? ABC 的棱长为 a ,内切球半径为 r ,外接球的半径为
R ,取 AB

h 2

3 a ,借助 3

的中点为 D , E 为 S 在底面的射影,连接 CD, SD, SE 为正四面体的

高。在截面三角形 SDC ,作一个与边 SD 和 DC 相切,圆心在高 SE 上的圆,即 为内切球的截面。

2

因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为 O 。此时,
CO ? OS ? R, OE ? r , SE ? 2 3 2 a2 2 解 a,R 2 ? r 2 ? CE = , a, CE ? a, 则有 R ? r ? 3 3 3 3

球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离 的 3 倍.]

2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥 的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱柱补形成正方体或者长方 体。常见两种形式:

得: R ?

6 6 a, r ? a. 这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个 4 12

球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心 O 为正四面体高的 四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便. 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图 5,三棱锥 A1 ? AB1 D1 的 外接球的球心和正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的外接球的球心重合,设 AA1 ? a ,则
R? 3 a。 2

二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长 方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心, R 2 ? 例 4 将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正 ( l 为长方体的体对角线长) 。 四面体的高的最小值为 ( A.
3?2 6 3
a2 ? b2 ? c2 l 2 ? 4 4

)
2 6 3

B. 2+

2 6 3

C. 4+

D.

4 3?2 6 3

3

例 5
AM ? MN

在 正三棱锥 S ? ABC 中 , M 、N 分别 是棱 SC、BC 的 中点, 且 , 若 侧 棱 SA ? 2 3 , 则 正 三 棱 锥 S ? ABC 外 接 球 的 表 面 积 。

例 6 在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的 角为 60°,则该三棱锥外接球的体积为( )



A. ?

B.

? 3

C. 4 ?

D.

4? 3

2.3

球与正棱锥 球与正棱锥的组合,常见的有两类, 一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截 2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用 截面法、补形法、等进行求解。 例如,四面体都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何 特征,巧定球心位置。

面图的特点,可以构造直角三角形进行求解. 二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四 个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径 R .这样求球的半径可 转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱 锥的体积和为正三棱锥的体积.
4

如图 8,三棱锥 S ? ABC ,满足 SA ? 面 ABC ,AB ? BC ,取 SC 的中点为 O ,由直角 三角形的性质可得: OA ? OS ? OB ? OC , 所以 O 点为三棱锥 S ? ABC 的外接 球的球心,则 R ?
SC . 2

3

球与球
对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的

空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小 球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题 求解. 例 8 在半径为的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球的半径的最大值为 ()

例 7 矩形 ABCD中, AB ? 4, BC? 3,沿 AC 将矩形 ABCD折成一个直二面角
B ? AC ? D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积是(

) D.
125 ? 3

A.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

5

4

球与几何体的各条棱相切

综合上面的四种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转 体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则 作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;把一个多面体的几个顶点 放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点, 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于 数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、

球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到 明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解. 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半:
r? ? 2 a 4 .

例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四 棱锥形骨架内,使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为() 正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确. A. 10 3cm B. 10 cm C. 10 2cm D. 30 cm

6

外接球内切球问题 1. (陕西理)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底 面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( A. 3 答案
3 4

【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由
3a 2 ? 2 3 知, a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 4 32 5.已知正方体外接球的体积是 ? ,那么正方体的棱长等于( 3 8?

) D.
3 12

) D.
4 3 3

B. B

3 3

C.

3 4

A.2 2 答案 D

B.

2 3 3

C.

4 2 3

2. 直 三 棱 柱 A B ? 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 C1 A 1 B 1 C
AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于

6.(山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 答案 C B. 1∶3 C. 1∶3 3

) D. 1∶9



解 : 在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 可得 BC ? 2 3 , 由正弦定理 , 可得
?ABC 外接圆半径

r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易

7.(海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已 知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长 为 3,则这个球的体积为 答案
4? 3
9 8

得球半径 R ? 5 ,故此球的表面积为 4? R 2 ? 20? . 3.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? , 则正三棱柱的体积为 答案 8 .



8. (天津理)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的 三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案
14 π

4.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积 为 A. 答案
2 ? 3



B. ?

1 3

C. ?

2 3

D.

2 2 ? 3

9.(全国Ⅱ理)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如 果正四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案
2?4 2

A

cm2.

7

P

12.(枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表 面积为
D E F

C B A

( B. 2?



A. 3? C. 答案 C
16? 3

D.以上都不对

10.(辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此 正六棱锥的侧面积是________. 答案
6 7

13.( 吉林省吉林市 ) 设正方体的棱长为 ( ) A. ? 答案 C
8 3

2 3 ,则它的外接球的表面积为 3

11. (辽宁省抚顺一中) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形 (正四面体的截面 )的面积 是 答案
2

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

.

14(新课标理)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是 边长为 1 的正三角形 , SC 为球 O 的直径 , 且 SC ? 2 ; 则此棱锥的体积为 ( A.
2 6

) B.
3 6

C.

2 3

D.

2 2

15. (辽宁文) 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是 边 长 为 2 3 正 方 形 . 若 PA=2 6 , 则 △ OAB 的 面 积 为 ______________.

8


推荐相关:

内切球与外接球习题讲义教师版

内切球与外接球习题讲义教师版_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够...


立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版

立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版_数学_高中教育_教育专区。圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究 1 球与柱体规则的柱体,如正方体...


内切球与外接球求法 (经典习题)

内切球与外接球求法 (经典习题)_数学_高中教育_教育专区。一、球与棱柱的组合体问题 1. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个...


内切球与外接球常见解法

内切球与外接球常见解法_数学_高中教育_教育专区。高考中几何体内切球与外切球体积和表面积计算的常见类型与习题 内切与外接 1 球与柱体 1.1 球与正方体 ...


2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

文档贡献者 王高翔 一线教师 808 243593 4.2 文档数 浏览总量 总评分1...内切球与外接球习题讲义... 8页 5下载券 高考数学百大经典例题—... 14...


几何体的内切球和外接球 三视图 教师版

几何体的内切球和外接球 三视图 教师版_数学_高中教育_教育专区。河科大附中...解:如图,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的,过正三棱柱的 一条侧棱 AA...


外接球习题及答案

外接球习题及答案_数学_高中教育_教育专区。一、球...球的表面积为 . 2.(2006 山东卷)正方体的内切...2014教师资格中学教育知... 相关文档推荐 暂无相关推荐...


2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)_高考_高中教育_教育专区。众优教育:用爱和赞美激发孩子的潜能,用科学合理的教学方法铸就孩子的未来! 高考数学中...


2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)_高考_高中教育_教育专区。高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点...


“内切球”与“外接球”问题(学生版)

“内切球”与“外接球”问题(学生版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。内...内切球与外接球题型总结(一) 选择题 2.将棱长为 2 的正方体木块削成一个...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com