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自主招生华约2012数学AAA测试试题


2012 年高水平自主选拔学业能力测试 数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1)在锐角 ?ABC 中,已知 A ? B ? C ,则 cos B 的取值范围为( )
2 1 2 2 B. [ , ) C. (0,1) D. ( ,1) ) 2 2 2 2 (2)红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红旗 子在前,蓝棋子在后,满足这种情况的不同条件的不同排列方式共有( ) A.36 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 (3)正四棱锥 S ? ABCD 中,侧棱与底面所成角为 ? ,侧面与底面所成二面角为 ? ,侧棱 SB 与地 面正方形 ABCD 的对角线 AC 所成角为 ? ,相邻两侧面所成二面角为 ? ,则 ? 、 ? 、 ? 、? 之间的大

A. (0,

小关系是( ) A. ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ? ? ? (4)向量 a ? e , | e |? 1 ,若 ?t ? R , | a ? te |?| a ? e | ,则( A. a ? e B. a ? (a ? e) C. e ? (a ? e) D. (a ? e) ? (a ? e) (5)若复数



? ?1 1 的实部为 0, Z 是复平面上对应 的点,则点 Z ( x, y) 的轨迹是( ? ?1 ? ?1 A.一条直线 B.一条线段 C.一个圆 D.一段圆弧



(6)椭圆长轴为 4,左顶点在圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上,左准线为 y 轴,则此椭圆离心率的取值范 围是(
1 1 A. [ , ] 8 4


1 1 B. [ , ] 4 2 1 1 C. [ , ] 8 2 1 3 D. [ , ] 2 4

(7)已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 为正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂心, 二面角 H ? AB ? C 为 30o ,且 SA ? 2 ,则此三棱锥的体积为( A. )
3 3 1 3 B. C. D. 2 4 2 4 (8)如图,在锐角 ?ABC 中, AB 边上的高 CE 于 AC 边上的高 BD 交于点 H ,以 DE 为直径作圆与 AC 的另一个交点为 G ,已知 BC ? 25 , BD ? 20 , BE ? 7 , C 则 AG 的边长为( )

A.8 C.10

B. D.

42 5 54 5
D G H

A

E

B

(9) 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? lg(1 ? ( ) A.0 B. lg
10

2 …,S n 是数列的前 n 项和, lim S n ? 则 ) ,n ? 1 ,2 , n ?? n2 ? 3n 3 2
10 i ?1

C. lg 2

D. lg3

(10)已知 ?6 ? xi ? 10 (i ? 1,2,…, , ? xi ? 50 ,当 ? xi2 取得最大值时,在 x1 , x2 ,…, x10 这是个 10)
i ?1

数种等于 ?6 的数共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (11) (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, A , B , C 的对边分别为 a , b , c 。已知 2sin 2 (1)求 C 的大小 (2)若 c2 ? 2b2 ? 2a2 ,求 cos 2 A ? cos 2B 的值 (12) (本小题满分 14 分)
??? ??? ? ? ???? 已知两点 A(?2,0) , B(2,0) ,动点 P 在 y 轴上的射影是 H ,且 PA?PB ? 2 | PH |2 。
A? B ? 1 ? cos 2C 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程 (2)已知过点 B 的直线交曲线 C 于 x 轴下方不同的两点 M , N 。设 MN 的中点为 R ,过 R 与点 Q(0, ?2) 作直线 RQ ,求直线 RQ 斜率的取值范围。 (13) (本小题满分 14 分) 系统中每个元素正常工作的概率都是 p(0 ? p ? 1) ,各元件正常工作的事件相互独立,如果系统中有 多于一半的元件正常工作,系统就能给你正常工作,系统正常工作的概率称为系统的可靠性。 (1)某系统配置有 2k ? 1 个元件, k 为正整数,求该系统正常工作概率的表达式。 (2)现为改善(1)中系统的性能,拟增加两个元件,试讨论增加两个元件后,能否提高系统的可 靠性。 (14) (本小题满分 14 分) 记函数 f n ( x) ? 1 ? x ?
x2 xn ,n ? 1,2 …,证明:当 n 是偶数时,方程 f n ( x) ? 0 没有实根:当 n 是 ?…? 2! n!

奇数时,方程 f n ( x) ? 0 有唯一的实根 ? n ,且 ? n ? ? n ? 2 ,

(15) (本小题满分 14 分) 某兵乓球培训班共有 n 位学员,在班内双打训练赛期间,每两名学员都做为搭档恰好参加过一 场双打比赛,试确定 n 的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。


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