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利用导数证明有关不等式


第8讲
利用导数证明有关不等式

教学目标
会利用导数证明有关不等式

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典例剖析

x 例 1.当x ? 0时,求证: ? ln( x ? 1) ? x. x ?1
1 x 3 例2.当 ? x ? 1时,求证: ( x-1)e -x +1 ? 0. 2

例 3

例4

当堂训练
1 2 已知函数 f ( x ) ? x ? k l n x (k ? R) 2 (1)当k ? 2时 , 求 函 数 在 点 (1, f (1))处 的 切 线 方 程 ( 2)求 函 数 f ( x )的 单 调 区 间 和 极 值 ; 2 3 ( 3)设g( x ) ? x , k ? ?1, 3 当x ? (1,? ?)时 , 比 较 f ( x )与g( x )的 大 小

变1: 证明:当 x ? (1,??), k ? ?1时,f ( x ) ? g( x )
变 2: 若对?x0 ? (1,?? ),都有f ( x0 ) ? g ( x0 ), 求k的取值范围。
变 3: 若对?x1 , x2 ? (1,?? ),都有f ( x1 ) ? g ( x2 ), 求k的取值范围。

变 4: 若 对?x1 ? (1,? ?), 存 在 x 2 ? (1,? ?), 都 有f ( x1 ) ? g( x 2 ), 求k的 范 围 。
变 5: 在区间(1,?? )上函数f ( x )的图像在函数 g( x )图像的下方,求k的取值范围。

1 )的 图 像 在

取值范围。

课堂小结
1.利用导数证明不等式,通常要构造函数, 通过研究函数单调性及最值来证明

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2.分清楚下列问法的区别

课后作业


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