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1.1空间几何体的结构


第 2 课时 旋转体与简单组合体的结构特征 ●三维目标 1.知识与技能 (1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征. (2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征. (3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型. 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感知空间物体,从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构 特征. (2)让学生通过直观感知空间物体,认识简单的组合体的结构特征,归纳简单组合体的 基本构成形式. 3.情感、态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学 生的观察能力. (2)培养学生的空间想象能力,培养学习教学应用意识. ●重点难点 重点与难点:圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征. 重难点突破:以丰富的实物模型为切入点,通过让学生观察、分析实物体,并结合旋转 体的概念,抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征,进 而在观察思考中形成概念,突出圆锥与圆台间的内在联系,突破重点的同时化解难点.

●教学建议 本节内容是上节知识延续与提高, 通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何 体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征.由于本节知识具有概念多、感知性强等特点,教学 时,建议采用启导法和多媒体辅助教学法,引导学生从熟悉的物体入手,利用实物模型、计 算机软件观察大量空间图形,通过整体观察、直观感知,引导学生多角度、多层次地揭示圆 柱、圆锥、圆台及球的结构特征.在此基础上,再通过让学生说一说、举一举等方式,明确 简单组合体的结构特征,最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的?? 错误!?错误!?错误! ?

错误!?错误!?错误!

1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义. 课标解读 2.了解柱体、锥体、台体之间的关系. 3. 知道这四种几何体的结构特征, 能识别和区分这些几何体.

圆柱 【问题导思】 观察下面的旋转体,你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗?

【提示】 以矩形的一边所在的直线为轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 圆柱的结构特征

圆柱

图形及表示

定义:以矩形一边所在直线为旋转轴,其余 三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 相关概念: 轴:旋转轴叫做圆柱的轴 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的 边都叫做圆柱侧面的母线 图中圆柱表示为: 圆柱 O′O

圆锥 【问题导思】 仿照圆柱的定义,你能定义什么是圆锥吗? 【提示】 以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的面所围成 的旋转体. 圆锥的结构特征

圆锥

图形及表示

定义:以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 相关概念: 轴:旋转轴叫做圆锥的轴 底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线 图中圆锥表示为: 圆锥 SO

圆台 【问题导思】 下图中的物体叫做圆台, 也是旋转体. 它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了 旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?

【提示】

(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其他三边

旋转一周形成的面所围成的几何体. (2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴,各边旋转 180° 形成的面所围成 的几何体. (3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到: 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台. 圆台的结构特征 圆台 图形及表示

定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面和截面之间的部分叫做圆台 旋转法定义:以直角梯形中垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴,将直角梯形经旋转轴旋 转一周而形成的旋转体叫做圆台 相关概念: 轴:旋转轴叫做圆台的轴 底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面 叫圆台底面 侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲 面叫圆台的侧面 母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的 边叫做圆台的母线 图中圆台表示为:圆台 O′O

球 【问题导思】 球也是旋转体,它是由什么图形旋转得到的? 【提示】 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体即为球. 球的结构特征



图形及表示

定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半 圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称 球 相关概念: 球心:半圆的圆心叫做球的球心 半径:半圆的半径叫做球的半径 直径:半圆的直径叫做球的直径 图中的球表示为:球 O

简单组合体 【问题导思】 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗?它们是如何构成的?

(1)

(2)

【提示】 这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体,而是由柱、锥、台、球体中 的两种或三种组合而成的几何体. 简单组合体 (1)概念:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是 由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部 分而成.

旋转体结构特征 (2012· 昆明高二检测)下列叙述中正确的个数是( ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; ③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球; ④用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. A.0 B.1 C.2 D.3 )

【思路探究】 紧扣旋转体的定义逐一判断. 【自主解答】 ①错误.应以直角三角形的一条直角边为轴;②错误.应以直角梯形的 垂直于底边的腰为轴;③错误.应把“圆”改成“圆面”;④错误,应是平面与圆锥底面平 行时. 【答案】 A

1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体,必须 准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求. 2.只有理解了各旋转体的生成过程,才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念,进 而判断与这些概念有关的命题的正误.

如图 1-1-11,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请 把一、二排中相应的图形用线连起来.

图 1-1-11 【答案】 (1)—C (2)—B (3)—D (4)—A

简单组合体的结构特征 描述下列几何体的结构特征.

图 1-1-12 【思路探究】 结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析. 【自主解答】 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图(2)所示的几何

体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一 个三棱柱后得到的组合体.

组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的,因此,要仔细观察组合体的 组成,结合柱、锥、台、球的几何结构特征,对原组合体进行分割.

如图 1-1-13 为某竞赛中,获得第一名的代表队被授予的奖杯,试分析这个奖杯是由 哪些简单几何体组成的?

图 1-1-13

【解】 奖杯由一个球,一个四棱柱和一个四棱台组成.

有关几何体的计算问题 如图 1-1-14 所示,用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥, 截得圆台 上、下底面的面积之比为 1∶16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台 O′O 的母线长.

图 1-1-14

【思路探究】 过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决. 【自主解答】 设圆台的母线长为 l,由截得圆台上、下底面面积之比为 1∶16,可设 截得圆台的上、下底面的半径分别为 r,4r. 过轴 SO 作截面,如图所示.

则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm. ∴ ∴ SA′ O′A′ = . SA OA 3 r 1 = = . 3+l 4r 4

解得 l=9(cm), 即圆台的母线长为 9 cm.

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或 相似), 同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质, 利用相似三角形中的相似比, 构设相关几何变量的方程组而得解.

本例中若圆台的上底半径为 1 cm,其他条件不变,试求圆台的高. 【解】 ∵圆台的上底半径为 1,故下底半径为 4.

如图所示,在 Rt△A′HA 中 A′H= AA′2-AH2 = 92-32 =6 2. 即圆台的高为 6 2 cm.

旋转体的生成过程

图 1-1-15 (12 分)已知 AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的一腰, 如图 1-1-15 所示. 分 别以 AB,BC,CD,DA 所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征. 【思路点拨】 以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转,所得到的几何体是不同的. 【规范解答】 如图①所示.3 分 (2)以 BC 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体:下部为圆柱,上部为圆锥,如 图②所示.6 分 (3)以 CD 边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台, 再挖去一个小圆锥.如图③所示.9 分 (4)以 AD 边所在的直线为轴旋转得到一个组合体: (1)以 AB 边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台.

一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示.12 分









1.根据几何体的结构特征判断几何体的类型,首先要熟练掌握各类几何体的概念,把 握好各类几何体的主要特征,其次要有一定的空间想象能力. 2.对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要先对原平面图形作适当的分割,再根据柱、 锥、台的结构特征进行判断.

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想. 3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用,切实体会空间几何平

面化的思想.

1.下列几何体是组合体的是(

)

A

B

C

D

【解析】 A 是圆柱,B 是圆锥,C 是球,D 是圆台与圆锥的组合体. 【答案】 D 2.下列说法正确的是( )

A.用平行于底面的平面截圆锥,两平行底面之间的几何体是圆台 B.用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C.一个物体上、下两个面是相等的圆面,那么它一定是一个圆柱 D.球面和球是同一个概念 【解析】 对于 B,动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥,故 B 错误; 对于 C, 根据圆柱的结构特征可知, 若两个相等的圆面不平行, 那么这个物体不是圆柱, 故 C 错误; 对于 D,由球和球面的定义可知它们不是同一个概念,故 D 错误.A 正确. 【答案】 A 3.圆锥的高与底面半径相等,母线等于 5 2,则底面半径等于________.

【解析】 圆锥的轴截面如图所示,由图可知,底面半径 r= ?5 2?2-r2.∴r=5. 【答案】 5 4.说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的.







图 1-1-16 【解】 图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成. 图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成. 图 成 ③ 是 由 一 个 圆 柱 和 两 个 圆 台 组 合 而 .

一、选择题 1.(2013· 兰州高一检测)下列几何体是台体的是( )

A

B

C

D

【解析】 台体包括棱台和圆台两种,A 的错误在于四条侧棱没有交于一点,B 的错误 在于截面与圆锥底面不平行.C 是棱锥,结合棱台和圆台的定义可知 D 正确. 【答案】 D 2.圆柱的母线长为 10,则其高等于( A.5 B.10 C.20 ) D.不确定

【解析】 圆柱的母线长和其高相等. 【答案】 B 3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可能是( A.圆锥 B.圆柱 C.球 D.棱柱 【解析】 用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面,但截棱柱一定不会产生圆 面. 【答案】 D )

图 1-1-17 4.如图 1-1-17 的组合体的结构特征是( A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 )

D.一个棱柱中截去一个棱台 【解析】 该组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥. 【答案】 C 5.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥 【解析】 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直, 故绕对角线旋转一周形成两个 圆锥. 【答案】 D 二、填空题 6.如图 1-1-18 所示的蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体. )

图 1-1-18

【解析】 上半部分为圆锥,下半部分为圆柱. 【答案】 圆锥 圆柱 7.给出下列说法:(1)圆柱的底面是圆面;(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形 面;(3)圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;(4)夹在圆柱的两个截面 间的几何体还是一个旋转体,其中说法正确的是________. 【解析】 (1)正确,圆柱的底面是圆面;

(2)正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;

(3)不正确,圆台的母线延长相交于一点; (4)不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体. 【答案】 (1)(2)

8.若母线长是 4 的圆锥的轴截面的面积是 8,则该圆锥的高是________. 【解析】 设圆锥的底面半径为 r,则圆锥的高 h= 42-r2.

所以由题意可知 1 · (2r)· h=r 42-r2=8, 2 ∴r2=8,∴h=2 2. 【答案】 2 2 三、解答题 9.说出下面几何体的结构特征: (1)某单位的公章 (2)运动器材—空竹

图 1-1-19 【解】 (1)由一个半球,一个圆柱和一个圆台组合而成.(2)由两个大圆柱,两个小圆

柱和两个小圆台组合而成. 10.(2012· 杭州高一检测)一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【解】 (1)如图,过圆台的轴作截面为等腰梯形 ABCD,由已知可得上底半径 O1A=2 cm,下底半径 OB=5 cm,且腰长 AB=12 cm,

∴AM= 122-?5-2?2 =3 15(cm), 即圆台的高为 3 15 cm. (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l, l-12 2 则由△SAO1∽△SBO,可得 = , l 5 ∴l=20(cm), 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.

11.如图 1-1-20 中(1),(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单 几何体构成的?

(1) 图 1-1-20

(2)

【解】 图(1),(2)的几何图形旋转后形成的图形分别如图(3),(4)所示,图(1)旋转形成 的几何体是由一个圆柱 O1O2 和两个圆台 O2O3,O3O4 组成的.图(2)旋转形成的几何体是由 一个圆台 O1O3(其中挖去一个圆锥 O1O2),一个圆柱 O3O4 和一个圆锥 O4O5 组成的.

(3) (4)

高明的建筑师——蜜蜂 法国数学家傅立叶有句流传至今的名言:对自然的深入研究是数学发现

的最富饶的源泉.黄金比是自然美的反映,蜂房问题也是极有趣的例子.蜂房的结构不 仅有条理、有对称性,而且最省材料,这种“最省”实际上是极值问题.历史上不少学者注 意到蜂房的奇妙结构.蜂房上有许多巢.取一个巢来看,它是正六角形的柱体,其上底是由 三个全等的菱形组成(如图所示).早在公元 300 年前后,亚历山大的巴普士就研究过蜂房的 形状, 他认为六棱柱的巢的结构是最经济的结构, 开普勒曾说过这种充满空间的对称的蜂房 的角应该和菱形十二面体(各个面都是菱形的十二面体)的解一样.18 世纪法国天文学家马拉 尔弟经过实际测量后指出蜂巢顶部菱形的两角分别是 109° 28′和 70° 32′.法国自然哲学家

列俄木作出一个猜想.他认为用这样的角度来建造蜂房,在相同的容积下最节省材料.于是 他请教瑞士数学家克尼希,克尼希证实了列俄木的猜想.但他通过数值计算推得:根据蜂房 的结构法要使表面积最省料, 其上底中菱形的两个角应为 109° 26′和 70° 34′.和马拉尔弟实 际测量的数值有 2′之差!当时人们认为:蜜蜂毕竟不懂科学,它们解决这样一个复杂的极 值问题只有 2′的误差,是不足为奇的.可是事情还没有完结.后来,在调查一艘轮船失事 原因的过程中,发现船上使用的对数表有错误,而当时数学家克尼希进行蜂房计算时,所使 用的也是同类对数表,于是人们又开始怀疑克尼希计算数据的准确性.1743 年,美国数学家 马克劳林重新从理论上研究蜂巢中的极值问题, 得到更惊人的结果. 他完全用初等数学方法 得到菱形的钝角是 109° 28′,锐角是 70° 32′,与马拉尔弟的实测结果丝毫不差.这 2′之 差,不是蜜蜂不准,而是数学家克尼希算错了,他所用的对数表印错了. 马克思说得好:“蜜蜂建筑蜂房的本领使人间许多建筑师感到惭愧.但是,最蹩脚的建 筑师从一开始就比最灵巧的蜜蜂高明的地方, 是他在用‘蜂蜡’建筑‘蜂房’以前, 已经在 自己的头脑中把它建成了.” 生物现象常常给人们很大启发,数学美是自然美的客观反映.

观察图中的组合体, 分析它们是由哪些简单几何体组成的, 并说出主要结构特征. (面 数,顶点数,棱数)

【思路探究】 → 回答相关问题 【自主解答】

识图 → 分割或 填补 → 变成简单几 何体的组合 → 下结论

图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱组成的

组合体,它有 9 个面,14 个顶点,21 条棱,具有四棱柱和三棱柱的结构特征. 图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体,它 有 9 个面,9 个顶点,16 条棱,具有四棱柱和四棱锥的结构特征. 图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的组合体,它有 8 个 面,9 个顶点,15 条棱,具有三棱柱和三棱台的结构特征.

组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成.要仔细观察组合体的组成,结合柱、

锥、台、球的特征,先分割,后认证.

指出图中的图形是由哪些简单几何体构成的.

【解】 ①是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的. ②是由一个圆锥和一个四棱柱组合而 成的.


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