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第十六讲 高考复习-数列求和


第四节

数列求和

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1.掌握一些简单的数列求和的方法. 2.能应用数列求和解决一些数列问题. 1.以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列 的前n项和. 2.以考查等差、等比数列的前n项和为主,同 时考查错位相减法、裂项相消法、分组求和法 等常用方法.

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(3)非零自然数列前n项平方和公式:

12+22+32+?+n2=
2.错位相减法



这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种 方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是 等差数列和等比数列.

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3.倒序相加法

这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法.也就
是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时,若 有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可 用倒序相加法求和. 4.分组求和法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将
这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 即先分别求和,然后再合并.

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5.拆项、裂项法 利用解析式变形,将一个数列分成若干个可以直接求和 的数列,即进行拆项重组;或将通项分裂成两项或n项的差, 通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.

常见公式有:

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6.观察归纳法 由于{Sn}仍是一个数列,因此通过计算并观察S1、S2、 S3、S4的特点,归纳出Sn与n的函数关系式Sn=f(n),就可达到

求和的目的,这种方法称之谓观察归纳法.
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数列求和应掌握常用的变形方法,把握住题设 条件及题目所涉及的有关知识,合理地进行转 化,在解题时应注意: (1)运用错位相减法求和时,相减后,若两边需除以代

数式,则要讨论代数式是否为零的情况.
(2)对既不是等差数列也不是等比数列的数列,应先分 析它的通项公式,抓住特点,将数列求和问题转化成已知的 等差、等比数列或是常见数列的求和问题.

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(3)应重视下列类型的求和综合题: ①等差、等比数列综合题; ②数列求和与数列性质综合题; ③数列求和与方程综合题;

④数列求和与不等式综合题;
⑤数列求和与函数综合题; ⑥数列求和与最值综合题; ⑦数列求和与“开放性”问题综合题; ⑧数列求和与极限综合题(理).

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题型一 思维提示

分组求和 把数列拆成几个等差、等比数列求和

例 1 求下面数列的前 n 项和. 1 1 1 1+1, +4, 2+7,?, n-1+3n-2,? a a a

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1 1 1 设 S1=1+ + 2+?+ n-1, a a a an-1 当 a=1 时,S1=n;当 a≠1 时,S1= n , a -an-1 (3n-1)n S2=1+4+7+?+(3n-2)= . 2 (3n-1)n ∴当 a=1 时,Sn=S1+S2=n+ 2 (3n+1)n = ; 2 an-1 (3n-1)n 当 a≠1 时,Sn=S1+S2= n . n-1+ 2 a -a

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[规律总结]

当所给数列既不是等差数列,也不是等比

数列,在求和时,应仔细观察式子的结构特点、分组转化常
见数列或等差、等比数列求和.

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1 1 1 备选例题 1 求和 Sn=1+(1+ )+(1+ + )+?+(1+ 2 2 4 1 1 1 + +?+ n-1). 2 4 2

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1 1 (1- n) 2 2 1 =2[n- ]=2[n-(1- n)] 1 2 1- 2 1 =2n-2+ n-1。 2

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题型二

裂项相消法求和 ①若{an}为等差数列,则 + +…+ ? 可裂项求和 ②含根式的分式型,注意裂项与分母有理化

思维提示

1 2 n 例 2 在数列{an}中,an= + +?+ ,又 bn n+1 n+1 n+1 2 = ,求数列{bn}的前 n 项的和. an·n+1 a

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1 n [解] an= (1+2+?+n)= , 2 n+1 2 1 1 bn= =8 - ( ), n n+1 n n+1 2· 2 ∴数 {bn}的 n 项和 列 前 的 1 1 1 1 1 1 1 Sn=8 -2)+(2-3)+(3 -4)+?+( - 1[ ( )]=8 - 1 ( n n+1 1 8n )= . n+1 n+1

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[规律总结]

对于裂项后有明显相消项的一类数列,在

求和时采用“裂项求和法”,分式的求和多利用此法,可用 待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规 律,即消去了哪些项,保留哪些项.

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备选例题 2 已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时其 ,前 1 2 n 项和 Sn 满足 Sn=an(Sn- ). 2 )( 求 Sn 的表达式; 1 Sn )( 设 bn= 2 ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

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2 1 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)(Sn- ),即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 2 1 1 由题意 Sn-1·n≠0,①式两边同除以 Sn-1·n≠0 得 - S S Sn Sn-1 =2, ?1? 1 1 ? ?是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列. ∴数列 S1 a1 ?Sn? 1 1 ∴ =1+2(n-1),∴Sn= Sn 2n-1

解:( ) 1

1 2 ∵Sn=an(Sn- ),an=Sn-Sn-1(n≥2),

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Sn 1 1 1 1 )( 又 bn= 2 = = ( - ), 2n+1 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 ∴Tn =b1 +b2 +?+bn = [(1- )+( - )+?+( 2 3 3 5 2n-1 1 1 1 n - )]=2(1- )= . 2n+1 2n+1 2n+1

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题型三 思维提示

错位相减法求和 ①用错位相减法转化为等比数列 ②求解过程中要合理分类

例3 求和Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1(x≠1).

[解]

这是一个等差数列{n}与一个等比数列(x≠0时){xn

-1}的对应项相乘构成的新数列,这样的数列求和可用乘q(q

为等比数列的公比)的错位相减法. ∵Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1.① ∴xSn=x+2x2+?+(n-1)xn-1+nxn.② ①-②得 (1-x)Sn=1+x+x2+?+xn-1-nxn

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1-xn = -n n(注当 x=0 时成 x : 仍立 1-x + 1-(1+n)xn+n n 1 x = . (1-x) 1-(1+n)xn+n n+1 x ∴Sn= (1-x)2

)

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[规律总结] 法.

(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}

是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减 (2)用乘公比错位相减法求和时,应注意:

①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的
情形更值得注意. ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两 式“错项对齐”,以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达 式.

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③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条 件.如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论,在高 考中经常考查.

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备选例题 3 · 0 1 2 ( 沈质 阳检 )已知 f(x)=a1x+a2x2+? +anxn,且 a1,a2,?,an 组成等差数列(n 为偶 正数 ),又 f( ) 1 =n2,f(-1 =n. ) )( 求 an; 1 1 )( 比较 f(2)与 3 的大小. 2

解:(1)f(1)=a1+a2+?+an=n2,依题意,a1+an=2n,
∴2a1+(n-1)d=2n, 又f(-1)=-a1+a2-a3+a4-?-an-1+an=n, ∴d=2,∴a1=1,an=2n-1.

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1 1 12 1n )( f( )= +3( ) +?+(2n-1 ) , 2 () 2 2 2 2 利用错位相消法得 1 1 1 f( )=1+2- n-2-(2n-1 n · ) 2 2 2 1 1 =3- n-2-(2n-1) n<3. 2 2

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题型四 思维提示 例4

数列求和综合问题 数列求和的各种方法

已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an+2=[3+(-

1)n]an-2[(-1)n-1],n∈N*.
(1)求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前n项和Sn.

[分析] (1)先令n=1,2,3,4,再讨论n的奇偶性.
(2)用错位相减法.

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[解] )( a3=3,a4=4,a5=5,a6=8, 1 当 n 为奇数时,2an+2=2an+4,∴an+2=an+2, ∴a1,a3,a5,a7,?是公差为 2 的等差数列, ∴an=n. 当 n 为偶数时,2an+2=4an,∴an+2=2an, ∴a2,a4,a6,a8,?是公比为 2 的等比数列,

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)( bn=a2n-1·2n=(2n-1)·n, 2 a 2 ∴Sn=1×2+3×22+5×23+?+(2n-1)·n, 2 + 2Sn=1×22+3×23+5×24+?+(2n-1)·n 1, 2 两式相减,得 + -Sn=2+2×22+2×23+?+2×2n-(2n-1)·n 1 2 23(1-2n-1) + =2+ -(2n-1)2n 1 1-2 =(3-2n)·n+1-6, 2 + ∴Sn=(2n-3)·n 1+6. 2

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[规律总结]

(1)若一个数列是一个等差数列{an}与一个

等比数列{bn}之积,即{an·bn}.其求和方法适用于错位相减 的方法,即对于形如通项为bn =an·qn-b(a,b,q为常数且q >0,q≠1)的数列{bn},求其和时,通常用乘公比q的错位相 减法.

(2) 一 般 地 , 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn = an2 + bn +
c(n∈N*),其中a,b,c为常数,则数列{an}为等差数列的充 要条件是c=0.

数列{an}的前n项和为Sn=a·qn+b(n∈N*),其中a,b为
常数,且a≠0,q≠0、1,则数列{an}为等比数列的充要条件是 a+b=0. 东方沸点学校为你服务 高考总复习 · 数学(理)

备选例题 4 已知等差数列{an}的前 6 项和为 60,且 a1 =5. )( 求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; 1 )( 若数列{bn}满足 bn+1-bn=an(n∈N*), b1=3, 2 且 求 数 1 列{ }的前 n 项和 Tn. bn

解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 则6a1+15d=60,解得d=2.

∴an=2n+3,Sn=n(n+4).

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)( 由 bn+1-bn=an,∴bn-bn-1=an-1(n≥2,n∈N*). 2 当 n≥2 时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1) +b1=an-1+an-2+?+a1+b1 =(n-1 n-1+4)+3=n(n+2). () 对 b1=3 也适合,∴bn=n(n+2 n∈N*). () 1 1 11 1 ∴ = = ( - ). 2 n n+2 bn n(n+2) 1 1 1 1 1 1 ∴Tn= (1- + - +?+ - ) 2 3 2 4 n n+2 3n2+5n 13 1 1 =2(2- - )= . n+1 n+2 4(n+1)(n+2)

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例 求和:Sn=1+3a+5a2+?+(2n-1)·an-1.

[解题思路] 由数列的特点知可用错位相减的方法.
Sn=1+3a+5a2+?+(2n-1)·an-1,① aSn=a+3a2+?+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an.②

①-②得(1-a)Sn=1+2a+?+2an-1-(2n-1)·an.
当a=0时,Sn=1 当a=1时,Sn=n2;

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[错因分析] 考虑不全面,对a不进行讨论,丢掉a=1
和a=0时的情形.

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