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2013数列文科高考题


2013 安徽文(7)设 S n 为等差数列 ? a n ? 的前 n 项和, S 8 ? 4 a 3 , a 7 ? ? 2 ,则 a 9 = (A) ? 6 (B) ? 4 (C) ? 2 2013 陕西文 13. 观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 ( 2 ? 1)( 2 ? 2 ) ? 2 ? 1 ? 3
2

(D)2

(3 ? 1)(3 ? 2 )(3 ? 3) ? 2 ? 1 ? 3 ? 5
3

… 照此规律, 第 n 个等式可为 .
n

13. 【答案】 ( n ? 1)( n ? 2 )( n ? 3 ) ? ( n ? n ) ? 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ( 2 n ? 1) 2013 陕西文 17. (本小题满分 12 分) 设 Sn 表示数列 { a n } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 { a n } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1
? 1, q ? 0

, 且对所有正整数 n, 有 S n

?

1? q

n

1? q

. 判断 { a n } 是否为等比数列.

17. 【答案】(Ⅰ) S n ?

n (a1 ? a n ) 2

? n (a1 ?

n ?1 2

d) ;

(Ⅱ) 数列 { a n } 是首项 a 1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列。 【解析】(Ⅰ) 设公差为 d,则 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d
? S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? 2 S n ? ( a 1 ? a n ) ? ( a 2 ? a n ?1 ) ? ? ? ( a n ?1 ? a 1 ) ? ( a n ? a 1 ) ? ? S n ? a n ? a n ?1 ? ? ? a 2 ? a 1
? 2 S n ? n (a1 ? a n ) ? S n ? n (a1 ? a n ) 2 ? n (a1 ? n ?1 2

d).

(Ⅱ) a 1 ? 1, q ? 0 , 由题知 q ? 1 。
?n ? N , S n ?
*

1? q

n

1? q

? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ?

1? q

n ?1

1? q

?

1? q

n

1? q

?

q

n

?q

n ?1

1? q

? q

n

?1 a n ? ? n ?1 ?q

n ?1 n ? 2

? an ? q

n ?1

,n? N *.

所以, 数列 { a n } 是首项 a 1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列。

1

2013 全国大纲卷 (7) 已知数列 ? a n ? 满足 3 a n ? 1 ? a n ? 0 , a 2 ? ? (A) -6 ? 1-3
-1 0

4 3

, 则 ?an ?的 前10项 和 等 于

?

(B)

1 9

? 1-3 ?
-1 0

(C) 3 ? 1-3

-1 0

?

(D) 3 ? 1+ 3

-1 0

?

2013 全国大纲卷 17. (本小题满分 10 分) 等差数列 ? a n ? 中, a 7 ? 4, a1 9 ? 2 a 9 ,

(I)求 ? a n ? 的通项公式; (II)设 b n
? 1 nan , 求 数 列 ? bn ? 的 前 n 项 和 S n .

2013 新课标文(6)设首项为 1 ,公比为错误!未找到引用源。的等比数列 { a n } 的前 n 项和 为 S n ,则( ) (B) S n ? 3 a n ? 2 (C) S n ? 4 ? 3 a n (D) S n ? 3 ? 2 a n

(A) S n ? 2 a n ? 1

2

2013新课标文(17)(本小题满分12分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S 3 ? 0 , S 5 ? ? 5 。 (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {
1 a 2 n ?1 a 2 n ?1 } 的前 n 项和。

2013 新课标文 2(17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { a n } 的公差不为零, a 1 ? 2 5 ,且 a 1 , a 1 1 , a 1 3 成等比数列。 (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)求 a 1 ? a 4 + a 7 ? ? ? ? ? a 3 n ? 2
3

2013 北京文(20) (本小题共 13 分) 给定数列 a1,a2,…,an。对 i-1,2,…n-l,该数列前 i 项的最大值记为 Ai,后 n-i 项 ai+1,ai+2,…,an 的最小值记为 Bi,di=ni-Bi. (Ⅰ)设数列{an}为 3,4,7,1,写出 d1,d2,d3 的值. (Ⅱ)设 a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于 1 的等比数列,且 a1>0.证明:d1,d2,… dn-1 是等比数列。 (Ⅲ)设 d1,d2,…dn-1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1>0,证明:a1,a2,…,an-1 是等差数列。 2013 上海文 2.在等差数列 ? a n ? 中,若 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 3 0 ,则 a 2 ? a 3 ? .15

2013 上海文 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x ) ? 2 ? | x | .无穷数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? f ( a n ), n ? N * . (1)若 a 1 ? 0 ,求 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)若 a 1 ? 0 ,且 a 1 , a 2 , a 3 成等比数列,求 a 1 的值; (3)是否存在 a 1 ,使得 a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n …成等差数列?若存在,求出所有这样的 a 1 ; 若不存在,说明理由. 2013 山东文(20)(本小题满分 12 分) 设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4 S 2 , a 2 n ? 2 a n ? 1 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?b n ? 满足
b1 a1 ? b2 a2 ? ??? ? bn an ? 1? 1 2
n

,n? N

*

,求 ?b n ? 的前 n 项和 T n
1 2

2013 江 苏 文 14 . 在 正 项 等 比 数 列 { a n } 中 , a 5 ?
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 a 2 ? a n 的

, a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足

最大正整数 n 的值为 【答案】12



【解析】 设正项等比数列 { a n } 首项为 a1, 公比为 q, 则:?

? ?

2 ? a 1 q 5 (1 ? q ) ? 3 ?

a1q 4 ?

1

1 , 得: 1=32 , a

q=2, n=26 n. T n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? a 记



2

n

?1
5

( n ?1) n

2

,? n ? a 1 a 2 ? a n ? 2

2

.T n ? ? n ,
4



2

n

?1
5

( n ?1 ) n

1

? 2

2

, 化 简 得 : 2 ?1 ? 2
n

n ?

2

11 2

n?5

2

, 当 n ?

1 2

n

2

?

11 2

n?5 时 ,

2

n ?

13 ? 2

121

? 12 .当 n=12 时, T 12 ? ? 12 ,当 n=13 时, T 13 ? ? 13 ,故 nmax=12.

2013 江苏文 19. (本小题满分 16 分) 设 { a n } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 ( d ? 0 ) , S n 是其前 n 项和.记 b n ?
n ? N ,其中 c 为实数.
*

nS
2

n

n ? c



(1)若 c ? 0 ,且 b1, b 2, b 4 成等比数列,证明: S nk ? n 2 S k ( k , n ? N ) ;
*

(2)若 { b n } 是等差数列,证明: c ? 0 . 证: (1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? ( n ? 1) d , S n ?
2

n [( n ? 1 ) d ? 2 a ] 2

, bn ?

( n ? 1) d ? 2 a 2



当 b1, b 2, b 4 成等比数列, b 2 ? b 1 b 4 ,
d ? ? 即: ? a ? ? 2 ? ?
2

3d ? ? ? a? a ? ? ,得: d 2 ? ?

2

? 2 ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2 a .

由此: S n ? n 2 a , S nk ? ( nk ) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: S nk ? n 2 S k ( k , n ? N ) .
*

(2) b n ?

nS n
2

n
n

2

( n ? 1) d ? 2 a 2 n
2

?c

?
2

?c


?c ( n ? 1) d ? 2 a 2 2 n ?c c ? n ( n ? 1) d ? 2 a 2
2

n ?

( n ? 1) d ? 2 a 2

?c

( n ? 1) d ? 2 a 2

?

( n ? 1) d ? 2 a 2

? c



(※)

若 { b n } 是等差数列,则 b n ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
c ( n ? 1) d ? 2 a 2 n
2

故有: 故c ? 0 .

? c

? 0 ,即 c

( n ? 1) d ? 2 a 2

? 0 ,而

( n ? 1) d ? 2 a 2

≠0,

经检验,当 c ? 0 时 { b n } 是等差数列.

5

2013 浙江文 19. (本题满分 14 分)在公差为 d 的等差数列 ? a n ? 中,已知 a 1 ? 1 0 , 且
a 1 , 2 a 2 ? 2, 5 a 3 成等差数列。

(1)求 d , a n ; (2)若 d
? 0 ,求 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n .

2013 福建文 17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 { a n } 的公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n . (1)若 1, a 1 , a 3 成等比数列,求 a 1 ; (2)若 S 5 ? a 1 a 9 ,求 a 1 的取值范围. 本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函 数与方程思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (1)因为数列 { a n } 的公差 d ? 1 ,且 1, a 1 , a 3 成等比数列, 所以 a 1 2 ? 1 ? ( a 1 ? 2 ) , 即 a 1 2 ? a 1 ? 2 ? 0 ,解得 a 1 ? ? 1 或 a 1 ? 2 . (2)因为数列 { a n } 的公差 d ? 1 ,且 S 5 ? a 1 a 9 , 所以 5 a 1 ? 1 0 ? a 1 2 ? 8 a 1 ; 即 a 1 2 ? 3 a 1 ? 1 0 ? 0 ,解得 ? 5 ? a 1 ? 2 2013 天津文(19) (本小题满分 14 分) 已知首项为
3 2

的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ( n ?

N *)

, 且 ? 2 S 2 , S 3 , 4 S 4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 S n
? 1 Sn ? 13 6 (n ? N *)

2013 湖南文 15.对于 E={a1,a2,….a100}的子集 X={a1,a2,…,an},定义 X 的“特征数列” 为 x1,x2…,x100,其中 x1=x10=…xn=1.其余项均为 0,例如子集{a2,a3}的 “特征数列”为 0,1,0,0,…,0 (1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于_____2________; (2) 若 E 的子集 P 的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99; E 的子集 Q 的“特征数列” q1,q2,q100 满足 q1=1,q1+qj+1+qj+2=1, 1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为___17______. 【答案】 (1) 2 (2) 【解析】 (1) 由题知,特征数列为:1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前 3 项和 = 2。
6

(2) P 的“特征数列”:1,0,1,0 … 1,0. 所以 P = {a1 , a3 , a5 ? a99 } . Q 的“特征数列”:1,0,0,1,0,0 …1,0,0,1. 所以 Q = {a1 , a 4 , a 7 ? a97 , a100 } . 所以, P ? Q ? { a1 , a 7 , a13 ? a97 } ,共有 17 个元素。 2013 湖南文 19.(本小题满分 13 分) 设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N (Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和。
?

【答案】 (Ⅰ)

an ? 2

n ?1

,n? N *

(Ⅱ) (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N *

2 【解析】 (Ⅰ) ? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1.
当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? 2a n ? a1 S1 ? 2a n ?1 ? a1 S1 ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 -

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2

n ?1

, n ? N *.

(Ⅱ)
设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a 3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa 3 ? ? ? n ? qa n ? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a 3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1

上式左右错位相减:
(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1 1? q
n

1? q

? na n ?1 ? 2 ? 1 ? n ? 2
n

n

? Tn ? ( n ? 1) ? 2 ? 1, n ? N * 。
n

2013 江西文 16.(本小题满分 12 分) 正项数列{an}满足错误!未找到引用源。 ? (2n-1)an ? 2n=0. (1) 求数列{an}的通项公式 an; (2) 令 bn=错误!未找到引用源。 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 2013 湖北文 19. (本小题满分 13 分) 已知 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和, S 4 , S 2 ,S 3 成等差数列,且 a 2 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 S n 若不存在,说明理由.
? 2013 ? a3 ? a4 ? ? 1 8

.

?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;

7

2013 重庆文 16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设数列 ? a n ? 满足: a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 3 a n , n ? N ? . (Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (Ⅱ)已知 ? b n ? 是等差数列, T n 为前 n 项和,且 b1 ? a 2 , b 3 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ,求 T 2 0 . 2013 四川文 16、(本小题满分 12 分) 在等比数列 { a n } 中, a 2 ? a1 ? 2 ,且 2 a 2 为 3 a 1 和 a 3 的等差中项,求数列 { a n } 的首项、 公比及前 n 项和

8

9


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