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2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.2 空间图形的基本关系与公理课件 理


第七章 立体几何

第二节

空间图形的基本关系与公理

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可

以作为推理依据的公理和定理; 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间图形的位置关系的简单命题。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.空间图形的基本关系 点在直线上 和__________ 点在直线外。 (1)空间点与直线的位置关系有两种:_____________

点在平面内 和___________ 点在平面外 。 (2)空间点与平面的位置关系有两种:____________ 平行直线 (3)空间两条直线的位置关系有三种:_________________ 、相交直线 异面直线 和______________ 。
(4)空间直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内 _____________、直线和平面

直线与平面平行 。 相交、__________________ 平行平面 、__________ 相交平面 。 (5)空间平面与平面的位置关系有两种:__________

2.空间图形的公理

(1) 公理 1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上
所有的点 都在这个平面内(即直线在平面内)。 ____________ (2)公理2:经过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面。 (3) 公 理 3 : 如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 , 那 么 它 们 有且只有一条 过该点的公共直线。 ________________ (4)公理4:平行于 同一条直线 的两条直线平行。 (5)确定平面的三个推论 ①经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 ②两条相交直线确定一个平面。 ③两条平行直线确定一个平面。

3.定理
空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 。 _______________ 4.异面直线所成的角 (1)定义:如图所示,过空间任意一点 P分别引两条异面直线a,b的平 行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的 锐角 (或直角)就是异面直 线a,b所成的角,如果两条异面直线所成的角是 直角 ,我们称这两条直线 互相垂直,记作:a⊥b。 π (2)范围:0,2

基 础 自 测
[判一判]
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条 直线。( )× )

解析 错误。由公理3可知错误。
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面。( √ 解析 正确。由公理2可知正确。 (3)两个不重合的平面只能把空间分成四部分。( × ) 解析 错误。当两个平面平行时,把空间分成三部分。

(4)没有公共点的两条直线是异面直线。( × ) 解析 错误。没有公共点的两条直线可能平行或异面。 (5) 已 知 a , b , c , d 是四条 直 线, 若 a∥b , b∥c , c∥d , 则 a∥d 。 (√ )

解析 正确。由公理4可知正确。

[练一练]
1 .若点 M 在直线 b 上, b 在平面 β 内,则 M , b , β 之间关系可表示为 ( )

A.M∈b∈β C.M? b? β

B.M∈b? β D.M? b∈β

解析 用集合语言表示,只有选项B正确。 答案 B

2.在下列命题中,不是公理的是(

)

A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点 都在此平面内

D .如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过
该点的公共直线 解析 B、C、D选项均为公理,故选项A正确。

答案 A

3.下列命题:
①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面;

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合。 其中正确命题的个数是( )

A.0
解析

B.1

C.2

D.3

对于①,未强调三点不共线,故①错误;②正确;对于③,

三条直线两两相交,如空间直角坐标系,能确定三个平面,故③正确; 对于④,未强调三点不共线,则两平面也可能相交,故④错误。故选项 C正确。 答案 C

4.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,那么c与b( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线

)

C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线

解析 假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a、b是异面直线矛盾。
答案 C

5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD 的 中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________ 60° 。

解析

连接 B1D1 , D1C ,则 B1D1∥EF ,故 ∠ D1B1C 为所求,又 B1D1 =

B1C=D1C,∴∠D1B1C=60°。

R

热点命题

深度剖析

考点一

平面的基本性质及其应用
如图所示,正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E , F 分别是 AB 和

【例 1】

AA1的中点。求证:

(1)E,C,D1,F四点共面; 【证明】 连接EF,CD1,A1B。 ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B。 又A1B∥CD1, ∴EF∥CD1。 ∴E,C,D1,F四点共面。

(2)CE,D1F,DA三线共点。

【证明】 ∵四边形 EFD1C 是梯形, ∴CE 与 D1F 必相交。设交点为 P, 则由 P∈CE,CE? 平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD。 同理 P∈平面 ADD1A1。 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA。∴CE,D1F,DA 三线共点。

【规律方法】 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由所给条件中的部分线(或

点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件
分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合。 (2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确定一条直线,再证其他

各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上。
(3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证 其他直线经过该点。

变式训练 1

如图,空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 AB , AD 的中

点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。

(1)求证:E,F,G,H四点共面;

证明 ∵E,F 分别为 AB,AD 的中点, ∴EF∥BD。 BG DH 1 在△BCD 中, = = , GC HC 2 ∴GH∥BD。∴EF∥GH。 ∴E,F,G,H 四点共面。

(2)设EG与FH交于点P。求证:P,A,C三点共线。 证明 ∵EG∩FH=P,P∈EG,EG ? 平面ABC, ∴P∈平面ABC。

同理P∈平面ADC。
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点。 又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,

∴P,A,C三点共线。

考点二

空间两条直线的位置关系
(1)(2016·金华模拟)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱

【例2】

的 顶 点 或 所 在 棱 的 中 点 , 则 表 示 直 线 GH , MN 是 异 面 直 线 的 图 形 有 ②④ 。(填上所有正确答案的序号) ________

【解析】

(1) 图①中,直线 GH∥MN;图②中, G , H , N三点共

面,但 M? 平面 GHN ,因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG , GM∥HN , 因 此 GH 与 MN 共 面 ; 图 ④ 中 , G , M , N 共 面 , 但 H? 面 GMN,因此GH与MN异面。所以在图②④中,GH与MN异面。

(2) 若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1⊥l2 , l2⊥l3 ,
l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 )

B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 【解析】 构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2

为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排 除A、B、C,选D。 【答案】 D

【规律方法】

(1)空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行

和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线, 可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定 理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决。 (2)解决位置关系问题时,要注意几何模型的选取,如利用正(长)方体 模型来解决问题。

变式训练 2

(1)如图是正四面体的平面展开图,G ,H , M,N分别为

DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与 MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直。

以上四个命题中,正确命题的序号是________ ②③④ 。

解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,
GH与MN成60°角,DE⊥MN。

(2)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有
异面直线________ 对。 24

解析 如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1,CC1,A1D1,DD1 四条, 因为各棱具有不同的位置,且正方体共有 12 条棱,排除两棱的重复计算, 12×4 共有异面直线 2 =24 对。

考点三

异面直线所成的角
(2016·衡水六调 )如图,正棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1 = )

【例 3】

2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

1 A.5 3 C.5

2 B.5 4 D.5

【解析】 如图,连接 BC1,A1C1,∠A1BC1 是异面直线 A1B 与 AD1 所成的角(或其补角), 设 AB=A,AA1=2A, 所以 A1B=C1B= 5A,A1C1= 2A, 4 ∠A1BC1 的余弦值为5,故选 D。

【答案】 D

【规律方法】 求异面直线所成角的方法与步骤

(1)找异面直线所成的角的三种方法:①利用图中已有的平行线平移;
②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;③补形平移。 (2)求异面直线所成角的三个步骤:①作:通过作平行线,得到相交直

线;②证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角;③算:
通过解三角形,求出该角。

变式训练3

(2015·浙江卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD

=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN, 7 CM所成的角的余弦值是________ 。 8

解析 连接DN,取DN的中点P,连接PM,CP,因为M是AD的中点,

故 PM∥AN,则∠CMP 即为异面直线 AN,CM 所成的角, 因为 AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 可得 AN=CM=DN=2 2, 故 MP=PN= 2。 在 Rt△PCN 中,CP= PN2+CN2= 2+1= 3, 由余弦定理可得, CM2+MP2-CP2 8+2-3 7 Cos ∠CMP= = = , 2CM· MP 2×2 2× 2 8 7 故异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值为8。

S

思想方法

感悟提升

⊙2个注意点——判断点、线、面位置关系时的注意点
(1)异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平 面内的两条直线就是异面直线。 (2)在判断直线与平面的位置关系时易忽视“线在平面内”。 ⊙2种方法——异面直线的判定方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点 的直线是异面直线。 (2)反证法:证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面。

⊙3个作用——前3个公理的应用 (1)公理1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平 面内判断直线上的点在平面内;④由直线的“直”刻画平面的“平”。 (2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面 的方法。 (3)公理3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证 明多点共线。


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