3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省2013届高考数学一轮总复习 第32讲 等比数列的概念及基本运算课件 文 新课标


1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公 式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比 关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

等比数列 1? 等比数列定义① _________( n ? N* ),这是证明一 ? 个数列是等比数列的依据,也可由an ?an ? 2 ? a来判断.

? 2 ? 等比数列的通项公式为② ___________ . 2 ? 3? 对于G是a、b的等比中项,则G ? ab,G ? ③ ___ . ? 4 ? 特别要注意等比数列前n项和公式应分为q ? 1与q ?
1两类.当q ? 1时,Sn ? ④ ________ ;当q ? 1时,S n ? ⑤ ___________________________ .

【要点指南】 an ?1 n ?1 ① ? q (非零常数);②an ? a1 ?q ; an a1 ? a n ?q a1 ?(1 ? q n ) ③ ? ab;④na1;⑤ 或S n ? 1? q 1? q

(

1.已知 2,a,b,c,4 成等比数列,则实数 b 等于 ) A.2 2 B.-2 2 C.± 2 D.8

【解析】因为 2,a,b,c,4 成等比数列, 所以 b2=2×4=ac,a2=2b,所以 b>0,所以 b=2 2.

2.若等比数列{an}各项都是正数,a1 =3,a1 +a2 +a3=21,则 a3+a4+a5 的值=( A.21 C.63 B.42 D.84 )

【解析】由 a1+a2+a3=21?a1(1+q+q2)=21 ?q2+q-6=0, 所以 q=2 或 q=-3(舍去),所以 a3+a4+a5= (a1+a2+a3)·2=84,故选 D. q

(

3.若等比 数列 {an} 满足 anan + 1 =16n ,则公 比 为 ) A.2 B.4 C.8 D.16

【解析】an·n+1=16n,则当 n≥2 时,an-1·n=16n 1, a a an+1 两式相除得 =16=q2?q=4 或 q=-4, an-1 当 q=-4 时,an·n+1=an·n· a a (-4)=-4a2<0,不合 n 题意,舍去; 所以 q=4.



4.(2010· 江苏溧水模拟)等比数列{an}中,Sn 是数列{an} 1 的前 n 项和,S3=3a3,则公比 q= -2或 1 .

【解析】当 q=1 时,an=a1,S3=3a3,则 q=1 符合题意. a1?1-q3? 1 2 当 q≠1 时, =3a1q , 解得 q=-2或 1(舍去). 1-q 1 所以 q=-2或 1.

1 5.(2011· 北京卷)在等比数列{an}中,a1=2,a4=4, 则公比 q= 2 ;a1+a2+…+an= 2
n-1

1 -2

.

a4 【解析】 由题意 q =a =8=23?q=2; 1+a2+… a 1
3

1 ?1-2n? 2 1 1 n n-1 +an= =2×(2 -1)=2 -2. 1-2



等比数列的基本运算
20 【例 1】已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4= 3 ,求

{an}的通项公式和前 n 项和 Sn.

【解析】设等比数列{an}的公比为 q,则 q≠0, a3 2 2 20 a2= q =q,a4=a3q=2q,所以q+2q= 3 , 1 解得 q1=3,q2=3.

1 ①当 q=3时,a1=18; 1 n-1 18 - 所以 an=18×(3) = n-1=2·3 n; 3 3 1n 18[1-?3? ] - Sn= =27-33 n. 1 1-3

2 ②当 q=3 时,a1=9, 2 n-1 - 所以 an=9· =2·n 3, 3 3 2 [1-3n] 9 1 n-2 Sn= =3 -9. 1-3
?an=2·3-n 3 综上所述,? 3-n ?Sn=27-3 ?an=2·n-3 3 ? 或? 1 n-2 ?Sn=3 -9 ?

.

【点评】(1)等比数列{an}中,an =a1qn

-1

,Sn =

a1?1-qn? 中有五个量,可以知三求二;(2)注意分类讨论 1-q 的应用.

素材1

在等比数列{an}中,a1 =1,公比|q|≠1,若 am = a1a2a3a4a5,则 m=( A.9 C.11 ) B.10 D.12

【解析】由{an}是等比数列,a1=1,所以 am=1·m q
-1

=15·1 q

+2+3+4



所以 m-1=10,即 m=11,故选 C.



等比数列的判定及证明

【例 2】成等差数列的三个正数的和等于 15,并且 这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为 等比数列.
? ? 5? ? ?Sn+ ?是 Sn,求证:数列? 4? ? ?

【解析】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d, a, a+d.依题意, a-d+a+a+d=15, 得 解得 a=5, 所以{bn} 中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.

5 由 b3=b1· ,即 5=b1· ,解得 b1=4. 2 2
2 2

5 所以{bn}是以4为首项,2 为公比的等比数列,其通项公 5 n-1 - 式为 bn=4· =5·n 3. 2 2

5 ?1-2n? 4 5 n-2 (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· -4,即 Sn 2 1-2 5 - +4=5·n 2, 2 5 - S + 2n 1 5 5 n+1 4 5· 所以 S1+4=2, 5 =5·n-2=2. 2 Sn+4 5 5 因此{Sn+4}是以2为首项,公比为 2 的等比数列.

【点评】 判定等比数列的常用方法有两种:第一种 an+1 定义法, 即证 a =q(q 是非零常数); 另一种是等比中项 n 法,即证 a2=an-1·n+1.当已知通项公式或把递推公式看 a n 作一整体时,常用定义法.

素材2

等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n+2 ·n(n∈N*).证明: n S Sn (1)数列{ n }是等比数列; (2)Sn+1=4an.

n+2 【证明】 (1)方法 1:因为 an+1= n ·n, S n+2 所以 Sn+1-Sn= n ·n, S 所以 nSn+1=2(n+1)Sn, Sn+1 n+1 Sn+1 Sn 所以 = · 2,即 S =2, n+1 n n n Sn 所以数列{ n }是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比 数列.

Sn+1 n+1 nSn+1 n?Sn+an+1? 方法 2:因为 S = = ?n+1?Sn ?n+1?Sn n n n+2 n?Sn+ n Sn? = ?n+1?Sn n+2 n?1+ n ? = n+1 2n+2 = =2, n+1 Sn 所以数列{ n }是等比数列.

Sn - - (2)由(1)得 n =S1·n 1=2n 1, 2 所以 Sn=n·n 1,所以 Sn+1=(n+1)·n. 2 2 n+1 n+1 - 又 an= Sn-1= · (n-1)·n 2 2 n-1 n-1 =(n+1)· 2
n-2


1 1 n =4· (n+1)· =4Sn+1, 2

所以 Sn+1=4an.

【点评】证明等比数列的两个基本方法:(1)利用定义: an+1 为一常数;(2)利用等比中项:a2=an-1·n+1(n≥2). a n an

三 等比数列的最值
1 【例 3】等比数列{an}的首项为 a1=2010,公比 q=-2. (1)设 bn 表示数列{an}的前 n 项的积,求 bn 的表达式; (2)在(1)的条件下,当 n 为何值时,数列{bn}有最大 项?

【分析】 (1)求出{an}的通项公式,再由 bn=a1·2· an a …· 得表达式.(2)先判断 bn 的符号,再由|bn|的单调性,进一步 探求.

1 n-1 【解析】(1)因为 an=2010×(-2) , 所以 bn=a1·2· an a …· 1 0+1+2+…+(n-1) =2010 ×(-2)
n

1 n?n-1? =2010 ×(-2) 2 .
n

|bn+1| 2010 (2)因为 |b | = 2n , n |bn+1| 2010 所以,当 n≤10 时, |b | = 2n >1, n 所以|b11|>|b10|>…>|b1|; |bn+1| 2010 当 n≥11 时, |b | = 2n <1,所以|b11|>|b12|>…, n 又因为 b11<0,b10<0,b9>0,b12>0, 所以 bn 的最大值是 b9 和 b12 中的较大者.

b12 因 为 b 9 1 10 3 [2010×(2) ] >1.

1 66 2010 ×?-2? 1 30 3 = 1 36 = 2010 ×( 2 ) = 20109×?-2?
12

1 66 所以当 n=12 时,{bn}有最大项为 b12=2010 ×(-2) .
12

【点评】等比数列的通项公式类同于指数函数,根据公 比 q 与首项
?a <0 ? 1 ? ?0<q<1 ? ?a >0 ? 1 a1 的正负、大小有不同的单调性:当? ?q>1 ? ?a >0 ? 1 或? ?0<q<1 ?



?a <0 ? 1 时为单调增数列; ? 当? ?q>1

为单调减数列;

当 q<0 时为摆动数列,应分类讨论其项的符号与绝对值.

素材3
已知 sin(2α+β)=3sinβ,设 tanα=x,tanβ=y,记 y=f(x). (1)求 f(x)的表达式; 1 (2)定义数列{an},a1=2,a2+1=2anf(an)(n∈N*), n 1 证明:数列{a2-2}是等比数列. n 1 (3)令 bn=a2-2,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,求使 n 31 Sn> 8 成立的最小 n 值.

【分析】 (1)化弦为切,再用 x 表示 y 即可;(2)只 1 a2-2 n 需证明 1 为常数即可;(3)利用(2)求出 bn 的前 n 项 -2 a2-1 n 和 Sn,再代入不等式可得.

【解析】 (1)因为 sin(2α+β)=3sinβ, 所以 sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβ, 即得 sin2αcosβ=3sinβ-cos2αsinβ=sinβ(3-cos2α) =2sinβ(2-cos2α), sinβ sin2α 所以 y=tanβ=cosβ= 2?2-cos2α?

2sinαcosα = 2?2sin2α+2cos2α-cos2α? sinαcosα tanα = = 2sin2α+cos2α 2tan2α+1 x = 2 , 2x +1 x 即 f(x)= 2 . 2x +1

2a2 an n (2)因为 a2+1=2anf(an)=2an· 2 = 2 , n 2an+1 2an+1 2a2+1 1 n 所以 2 = 2a2 =1+2a2. an+1 n n 1 1 1 1 1 1 当 n≥2 时,a2-2=1+ 2 -2= 2 -1=2( 2 -2), 2an-1 2an-1 an-1 n 1 而a2-2=2, 1 1 1 所以数列{a2-2}是以 2 为首项,2为公比的等比数列. n

1 1 (3)由(2)得 bn=a2-2=2·n-1, 2 n 1 2?1-2n? 1 所以 Sn= 1 =4(1-2n). 1-2 1 31 1 1 令 Sn=4(1-2n)> 8 ,得2n<32,所以 n>5. 31 则使 Sn> 8 成立的最小 n 值为 6.

【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换和数列的基 本知识,包括等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公 式,还考查了化归的数学思想方法及推理运算能力.

备选例题

(2012· 泉州模拟)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn,(c 是不为零的常数,n=1,2,3,…),且 a1,a2,a3 成等比数 列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式.

【解析】(1)依题意 an+1=an+cn,又 a1=2, 所以 a2=a1+c=c+2,a3=a2+2c=2+3c, 因为 a1,a2,a3 成等比数列,故 a2=a1a3, 2 即(c+2)2=2×(3c+2),解得 c=0 或 c=2. 又 c 是不为零的常数,所以 c=2.

(2)由(1)知 an+1=an+2n,所以当 n≥2 时,an-an-1= 2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1 =2×1,将以上各式累加得 an-a1=2[1+2+…+(n-1)] =n(n-1), 所以 an=n2-n+2(n≥2),检验得 a1 也满足上式, 故 an=n2-n+2.

1.方程思想的应用.在等比数列的五个基本 量a1,an,q,n,S n中,“知三求二”,一般 是运用通项公式和前n项和公式列方程,通过 解方程求解. 2.等比数列的判定常用定义法和等比中项法; 而证明不是等比数列时,只需举反例(常从前 几项入手).


推荐相关:

2014届高考数学一轮复习 第32讲《等比数列的概念及基本运算》热点针对训练 理

2012大纲全国卷高考数学(... 2012年高考新课标理科...福建省2013届高考数学一轮... 暂无评价 53页 5财富...第32讲 等比数列的概念及基本运算 1 S4 1.(2012...


【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含解析

【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含解析_高中教育_教育专区。【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习...


2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含答案]

2014版学海导航数学()总复习(第1轮)同步测控 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含答案]_高中教育_教育专区。2014版学海导航数学()总复习(第1轮)同步...


2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步测控 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含答案]

2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步测控 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含答案]_高中教育_教育专区。2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步...


【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含解析]

【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第32讲 等比数列的概念及基本运算 Word版含解析]_高中教育_教育专区。【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习...


2013届高考数学复习数列

2013届高考数学一轮复习讲... 34页 免费 2013届高考...D.100. ) 7 .(2012 课标文)数列{ an }满足 ...等比数列的通项公式,和前 n 项和公式及基本运算....


第32讲数列的概念与通项公式

高考数学一轮复习课件... 18页 免费喜欢...备战2013高考数学文6年高考... 12页 免费 第6讲...第32 讲 数列的概念与通项公式【学习目标】 1.理解...


2013届高三数学第一轮复习《 等比数列及其前n项和》 讲义

2013届高三数学第一轮复习《 等比数列及其前n项和》 讲义_高三数学_数学_高中教育_教育专区。等比数列及其前 n 项和要点自主梳理 1.等比数列的定义 如果一个...


新课标高三数学第一轮复习单元讲座第32讲 不等式解法及应用

关键词:新课标高三数学复习 1/4 同系列文档 新课标...新课标高三数学一轮复习单元讲座第32讲 不等式解法...(2)B. 点评:近年来线性规划的一些基本运算问题成为...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com