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福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习 03讲 函数与方程思想课件


第2讲

函数与方程思想

1.函数的思想,是用运动和变化的观点、集合与对
应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关 系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象 和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得 解决.

方程的思想,就是从问题的数量关系入手分析数
学问题中的等量关系,从而建立方程或方程组或 者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程

的性质去分析、转化问题,从而使问题获得解决.

方程的思想与函数的思想密切相关,对于函数 y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把

函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这
种相互转化的关系十分重要. 函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x), 当y>0时,就化为不等式f(x)>0,借助于函数的图 象与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函 数的性质,也离不开解不等式. 2.函数与方程思想一直是数学最本质的思想之一, 是高中数学的一条重要主线,新课标内容中不仅

没有淡化这一传统,而且还有加强的趋势,这从
考试说明中很容易看出来.

3.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例 函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数

的具体性质与图象特征,解题时要注意挖掘题目
中的隐含条件,迅速构造出有关的函数解析式, 并能恰当使用其性质或图象,顺利解决问题. 4.函数与方程思想的应用涉及的知识点较多,应用 起来具有一定的创造性,更能体现考生的能力水

平,是考查创新实践能力的良好载体和首选载
体,另外它对考生的理解能力,应用数学知识的 能力,以及数学思维能力等都有较高层次要求, 备考过程中要加强训练.

【例1】(2009·江苏调研)已知命题“在等差数列

{an}中,若3a3+a9+a( )=30,则S13=78”为真命题,
由于印刷问题,括号内的数模糊不清,可以推得 其中的数为 分析 17 . 由S13=78,可得关于a1与d的方程,设括号内

数为x,可得关于a1,d的方程,联立可解得x=17.

解析

设等差数列{an}公差为d,首项为a1,括号内

为x,依题意有:
13 (13 ? 1) ? d ? 78 ?13 a 1 ? , 解得 x ? 17 . 2 ? ? 5 a 1 ? ( 6 ? 8 ? x ? 1) d ? 30 ?

探究拓展

用方程的思想建立关于基本量的等

式,通过解方程(组),使问题得以解决,是处

理数列问题的基本方法与思路.数列中基本量一般
指首项a1、公差d、公比q、项数n、第n项an、前n 项和Sn,关联式为an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,
S n ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d ? ( a1 ? a n ) n 2 , Sn ? a1 (1 ? q )
n ?1

1? q

( q ? 1).

方程思想的应用,使各基本量之间关系表现的形
象生动,备考者要细细体会,牢固掌握.

变式训练1

若复数z满足条件(1+i)z=1-i,则z=

. -i 解析 设z=a+bi (a,b∈R), 则(1+i)(a+bi)=1-i, 整理有(a-b)+(a+b)i=1-i, a-b=1 a+b=-1, a=0 b=-1,



∴z=-i

【例2】(2009·南京调研)如图所示, 半圆的直径AB=2,O为圆心,C是半

圆上不同于A,B的任意一点.若P为半
径OC上的动点,则(PA+PB)·PC的最小值是 . 解析 设PC长为x (0≤x≤1),则PO长为1-x, 依题意,O为AB中点,所以 PA ? PB ? 2 PO ,
( PA ? PB ) ? PC ? 2 PO ? PC ? ? 2 x (1 ? x )( 0 ? x ? 1).

问题转化为求函数t=2x2-2x,x∈[0,1]的最小值 问题.
t ? 2 x ? 2 x ? 2( x ? ) ? . 2 2
2 2

1

1

当x ?

1 2

时 ,t 有最小值为 ?

1 2

.

故 ( PA ? PB ) ? PC 的最小值为 ?

1 2

.

答案

?

1 2

探究拓展

将题设条件恰当转化,有时可转化为

函数问题,借助函数相关知识,使问题顺利解决.
其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其 取值范围的确定,不同的量作未知数,所得的函 数解析式不同,自变量的取值范围不同,解决问 题的过程繁简程度也不同,这就要求备考者在备

考中要有优化解题过程的意识.

变式训练2 已知 3 sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 0 ,
2 2

求 cos ? ? cos ? 的最值 .
2 2



由已知 sin
2

2

? ?
2

1 2 3 2

( 2 sin ? ? 3 sin
2

2

? ). ? ?2

令 t ? cos ? ? sin ? 1 2 sin
2

? ? cos

? ? ? sin 2 ? ? sin
sin 1 2
2

? ? (sin ? ?

2

?)?2
2

2

? ? sin ? ? 2 ?

(sin ? ? 1) ?

3 2

.

又 2 sin

2

? ? 2 sin ? ? 3 sin 2 ? ? 0
2

2 sin ? ? 3 sin

? ? 2 sin

? ? 2 恒成立 ,

2? ? 即 sin ? ? ? 0 , ? . 3? ? ? 当 sin ? ? 0时 ,t 当 sin ? ? 2 3 时 ,t
max

? 2; 14 9 .

min

?

【例3】(2008·南京调研)已知数列{an}是公差为d 的等差数列,它的前n项和为Sn, 4 ? 2 S 2 ? 4 , bn ? S

1 ? an an

.

(1)求公差d的值;
1

(2)若 a ? ? 5 , 求数列{bn}中的最大项和最小项的 值; 值范围.
2

(3)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取



(1)∵S4=2S2+4,
4?3 2 d ? 2 ( 2 a 1 ? d ) ? 4 .解得 d ? 1 .

? 4 a1 ?

( 2 ) ? a 1 ? ? ,? 数列 ?a n ?的通项公式为 2

5

a ? a ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? . 2 1 1 ?b ? 1? ? 1? . 7 a n? 2 1 7 7 ? 函数 f ( x ) ? 1 ? 在 ( ?? , ) 和 ( , ?? ) 上是单调函数 , 7 2 2 x? 2 ? b ? b ? b ? 1; 当 n ? 4时 , ? b ? b . 1
n 1 n n 3 2 1 n 4

7

( 3 )由 b n ? 1 ?

1 an

, 得 bn ? 1 ? 1

1 n ? a1 ? 1

.

又函数在 f ( x ) ? 1 ? 上均是单调减函数

x ? a1 ? 1

在 ( ?? ,1 ? a 1 ) 和 (1 ? a 1 , ?? )



且 x ? 1 ? a 1时 ,y ? 1; x ? 1 ? a 1时 ,y ? 1 .

∵对任意的n∈N*,都有bn≤b8, ∴7<1-a1<8.∴-7<a1<-6.

∴a1的取值范围是(-7,-6).
探究拓展 解决数列问题,似乎永远离不了函数 与方程思想,因为数列实质是特殊的函数,回归 函数后,便于使用函数的性质与图象等工具解决 数列问题,从本例中可见一斑.函数
y? 1 x? 7 2

的单

调性结合定义在正自然数集上的数列,便确定了 最大项与最小项,若作出函数图象,则使结论更 加明显.因此,可以说“学数列离不了函数”.数

列基本量间的关系是靠方程维系的,基本量间的
互求当然离不了方程(组)的建立,如本例第(1)问.

变式训练3

已知 a n ?

n n ? 156
2

(n∈N*),则数列 项.

{an}的最大项是第 解析
an ?
156 n

12和13
? n? 1 , 156 n
156 n
2

n n ? 156
2

?n?

? 2 156 , 当且仅当 n ?
* 2

, n ? 156 时 , a 取得
2 n

最大值 , 又 n ? N , 且 12 ? 144 ,13 ? 169 ,? n ? 12 或 13 , 又a ?
12 12

12 300
13

?

1 25

,a ?
13 12 13

13 325

?

1 25

.

可得 a ? a , 即 a 与 a 同是最大项 .

【例4】(2009·通州第四次调研)某厂家拟在2009 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售

量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m
(m≥0)万元满足x ? 3 ?
k m ?1

(k为常数),如果不

搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件.已知 2009年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1 万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品

的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产
品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包 括促销费用). (1)将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费 用m万元的函数;

(2)该厂家2009年的促销费用投入多少万元时, 厂家的利润最大?



(1)由题意可知,当m=0时,x=1,
2 m ?1 8 ? 16 x 1 .5 ? 元. x ,

? 1 ? 3 ? k , 即 k ? 2 ,? x ? 3 ? 每件产品的销售价格为 ? 2009 年的利润

8 ? 16 x ? ? y ? x 1 .5 ? ? (8 ? 16 x ? m ) ? ? x ? ? ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? 2 m ?1 )?m

? 16 ? ?? ? ( m ? 1) ? 29 ( m ? 0 ). ?m ?1 ? ? ?

( 2 ) ? m ? 0时 , ? ( m ? 1) ? 2 16 ? 8 . m ?1 16 ? y ? ? 8 ? 29 ? 21 , 当且仅当 ? m ? 1, m ?1

16

即m=3时,ymax=21. 答 该厂家2009年的促销费用投入3万元时,厂家 的利润最大,最大为21万元. 探究拓展 (1)解决实际应用问题的关键是对问题 实质的把握,通过对问题本质的分析研究,建立 相应恰当的函数模型(或方程),把实际问题转 化为数学问题处理. (2)解决实际问题不论建立怎样的数学模型,不要 忘记将问题回归到原问题上去,应保证答案结果 符合实际意义.

变式训练4

(2009·扬州市五月模拟)诺贝尔奖

发放方式为:每年一次,把奖金总金额平均分成6

份,奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生
理学和医学、和平)为人类作出了最有益贡献的 人.每年发放奖金的总金额是在该年度所获利息的 一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证 奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r=6.24%.

资料显示:1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为
19 800万美元.设f(x)表示为第x (x∈N*)年诺贝 尔奖发奖后的基金总额(1999年记为f(1)). (1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出 函数f(x)的表达式;

(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是

否为真,并说明理由.
(参考数据:1.062 410=1.83,1.031 210=1.36) 解 (1)由题意知:
1 2

f(2)=f(1)·(1+6.24%)f(1)·(1+3.12%),

·f(1)·6.24%=
1 2

一般地:f(3)=f(2)·(1+6.24%)f(2)·6.24% =f(1)·(1+3.12%)2,

·

∴f(x)=19 800·(1+3.12%)x-1 (x∈N*).

(2)2008年诺贝尔奖发奖后基金总额为: f(10)=19 800·(1+3.12%)9=26 107,

2009年度诺贝尔奖各项奖金额为
1 6 ? 1 2 ? f (10 ) ? 6 . 24 % ? 136 万美元 ,

与150万美元相比少了14万美元. 答 新闻“2009年度诺贝尔奖各项资金高达150万

美元”不真,是假新闻.

规律方法总结 1.函数与方程两种思想是密切相关的,函数问题可

转化为方程问题来解决;方程问题也可以用函数
思想来处理.如求函数y=f(x)的零点,就是解方程 f(x)=0;解不等式f(x)>0 (或f(x)<0),就是求函 数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间. 2.函数与方程思想的应用概括地讲,一是构建函数

与方程,二是应用函数与方程的性质思考问题.
含有一个变量的等式,就是方程,含有多个变量 的等式可理解为方程,也可转化为函数.理解为

方程就是要考虑有解的条件,及解方程过程的合
理性;理解为函数,就在于确定解析式与定义域.

3.构造函数解决数学问题,是函数思想应用的较高 境界,因为这种“构造”带有一定的“创造” 性,事后看起来合理自然,其背后是构造者精心 构思、综合多种知识的能力和匠心独运的结果.备

考过程中,要不断总结归纳用函数的观点和方法
分析与解决常见数学问题的方法技巧,自觉地充 分合理地运用函数与方程的思想,提高数学意识 和数学思维的能力.只有平时多加强训练并注意总 结积累,才能不断提高能力,解题时才能得心应 手、运用自如.

4.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想 (1)实际应用题中,建立适当的数学模型和函数关

系式,应用函数性质或不等式知识解答,或依据
题中的等量关系列方程(组),通过解方程(组) 使问题得以解决. (2)将函数解析式转化为方程(注意转化后未知数 的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范

围),利用方程有解的条件解决有关问题.
(3)将方程中(也可能是含有多个变量的数学问题 中)某个合适的未知可变量作为主变量,构造出

恰当的函数解析式,揭示出其中的函数关系式,
依据函数性质解决问题.

(4)数列是特殊的函数,是定义在正自然数集(或
其子集)上的函数,数列的通项公式,前n项和公

式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以
用函数方法解决.

(5)对不等式解集的研究,可以构造出函数,转化
为函数值域限定问题处理. (6)直接研究具体函数,求解函数性质问题,如极 值、最值、单调区间、周期性等.

一、填空题 1.(2009·金陵中学三模)已知等差数列{an}满足: a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得 的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 -1 . 解析 公差d=a2-a1=2,a4=a1+3d=-2, a5=a1+4d=0. 设同加上x合乎题意,则(a4+x)2=(a1+x)(a5+x),

即(-2+x)2=(-8+x)·(0+x),解得x=-1.

?y ? x 2.(2009·南京调研)已知变量x、y满足 ? x ? y ? 2 , ? ? y ? 3x ? 6 则z=2x+y的最大值为 . ? 9

解析

依据约束条件画出可行域,由目标函数

z=2x+y得平移直线斜率为-2,在可行域内平移直线

y=-2x+z,且最大截距对应z取最大值,可得最优解
是(3,3),zmax=9.

3.(2008·湖北)方程2-x+x2=3的实数解的个数为 2 解析
2

. 方程可变形为
?x

3? x ? 2

?( ) , 2
x 2 x

1

构造函数 y ? 3 ? x 与 y ? ( 1 ) ,
2

并分别作出它们的图象,易知有2个交点,所以方 程有2个实数解.

4.(2008·扬州模拟改编)对任意函数 f(x),x∈D,可按图构造一个数列发

生器,其工作原理如下:
①输入数据x0∈D,经数列发生器输出 x1=f(x0); ②若x1? ?D,则数列发生器结束工作; 若x1∈D,则将x1反馈回输入端,再输出

x2=f(x1),并依此规律继续下去.现定义
f ( x) ? 4x ? 2 x ?1 . 若要数列发生器产生一个无穷的常数

数列,试求输入的初始数据x0的值为

.

解析 ? f ( x ) ? ∴x=1或x=2.

4x ? 2 x ?1

? x ,即 x ? 3 x ? 2 ? 0,
2

即当 x ? 1或 2时 , x ?
0 n ?1

4x ? 2
n

x ?1
n

?x.
n

故当x0=1时,xn=1;当x0=2时,xn=2 (n∈N*). 答案 1或2

5.若( 2 x ? 3 ) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2(a1+a3)2的值为 . 1
4

解析
0

由题设令x=1,
1 2 3 4

得 a ? a ? a ? a ? a ? (2 ?
0 1 2 3

3) .
4

4

① 3) . 3 ) ?.
4 4 4

令 x ? ? 1, 得 a ? a ? a ? a ? a ? ( ? 2 ? ①?② 2 ① ?② 2
2

② ③ ④

,得a ? a ? a ?
0 2 4

1 2

?( 2 ?
4

3) ? (?2 ?
4

,得a ? a ?
1 3 2 0

1 2
2

?( 2 ?
2 4 2 4

3) ? (?2 ?
2 1 3

3 ) ?.

③ ? ④ , 得 (a ? a ? a ) ? (a ? a ) ? (2 ? ?? ? ? 1. 3) ? (?2 ?
4

2

3) ? ? (2 ? ? ?? ? ?

3) ? (?2 ?
4

2

3) ? ? ?
4

2

6.(2009·通州五月查漏补缺卷)已知两个不 共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,且 OA ? 3, 若点M

在直线OB上,且 OA ? OM 的最小值为 3 , 则 ? 的
2

值为
2

.

解析 设 t ? OA ? OM , 则 t 最小值为 9 .

4 ①当点M在射线OB上时, 与 OA的夹角为 ? , OM

t ? OA ? OM
2

2

? 2 OM ? OA

? 9 ? OM
2

2

? 6 OM ? cos ?

? OM ? 6 cos ? OM ? 9 依二次函数知识可知:

当 OM ? ? 3 cos ? 时 ,t 取得最小值为 即 9 cos ? ? 18 cos ? ? 9 ?
2 2

9 4 3 4 ,

,

9 4

, cos ? ?
2

? OM ? ? 3 cos ? ,? cos ? ? 0 ,? cos ? ? ? 又 ? ? ( 0 , ? ),? ? ? 5 6

3 2

.

?. , OM 与 OA的夹角为 ? ? ? ,

② 点 M 在射线 OB 反向延长线上时

由上面知 ? ? ? ?

5 6

? ,? ?

?
6

.

注意:计论点M与射线OB的位置关系是正确解题
的关键. 答案
?
6 或 5? 6

二、解答题 7.已知关于n的不等式
? 2 3 ,

1

n ?1

?

1 n?2

?? ?

1 2n

?

1 12

log ( a ? 1)
a

对于一切大于1的正整数n都成立,试求实数a

的取值范围.

解 设 f ( n ) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ( n ? N 且 n ? 2 ),
*

n?2 2n 1 1 1 ? f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? ? 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 1 ? ? 0, ( 2 n ? 1)( 2 n ? 2 )

n ?1

∴f(n)是关于n的递增函数,

? n ? 2时 , f ( n ) ? f ( 2 ) ? 要使 f ( n ) ? 1 12 1

1 3

? 2

1 4

?

7 12

.

3 2 7 必须且只需 log ( a ? 1) ? ? , 12 3 12 即 log ( a ? 1) ? ? 1 .
a a

log ( a ? 1) ?
a

对于一切 n ? 2的恒成立 ,

? a ? 1,? a ? 1 ?

1 a

, 解得 1 ? a ? 5 ?1 2

5 ?1 2 ).

.

故所求 a 的取值范围是 (1,

8.已知椭圆方程为

x

2

P(x,y)到定点A(a,0)(其中0<a<3)的距离的最

9

?

y

2

4

? 1, 在椭圆上是否存在点

小值为1,若存在,求出a的值及P点坐标,若不存
在,请给予证明. 解 设存在P(x,y)满足题设条件, ∴|AP|2=(x-a)2+y2,
又? x
2

9
2

?

y

2

4

? 1,? y ? 4 (1 ?
2 2

x

2

9

).

? AP ? ( x ? a ) ? 4 (1 ? ? 5 9 (x ? 9 5 a) ? 4 ?
2

x

2

9

)

4 5

a .

2

9 ? x ? 3,? 当 a ? 3时 , 5

即 0 ? a ? 时 ,AP 的最小值为 4 ? a , 3 5
2 2

5

4

? 5? 依题意 , ? a ? 1,? a ? ? 4 ? ? 0, , 5 2 ? 3? ? 4
2

15



9 5

a ? 3时不符合题意 .

9 5 ? a ? 3, 即 ? a ? 3 . 5 3 此时 x ? 3, AP 取最小值 ( 3 ? a ) .
2 2

依题意(3-a)2=1,∴a=2.
此时P点的坐标是(3,0), 故当a=2时,存在这样的点P满足条件,P点坐标为 (3,0).

9.(2009·扬州中学调研)某建筑的金 属支架如图所示,根据要求AB至少长

2.8 m,C为AB的中点,B到D的距离
比CD的长小0.5 m,∠BCD=60°,已 知建造支架的材料每米的价格一定,问怎样设计 AB,CD的长,可使建造这个支架的成本最低? 解 设BC=a m(a≥1?4),CD=b m.

连结BD.
1 2 2 2 则在 ? CDB 中 , ( b ? ) ? b ? a ? 2 ab cos 60 ? . 2 1 2 a ? 4 ?b ? a ?1

? b ? 2a ?

4 ? 2 a. a ?1 2 .8 设 t ? a ? 1, t ? ? 1 ? 0 .4 , 2 1 2 ( t ? 1) ? 4 ? 2 ( t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7 , 则 b ? 2a ? t 4t 等号成立时 t ? 0 . 5 ? 0 . 4 , a ? 1 . 5 , b ? 4 .

a ?
2

1

答 当AB=3 m,CD=4 m时,建造这个支架的 成本最低.

10.(2009·淮安市五月调研)已知函数f(x)=ln xx+1,x∈(0,+∞). (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)设a≥1,函数g(x)=x2-3ax+2a2-5,若对于任意

x0∈(0,1),总存在x1∈(0,1),使得f(x1)=g(x0)成
立,求a的取值范围; (3)对任意x∈(0,+∞),求证: ? 1 x (1)解 ? f ?( x ) ? 1 ? 1 ? 1 ? x ,
x x
1 ? ln x ?1 x ? 1 x .

∴当x>1时,f′(x)<0;当0<x<1时,f′(x)>0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),

单调递减区间为(1,+∞),极大值为f(1)=0, 无极小值.

(2)解

∵g′(x)=2x-3a (a≥1),

∴当x∈(0,1)时,g′(x)=2x-3a<0,g(x)单调递减, 此时g(x)值域为(2a2-3a-4,2a2-5). 由(1)得,当x∈(0,1)时,f(x)值域为 (-∞,0),

由题意可得 2 a ? 5 ? 0 , 所以 1 ? a ?
2

10 2

.

(3)证明 令 x ? 1 ? t , 则 x ? 1 ,
x t ?1
1 t

∵x>0,∴t>1,原不等式等价于1 ? ? ln t ? t ? 1,

由(1)知f(t)=ln t-t+1在(1,+∞)上单调递减, ∴f(t)<f(1)=0,即ln t<t-1,
令 h ( t ) ? ln t ? 1 ? ,? h ?( t ) ? ? ? t t t t 当 t ? (1, ?? )时 , h ?( t ) ? 0 ,
2

1

1

1

t ?1
2

,

? h ( t ) ? ln t ? 1 ? 在 (1, ?? ) 上单调递增 , t 1 ? h ( t ) ? h (1) ? 0 , 即1 ? ? ln t . t 综上所述 , 对任意 x ? ( 0 , ?? ), 恒有 1 x ?1 ? ln x ?1 x ? 1 x 成立 .

1

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