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【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)2


第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b
a

b a
O. B

o.
a+b A B

a+b
A C

复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b

a

-b

a

b

o.
A B A

o.
a-b

B

练习1:
? 有一边长为1的正方形ABCD,设 AB ? a, ? ? BC ? b , AC ? c

求: ?1? a ? b ? c


?2? a ? b ? c


?3? a ? b ? c
E

? b


? c

? c
O

? a

G



DB
F

2、判断题:
(1)相反向量就是方向相反的向量 (2) (3)

? (4) 在△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ? (5)若 AB ? BC ? CA ? 0,
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。

? AB ? BA ? 0 AB ? OA ? OB

(错)

(对 )
(错) (对 )

(错)

3、选择题:
? ? (1)在△ABC中,BC ? a, CA ? b ,则 AB ? ? ? ?
? ( A)a ? b ? ( B) ? (a ? b ) ? (C )a ? b
? ? ? ? (2)如图,已知 OA ? a, OB ? b , OC ? c , OD ? d ,

? ( D)b ? a

等于( B )

? ? ? ? ? ( A)a ? b ? c ? d ? 0 ? ? ? ? ? ( B)a ? b ? c ? d ? 0 ? ? ? ? ? (C )a ? b ? c ? d ? 0 ? ? ? ? ? ( D) a ? b ? c ? d ? 0

且四边形ABCD为平行四边形,则 A B C D

(B )

O

4、填空题:

(1) AD ? CA ?

CD

(2) AB ? CB ? DC ?

AD

(3) AB ? AC ? BD ? CD ? 0

实际背景

在物理中:位移与速度的关系:s=vt, 力与加速度的关系:f=ma. 其中位移、速度,力、加速度都是向量, 而时间、质量都是数量

? a ? ? ? ? 3a = a + a + a
A B C D

? (- ? ) ? ? - 3a =(- a ) + (- a ) + a
A B C D

? a

练习1:
如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)..

a O a -a B -a -a -a P
PB= (-a)+(-a) )+(-a) =-3a

a

a

A

OA= a+a+a =3a

探究: 相同向量相加以后,和的长度与方向有什么变化?

定义:
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运

算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:

(1) 长度 (2) 方向

|λa|=|λ|· |a|

当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0

几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 a (不改变)a 的方向,就得到了λ

? ?a
? ? 数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 ? ? ? 方向放大或缩短.若 a ? 0 ,当 ? ? 1时,沿 a 的方 ? 向放大了 ? 倍.当〈 沿 a 的方向缩短了 ? 倍. 0 ?〈 1时, ? ?〈 1 ?〈0时, 当? ? ?1时,沿 a 的反方向放大了? 倍.当 ? 沿 a 的反方向缩短了 ? 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.

练习2:
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3(2a )
结论: 3(2a)=6

a

? 3(2a )

(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b ?

=

? 6a

a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b

? 2b
? 2a

结论: 2a+2b=2(a+b)

三、向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,

(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;

?

?

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? 特别地:(? ?) a ? ? ?a ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

例1.计算: ( 1 ) (? 3) ? 4a (2) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a (3) (2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c)
解: (1) 原式 = -12a (2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b

(3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ,μ , 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2

思考:
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 2、如果非零向量a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ? 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。

若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长 度的μ倍,即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时,有b=μa;
当a与b反方向时,有b=-μa, 所以始终有一个实数λ,使b=λa。

定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ,使得 b=λa.
思考:( 1 )为什么规定 a ? 0 (2) 若b ? 0 , 则情况会怎样?

小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线

二、知识应用: 1.证明 向量共线; 2.证明 三点共线: AB=λBC 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合

A,B,C三点共线;
直线AB∥直线CD

例3: 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

D

C

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2

N A M B

基础知识反馈

? (1).设 a

是非零向量,? 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 ? ? a 的方向相反 C. ? a ? a
2

的方向相同 D. ? a ? ? a B. a与? a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
? 对于实数 m和向量a、 b ,恒有m(a ? b ) ? ma ? mb; ? 对于实数 m、n和向量a,恒有 (m ? n)a ? ma ? na; ? 若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; ? 若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

例2 : 若

? ? 其中a , b

3m ? 2n ? a

m ? 3n ? b ?? ? 是已知向量,求 m , n

分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得

解:记 3m ? 2n

? a ①, m ? 3n ? b


2 1 a ? b, 5 5 2 1 b? a 5 5

3②得 3m ? 9n ? 3b ③
3 2 1 3 ①-③得 n ? 11 a ? 11 b, ? m ? 11 a ? 11 b

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

例3 如图所示,已知 OA ' ? 3OA , A ' B ' ? 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系.
'

B

'

解: 因为 OB' ? OA' ? A' B'

B

? 3OA ? 3 AB
? 3(OA ? AB)

o A

A

'

? 3OB 所以, OB' 与OB 共线同方向,长度是OB 的3倍 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?

反馈演练:
1. 在?ABC 中,设D为边BC的中点,求证:
解:因为

1 (1) AD ? ( AB ? AC ) (2)3AB ? 2BC ? CA ? 2 AD 2
AD ? AB ? BD



1 ? AB ? BC 2

1 1 ? AB ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? BC ) 2 2

(2) 原式左边 ?







AB ? 2 AB ? 2BC ? CA ? AB ? 2 AC ? CA

? AB ? AC ? 2 AD ? 右边
所以,所证等式成立


B D

解2: 过点B作BE,使 BE ? AC 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点,则D也是AE中点.

C 由向量加法平行四边形法则有

E

AB ? AC ? AE ? 2 AD 1 ? AD ? ( AB ? AC ) 2

例4: 如图,在 ?OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB ? b, 请用 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA ? a,

a, b表示向量 OC, DC.

B

?D b ?E A 的联系,为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a, b

a

O 解:因为A是BC的中点,所以
1 OA ? (OB ? OC ), 即OC ? 2OA ? OB ? 2a ? b. 2

C

2 2 5 DC ? OC ? OD ? OC ? OB ? 2a ? b ? b ? 2a ? b 3 3 3

1 (1) D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 A 则AD等于 ( C )

1 A. ( a ? b) 3 1 C. (2a ? b) 3

1 B. (b ? a ) 3 1 D. ( 2b ? a ) B 3

D

C

(2) 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ ? a? b 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? ( 3 a ? b) , AM ? a ? b, 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 4 2 4 4

课堂小结:
一、①λ

a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa

②向量共线定理

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD


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