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北师新七下 两条直线的位置关系1


北师大七年级(下) 《数学》( 北师大.七年级 下册 )

2.1

双杠

扶手

铁轨

一、两直线位置关系
阅读课本38页至“议一议”前,完成以下问题:
1. 在同一个平面内 做相交线。 , 只有一个交点 的两条直线叫

不相交 的两条直线叫做平行线. 2. 在同一个平面内 ,
平行 相交 3.同一平面内,两条直线的位置关系有____和_____ 两种。

4.不相交的两条直线一定是平行线吗?
检测

大家来找茬
同一平面内 判断下面说法是否正确:

(1)不相交的两条直线叫做平行线。
直线 (2)在同一平面内,不相交的两条线段

( ×)

是平行线 。

( ×)

(3)两条直线,要么平行,要么相交。 ( × )

二、对顶角
观察·发现1
如图,直线AB、CD相交于O 图中还有没有 ∠1和∠2有什么位置关系? 其他对顶角?
直线AB与CD相交于点O,∠1与 ∠2有公共顶点O,它们的两边互 为反向延长线,这样的两个角叫 做对顶角。

1

对顶角定义:有公共顶点,并且两边互为反向延长线, 的两个角叫做对顶角。

认一认 (1)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是( D )
1
2 B A 1 2

2
1 C

2 1 D

找一找
B
1

(2)如图所示,直AB、CD相 交于O点,OE是射线,则∠1 的对顶角是 ∠3 ,∠4的 对顶角是 ∠AOD 。

D E
2

O4
3

A

C

观察·发现2

请你观察图中∠1和 ∠2这组对顶角,你 发现它们的大小有什 么关系?

探究对顶角性质:
已知:如图,直线AB与CD交于O. 求证:∠1=∠2
A

C

)2

1(

O

B

证明: ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)

∠2 +∠AOC =180°(平角定义) D ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)

算一算
(3)如图,已知∠DOE=90°,AB是经过点 O的一条直线。如果∠AOC=700,那么 ∠BOF等于多少度?为什么?

D E A C O

∵∠AOC=70°(已知)

∴∠BOD=70°(对顶角相等)

B ∵∠DOE=90°(已知) F
∴∠DOF=90°(平角定义) ∴∠BOF=∠DOF-∠DOB

=90°- 70°=20°

三、余角和补角的定义
1、定义:
如果两个角的和等于180? ,那么这两个角叫做 互为补角。简称这两个角互补 。 如果两个角的和等于90? ,那么这两个角叫做 互为余角。简称这两个角互余 。

2、问题:
(1)定义中的“互为”一词如何理解?

(2)∠1 + ∠2 + ∠3

= 180°,能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗?

(3)互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边?

练习1:
∠α
5° 77° 62°23′ x°

∠α的余角
85° 13° 27°37′ 90°-x °

∠α的补角
175° 103°

117°37′ 180°-x °

思考: 1.锐角是否都有余角和补角?钝角呢? 2.同一个锐角的补角比它的余角大多少?

180 -x - (90 -x

o

o

o

o

)=90°

练习2: 若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个 角的度数。 解:设这个角是x °,则它的补角是(180-x°),

余角是(90°-x°) ,根据题意得:
180-x = 4 (90-x) 解得: x = 60 答:这个角的度数是60 °。

四、余角和补角的性质
打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球 会直接入袋,此时∠1=∠2,将图2-2抽象成图2-3,ON与DC交于 点O,∠DON=∠CON=900,∠1=∠2。
D 1 3 4 O 2 C

A 图2—2

N 图2-3

B

小组合作交流,解决下列问题:在图2—3中 问题1:哪些角互为补角?哪些角互为余角? 问题2:∠3与∠4有什么关系?为什么? 问题3:∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?

巩固练习1

1)若∠1与∠2互余, ∠2与∠3互余,则 ∠1= ∠3 同角的余角相等 ___________,根据___________. 2)若∠1与∠2互补, ∠2与∠3互补, ∠1= ∠3 同角的补角相等 则___________,根据___________.

巩固练习2

如图1-2-3,已知∠AOC与∠BOD都是直角, ∠BOC=60°. (1)求∠AOB和∠DOC的度数; (2)∠A OB与∠DOC有何大小关系; (3)若不知道∠BOC的具体度数,其他条件 不变,这种关系仍然成立吗?请说明理由。

巩固练习3
(1)如图①,△ABC中,∠C=90°.则∠A是∠B的 。

(2)变式训练:在①的基础上,作∠CDA=900,如图②. 1.则∠A的余角有哪几个?为什么? 2.请找出图中相等的角,并说明理由。
C C
1

A 图①

B

A

D 图②

B

A
O

B

C

D

A
O

B

C

D

对 顶 角

D 3 2 A

1

O 4

B

C

定义:一个角的两边是另一个角两边的反向 延长线,这两个角叫做对顶角。

那么∠3和∠4 呢? 也是对顶角!

对顶角
C

如图,直线AB和CD相交 于点O,我们就把其中的
∠1和∠2叫做对顶角。

A

O

)2
B

D

还有没有对顶角? ∠AOC和∠BOD

试一试!
(1)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的是(D)
1 2 A 2 1 C 2 1 D B 1 2

(2)如图所示,直AB、CD相 交于O点,OE是射线,则∠4 的对顶角是 ∠AOD ,∠1的 对顶角是 ∠3 。

D E
2 1

B

O4
3

A

C

对顶角性质:对顶角相等
已知:如图,直线AB与CD交于O. 求证:∠1=∠2

C

)2
A

1(

O

B

D

证明:∵直线AB与CD交于O(已知), ∴∠1 +∠AOC =180° (平角定义) ∴∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 = ∠2 (等式性质)

性质的应用

如图所示,三条 直线AB、CD、EF相交 于一点O,∠AOC的对顶 角是 ∠DOB ,∠COF的 ∠DOE 对顶角是________.

A

F

C

O

D

E

B

如图,三条直线AB、
CD、EF两两相交,在这
6 个图形中有对顶角__对,
C D E B

A

F

若直线AB,CD相交,∠1=400 则∠2 =____ 度,∠3 =____ 度,∠4 =____度 140 40 140
C 2 3 4 B

若把上题中∠1=400 这 个条件换成其他条件, 而结论不变,请自编几 道题。

A

1

D

如图所示,三条直线AB、CD、EF相 交于O点,∠1=400,∠2=750,则 ∠3等于多少度?
A 解: ∵ ∠1=40° ∠2= 75 °(已知) ∴ ∠AOF= 180 ° - ∠2 - ∠1 C = 180 ° - 75 ° - 40 ° = 65 ° ∴ ∠3= ∠ AOF= 65 °(对顶角相等) 1 2

F

O 3
B

D

E

学 以 致 用

要测量两堵墙所成的角的度数,但 人不能进入围墙,如何测量


A

B C

O D

发 现 之 旅——
2 两条直线相交有对顶角_______对

6 3条直线相交有对顶角_______对

12 4条直线相交有对顶角_______对

...
n(n-1) n条直线相交有对顶角_______对

n条直线

说说看,你学到了什么?

还有什么疑问?


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