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高中数学 1.1正弦定理和余弦定理教案(2) 新人教A版必修5


1.1.1 正弦定理
●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生 通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合情推理探索 数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之 间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图 1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如 图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有

a ? sin A , c

b c ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中, ? ? sin A sin B sin C

A b C a (图 1.1-2) c B

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义,有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A


?

b
sin B

, b A

C a c B

c
sinC ?

?

b
sin B ?

a
sin A

b
sin B

c
sin C

(图 1.1-3) 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。
用心 爱心 专心 1

? ??? ? ? (证法二) :过点 A 作 j ? AC ,
由向量的加法可得 则

C

AB ? AC ? CB
? ??? ?

???

??? ??? ?
? ??? ??? ? ?

j ? AB ? j ?(AC ? CB )
? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

A

B

? ? j

? ??? ? ? ??? ? j AB cos? 900 ? A ? ? 0 ? j CB cos? 900 ? C ?
∴ csin A? asinC ,即

a c ? sin A sin C

? ??? ? 同理,过点 C 作 j ? BC ,可得
从而

b c ? sin B sin C

a

sin A sin B sin C 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

?

b

?

c

a

sin A sin B sin C [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数 k 使 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC ;
(2)

?

b

?

c

a

sin A sin B sin C 从而知正弦定理的基本作用为:

?

b

?

c

等价于

a
sin A

?

b
sin B



c
sinC

?

b
sin B



a
sin A

?

c
sin C

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?

b sin A ; sin B
a b

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A ? sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (32.00 ? 81.80 )

? 66.20 ; 根据正弦定理,

asin B 42.9sin81.80 ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.00 根据正弦定理, b?
用心 爱心 专心 2

asin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2. ?ABC 中, 在 已知 a ? 20 cm,b ? 28 cm,A? 400 , 解三角形 (角度精确到 10 , 边长精确到 1cm) 。 解:根据正弦定理, c?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时, sin B ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

asin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

⑵ 当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ,

asin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400 评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 Ⅲ.课堂练习 第 5 页练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ,求 a :b :c (答案:1:2:3) Ⅳ.课时小结(由学生归纳总结) c?
(1)定理的表示形式:

a

sin A sin B sinC 或 a ? k sin A , b ? k sin B , c ? k sinC (k ? 0) (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。 Ⅴ.课后作业 第 10 页[习题 1.1]A 组第 1(1) 、2(1)题。 ●板书设计 ●授后记

?

b

?

c

?

a ? b ?c ? k ? k ? 0? ; sin A ? sin B ? sinC

用心

爱心

专心

3

课题: §1.1.2 余弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能: 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法, 并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。 过程与方法: 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定 理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; ●教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c A Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 ? ? ? ? ??? ? ?? ? ??? ? 如图 1.1-5,设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 b c (图 1.1-4) a B

A

? b

? c

c ? c ?c ? a ? b a ? b
? ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? ? b ?? a?? b 2 ? 2 b2 ? a ? b ? 2a ? b

?2

? ?

?

?

? ?

??

?

?
C

? a

B

从而 同理可证

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

(图 1.1-5)

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

于是得到以下定理 余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
用心 爱心 专心 4

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一 角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A? cos B ? cosC ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc a 2 ? c 2 ? b2 2ac b2 ? a 2 ? c 2 2ba

[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC ? 0 ,这时 c2 ? a2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例 1.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A ? ∴ A? 600.

b 2 ? c 2 ? a 2 (2 2) 2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ? ( 6 ? 2)

a 2 3 解法二:∵sin A ? sin B ? ?sin450 , b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ?3.8,

2 3 < 2?1.8?3.6,
∴ a < c ,即 00 < A < 900, ∴ A? 600. 评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ?87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形
用心 爱心 专心 5

(见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 解:由余弦定理的推论得: cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

87.82 ?161.72 ?134.62 2?87.8?161.7 ? 0.5543, A?56020? ; ?
cos B ?

c 2 ? a 2 ? b2 2ca

134.62 ?161.72 ?87.82 2?134.6?161.7 ? 0.8398, B ?32053? ; ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?)
Ⅲ.课堂练习 第 8 页练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]在 ? ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A(答案:A=120 0 ) Ⅳ.课时小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 Ⅴ.课后作业 ①课后阅读:课本第 9 页[探究与发现] ②课时作业:第 11 页[习题 1.1]A 组第 3(1) ,4(1)题。 ●板书设计 ●授后记

用心

爱心

专心

6

课题: §1.1.3 解三角形的进一步讨论 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三 角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函数公 式及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观: 通过正、 余弦定理, 在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 ●教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 ●教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景] 思考:在 ? ABC 中,已知 a ? 22cm , b ? 25cm , A ? 1330 ,解三角形。 (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现, 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时, 在某些条件下会出现 无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 例 1.在 ? ABC 中,已知 a, ,A ,讨论三角形解的情况 b 分析:先由 sin B ? 则 C ? 1800 ?(A ? B ) 从而 c ?

b sin A 可进一步求出 B; a

a sin C A

1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 ? 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习 1] (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 450 ,试判断此三角形的解的情况。
用心 爱心 专心 7

(2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 400 ,则符合题意的 b 的值有_____个。 2

(3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范 cm 围。 (答案: (1)有两解; (2)0; (3) 2 ? x ? 2 2 ) 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 分析:由余弦定理可知

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) 解:?72 ? 52 ? 32 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 , ∴ ?ABC是钝角三角形 。 [随堂练习 2] (1)在 ? ABC 中,已知 sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案: (1) ?ABC是钝角三角形 ; (2) ? ABC 是等腰或直角三角形) 例 3.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1 ,面积为

3 a ? b ?c ,求 的值 2 sin A ? sin B ? sin C 1 1 1 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正弦定理 2 2 2

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?

a ? b ?c sin A ? sin B ? sin C

1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2
则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 , 从而

a ? b ?c a ? ?2 sin A ? sin B ? sin C sin A Ⅲ.课堂练习

(1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? (答案: (1) 600 或 1200 ; (2) 450 ) Ⅳ.课时小结 (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法; (3)三角形面积定理的应用。
用心 爱心 专心 8

a2 ? b 2 ?c 2
4

,求角 C

Ⅴ.课后作业 (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 300 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围。 (3)在 ? ABC 中, A ? 600 , a ? 1 , b ? c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状。 (4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 ? 7x ? 6 ? 0 的根, 求这个三角形的面积。 ●板书设计 ●授后记

用心

爱心

专心

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