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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第三章 三角恒等变换 3.1.2(一) 课时作业]


3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

课时目标 1.在两角差的余弦公式的基础上,会推导两角和与差的正弦、余弦公式.2.灵活运 用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明.

1.两角和与差的余弦公式 C(α-β):cos(α-β)=__________________. C(α+β):cos(α+β)=__________________. 2.两角和与差的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=__________________________. S(α-β):sin(α-β)=____________________________. 3.两角互余或互补 π (1)若 α+β=________,其 α、β 为任意角,我们就称 α、β 互余.例如: -α 与__________ 4 π 互余, +α 与________互余. 6 π (2)若 α+β=________, 其 α, β 为任意角, 我们就称 α、 β 互补. 例如: +α 与______________ 4 2 互补,____________与 π-α 互补. 3

一、选择题 1.计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 2.sin 245° sin 125° +sin 155° sin 35° 的值是( ) 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 4 3 3.若锐角 α、β 满足 cos α= ,cos(α+β)= ,则 sin β 的值是( ) 5 5 17 3 7 1 A. B. C. D. 25 5 25 5 4.已知 cos αcos β-sin αsin β=0,那么 sin αcos β+cos αsin β 的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.± 1 π 5.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值为( ) 2 A.1 B.2 C.1+ 3 D.2+ 3 6. 在三角形 ABC 中, 三内角分别是 A、 B、 C, 若 sin C=2cos Asin B, 则三角形 ABC 一定是( A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 π ? ?π ? 7.化简 sin? ?6+α?+cos?3+α?的结果是________.

)

8.函数 f(x)=sin x-cos x 的最大值为________. 2 1 tan α 9.已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,则 的值是__________. 3 5 tan β sin 68° -cos 60° sin 8° 10.式子 的值是________. cos 68° +sin 60° sin 8° 三、解答题 π 3π 12 3 11.已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求 sin 2α 的值. 2 4 13 5

sin?2α+β? sin β 12.证明: -2cos(α+β)= . sin α sin α

能力提升 π? 4 3 ? 7π? 13.已知 sin α+cos? ?α-6?= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是________. 14.求函数 f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x,x∈R 的最值及取到最值时 x 的值.

1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例,例如: 3π ? 3π 3π sin? ? 2 -α?=sin 2 cos α-cos 2 sin α=-cos α. 2.使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简 sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β) 时,不要将 cos(α+β)和 sin(α+β)展开,而应采用整体思想,作如下变形:sin βcos(α+β)-cos βsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sin α. 3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意,灵活进行三角变换,有效地沟通条件中的角与 问题结论中的角之间的联系,选用恰当的公式快捷求解.

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 答案

知识梳理 1.cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β 2.sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β π π π 3 π 3.(1) +α -α (2)π π-α α+ 2 4 3 4 3 作业设计 1.A 2.B [原式=-sin 65° sin 55° +sin 25° sin 35° =-cos 25° cos 35° +sin 25° sin 35° 1 =-cos(35° +25° )=-cos 60° =- .] 2 4 3 3.C [∵cos α= ,cos(α+β)= , 5 5 3 4 ∴sin α= ,sin(α+β)= . 5 5 4 4 3 3 7 ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α= × - × = .] 5 5 5 5 25 4.D [cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0. π ∴α+β=kπ+ ,k∈Z, 2 ∴sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=± 1.] 1 3 π 5.B [f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2( cos x+ sin x)=2sin(x+ ), 2 2 6 π ∵0≤x< , 2 π π 2π ∴ ≤x+ < . 6 6 3 ∴f(x)max=2.] 6.C [∵sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2cos Asin B ∴sin Acos B-cos Asin B=0.即 sin(A-B)=0,∴A=B.] 7.cos α π π π π 解析 原式=sin cos α+cos sin α+cos cos α-sin sin α=cos α. 6 6 3 3 8. 2 π π? 2 2 ? π? 解析 f(x)=sin x-cos x= 2? sin x- cos x?= 2? ?sin xcos 4-cos xsin 4?= 2sin?x-4?. 2 ?2 ? 13 9. 7 2 sin?α+β?=sin αcos β+cos αsin β= , 3 解析 1 sin?α-β?=sin αcos β-cos αsin β= , 5

? ? ?

?sin αcos β=30 ∴? 7 ?cos αsin β=30

13 ,



tan α sin αcos β 13 = = . tan β cos αsin β 7

10. 3 sin?60° +8° ?-cos 60° sin 8° 解析 原式= cos?60° +8° ?+sin 60° sin 8° sin 60° cos 8° +cos 60° sin 8° -cos 60° sin 8° = cos 60° cos 8° -sin 60° sin 8° +sin 60° sin 8° sin 60° cos 8° = =tan 60° = 3. cos 60° cos 8° π 3π 11.解 因为 <β<α< , 2 4 π 所以 0<α-β< , 4 3π π<α+β< . 2 12 3 又 cos(α-β)= ,sin(α+β)=- , 13 5 12?2 5 所以 sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 1-? ?13? =13, 3 4 - ?2=- . cos(α+β)=- 1-sin2?α+β?=- 1-? ? 5? 5 所以 sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 4 12 3 5 56 - ?+ ×?- ?=- . = ×? 5 5 13 ? ? 13 ? ? 65 sin?2α+β? 12.证明 -2cos(α+β) sin α sin?2α+β?-2sin αcos?α+β? = sin α sin[?α+β?+α]-2sin αcos?α+β? = sin α sin?α+β?cos α+cos?α+β?sin α-2sin αcos?α+β? = sin α sin?α+β?cos α-cos?α+β?sin α = sin α sin β = . sin α 4 13.- 5 π? 解析 sin α+cos? ?α-6? π π =sin α+cos αcos +sin αsin 6 6 3 3 = sin α+ cos α 2 2 3 1 = 3? sin α+ cos α? 2 ?2 ? π π? = 3? ?sin αcos 6+cos αsin 6? π 4 3 α+ ?= = 3sin? ? 6? 5 . π? 4 ∴sin? ?α+6?=5.

7π? 4 ? π? ∴sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. 14.解 设 sin x+cos x=t, π? 2 2 则 t=sin x+cos x= 2? sin x+ cos x?= 2sin? ?x+4?, 2 ?2 ? ∴t∈[- 2, 2], ?sin x+cos x?2-1 t2-1 ∴sin x· cos x= = . 2 2 ∴f(x)=sin x+cos x+sin x· cos x t2-1 1 即 g(t)=t+ = (t+1)2-1,t∈[- 2, 2]. 2 2 当 t=-1,即 sin x+cos x=-1 时,f(x)min=-1. π? 2 此时,由 sin? ?x+4?=- 2 , π 解得 x=2kπ-π 或 x=2kπ- ,k∈Z. 2 1 当 t= 2,即 sin x+cos x= 2时,f(x)max= 2+ . 2 π? ? π? 此时,由 2sin? ?x+4?= 2,sin?x+4?=1. π 解得 x=2kπ+ ,k∈Z. 4 π π 综上,当 x=2kπ-π 或 x=2kπ- ,k∈Z 时,f(x)取最小值且 f(x)min=-1;当 x=2kπ+ ,k∈ 2 4 1 Z 时,f(x)取得最大值,f(x)max= 2+ . 2


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