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高中数学正弦、余弦定理、解斜三角形练习及答案


正弦定理、余弦定理和解斜三角形 一、填空题(3 ? 10=30 分) 1.在 Δ ABC 中,已知 a
? 3 , b ? 1, B ? π 6

,则 c ? ___________

2.已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为 4 : 3 ,则它的顶角的正切值是 __________ 3.在 Δ ABC 中,若 sin A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? cos A sin B ? cos A cos B ? 2 ,那么三 角形的形状为_______________ 4.在 Δ ABC 中, ?cot 5.在 Δ ABC 中, A ?
A ? 1 ??cot B ? 1 ? ? 2 ,则 log
π 3
2

sin C ?

_______________
?

, b ? 1, S ?

3

,则

a?b?c sin A ? sin B ? sin C

6.在锐角 Δ ABC 中,若 tan 7.在 Δ ABC 中,若 8.在
ΔABC
sin
2

A ? t ? 1, tan B ? t ? 1
2

,则 t 的取值范围是__________ ________________

B ? sin

C ? sin

2

A

? 1 ,则 A ?

sin B sin C

中,已知 a

? 2, A ?

π 4

,若此三角形有两解,则 b 的取值范围是

__________________ 9.(A)在 Δ ABC 中, A ? C (B)
c
? 2 B ,b
2

? ac

,则三角形的形状为________________
s


B? t o


、 c C

A?

i ? B c o , 则c 在 C s o 且 s A ?n o B 、 s ia n n B及 + t B ? in n 中 必 为 常 数 的 有 ? t t C cos s cos C C a B?

?C ? ,

_________ 10.(A)在 Δ ABC 中, c ? 1, a ? 2 ,则 C 的取值范围是__________________ (B)已知三角形的三边长分别是 2 a ? 3 , a 2 ? 3 a ? 3 , a 2 ? 2 a ? a ? 0 ? , 则三角形的 最大角等于______________ 二、 选择题 (3 ? 4=12 分) 11 在 Δ ABC 中, sin
A ? sin B ? cos A ? cos B

是C

?

π 2

的(



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 12 . 在 Δ ABC 中 , 若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5 则 此 三 角 形 是 ( ) A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 13 . 在 (
ΔA B C 中

, 若 B.

ac o s

2

C 2

?cc o s

2

A 2

?

3b 2

, 那 么 其 三 边 关 系 式 为 D.
? 2 cx ? a
2

) A. a ? b ? 2 c
a ? c ? 2b

C. b ? c ? 2 a

2 a ? 2 c ? 3b
? 0

14.(A)在 Δ ABC 中, a , b , c 为三角形三条边,且方程 x 2 的实数根,则该三角形是( )
第1页

?b

2

有两个相等

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

(B)已知关于 x 的方程 x 2 ? x ? cos A cos B ? 1 ? cos C ? 0 的两根之和等于两根之 积的一半,则 Δ ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 三、解答题 (10+10+12+12+14=58 分) 15.在 Δ ABC 中,若 sin
B sin C ? cos
2

D.等腰直角三角形

A 2

,试判断三角形的形状

16.在 Δ ABC 中,若 ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ac ,求 B 。

17.在 Δ ABC 中,若 4 sin 2 的值。

B?C 2

? cos 2 A ?

7 2

。 (1)求 A ; (2)若 a ?

3 ,b ? c ? 3

,求 b , c

18.(A)已知 A 码头在 B 码头的南偏西 7 5 ? 处,两码头相距 200 千米,甲、乙两 船同时分别由 A 码头和 B 码头出发,乙船朝着西北方向航行,乙船的航行 速度为 40 海里/小时,如果两船出发后 5 小时相遇,求甲船的速度。 海里 (1 =1.852 千米) (精确到 0.1 海里) (B)甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60 ? 的 B 点处,测的乙船以每小时 a 海里的 速度向正北行使。已知甲船速度是每小时 最快与乙船相遇?
3a

海里,问:甲船如何行驶才能

第2页

19、(A)在 Δ ABC 中,若 sin

A ?

sin B ? sin C cos B ? cos C

, (1)判断三角形的形状; (2)如果三

角形面积为 4 ,求三角形周长的最小值。 (B)三条线段长分别为 sin ? , sin ? 和 sin ? ? ? ? ? ,其中 ? 、 ? ? ? 0, ? ,是否 2
? ? ?

? ?

能以此三条线段构成三角形?并说明理由。

第3页

正弦定理、余弦定理和解斜三角形答案 一、填空题 1. 2 或 1 2.
48 55

3. 等腰直角三角形 4. ? 5.
1 2
2 3 39

6. ( 7. 8.
?
3

2, ? ?

)

?2 , 2 2 ?
? ?

9. (A)等边三角形,(B) tan B ? tan C 10. (A) ? 0 , ?
? ?
? 6?

,

(B) 1 2 0 ?

二、选择题 11. C 12. B 三、解答题 15. 由

13. B
2

14.(A) A , 得

(B) A , 化 简 得

sin B sin C ? cos

A 2

2 s i B s i C ? 1 ? c o A ? 1 ? c o?B ? C ? n n s s

cos ? B ? C ? ? 1 , ? ? ? ? B ? C ? ? ? ?a ? b ? c ??a ? b ? c ? ? ac

,? B
? a
2
2

?C

,即 ? ABC 是等腰三角形。 ,
?

16.

,? b 2
?c
2

?c
2

2

? ac

? cos B ?

a

2

?c

2

?b

2

?

a

2

? a

?

?c

? ac

? ? ? 1 ,? B ? 120
2
7 2 ? cos A ? 1 2
? 2

2 ac

2 ac
A ?1?

17. (1)由题设得 2 ?1 ? cos ? B ? C ?? ? 2 cos 2 解得
?b ? c ? 2
c o A ? s 1 2
?a
2

,即 2 ?1 ? cos A ? ? 2 cos 2
, ?
b
2

A ?1?
1 2

7 2



,故 , a 将
?

A ? 60

?

;( 2 )

?c

2

?a

2

?

,即

2 bc

? 3 bc

3,b ? c ? 3

代入, bc 得

, 解得 b ? 2 , c ? 1 或 b ? 1, c ? 2 。

18. (A) 如 右 图 , 设 两 船 在 C 处 相 遇 , 由 题 意 ,
? A B C ? 60 , A B ? 200, B C ? 200 ? 1.852 ? 370.4
?

( 单 以

位:千米) 。 所
AC
2

? 2

?

?

?

?

?

?

0

2

第4页

即 A C ? 321.1170503 千米,所以甲船的速度为 小时。 (B) 设两船的相遇处为点 C , 如图: 可知, ? ABC , 在 中, B
? 120
?

3 2 1 .1 1 7 0 5 0 3 5 ? 1 .8 5 2

? 3 4 .7

海里/

, AB 为定值, AC , BC 分别是甲船与乙

船在相同时间里的行程。由已知条件显然有
AC : BC ?
sin A ? BC AC

3a : a ?
sin B ? 1 2

3 :1

, 由 正 弦 定 理 可 得
A ? 60
?

,再由 0 ?

,得 A ? 30 ? ,即甲船航行的方向为北偏

东 30 ? 。 19. (A)(1)由正弦定理、余弦定理得 a ? ?
? ? a2 ? c2 ? b2 2 ac ? a
2

?b

2

?c

2

2 ab

? ? ? b?c ? ?



? 2 bc ?b ? c ? ? a

2

?b ? c ? ? ?b 2

?c

2

??c ? b ? ,? b ? c ? 0 ,两边同除以 b ? c ,得
2

? 2 bc ? a

2

? ?b ? c ??c ? b ? ,化简得 b

?c

2

? a

2

,? A ? 90 ? , ? ABC 为直角三角形。

(2)? A ? 90 ? ,? S ?
C ? a?b?c ? b
2

?

1 2

bc ? 4 , ? bc ? 8

。所以周长

?c

2

?b?c ?

2 bc ? 2 bc ? 4

?

2 ?1;

? ,当且仅当 b ? c 时等号成
2

立。 因此三角形周长的最小值为 4 ? (B)由于 ? 、 ? ? ? 0, ? , 2
? ?
sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? 1 ? co s ?
2 ?1

? ,此时 b ? c ? 2

.

?

? ?

??

sin ? ? sin ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? 0

? ? sin ? ? 1 ? co s ? ? ?



即 sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? ? ? 。
sin ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ?

? ? sin ?

? sin ? ? sin ? ? ? ? ? ?

? ? sin ? ? ?? ?
0

? ? ? co s ? ? co s ? ? ? ? ? sin ?

? ? 1 ? co s ? ? ? sin ? ? 1 ? co s ? ?

即 sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? 。同理可证 sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? 。 所以可构成三角形。

第5页


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