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2015江苏省泰州市中考数学试卷word解析版


2015 年泰州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分,在每小题所给出的四个选项中, 恰有一项符合题目要求的,请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. (3 分) (2015?泰州)﹣ 的绝对值是( A.﹣3 B. ) C. ﹣ D.3

2. (3 分) (2015?泰州)下列 4 个数: A. B.



、π、 ( C .π

) ,其中无理数是( D.( )
0

0



3. (3 分) (2015?泰州)描述一组数据离散程度的统计量是( A.平均数 B.众数 C.中位数

) D.方差 )

4. (3 分) (2015?泰州)一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是(

A.四棱锥

B.四棱柱

C.三棱锥

D.三棱柱

5. (3 分) (2015?泰州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ A′B′C′由△ ABC 绕点 P 旋转得 到,则点 P 的坐标为( )

A.(0,1)

B.(1,﹣1)

C.(0,﹣1)

D.(1,0)

6. (3 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分 别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

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A.1 对

B.2 对

C .3 对

D.4 对

二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,请把答案直接填写在答题卡相 应位置上) 7. (3 分) (2015?泰州)2
﹣1

等于



8. (3 分) (2015?泰州)我市 2014 年固定资产投资约为 220 000 000 000 元,将 220 000 000 000 用科学记数法表示为 . 9. (3 分) (2015?泰州)计算: ﹣2 等于 .

10. (3 分) (2015?泰州)如图,直线 l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=



11. (3 分) (2015?泰州)圆心角为 120°,半径长为 6cm 的扇形面积是

cm .

2

12. (3 分) (2015?泰州)如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,∠A=115°,则∠BOD 等 于 .

13. (3 分) (2015?泰州)事件 A 发生的概率为 100 次发生的次数是 .

,大量重复做这种试验,事件 A 平均每

14. (3 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,D 为 BC 上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4, 则 CD 的长为 .
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15. (3 分) (2015?泰州)点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在反比例函数 y= (k>0)的图象上, 若 y1<y2,则 a 的范围是 .

16. (3 分) (2015?泰州)如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,P 为 AD 上一点,将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP,PE 与 CD 相交于点 O,且 OE=OD,则 AP 的长为 .

三、解答题(本大腿共 10 小题,满分 102 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2015?泰州) (1)解不等式: (2)计算: ÷(a+2﹣ )

18. (8 分) (2015?泰州)已知:关于 x 的方程 x +2mx+m ﹣1=0 (1)不解方程,判别方程根的情况; (2)若方程有一个根为 3,求 m 的值. 19. (8 分) (2015?泰州)为了解学生参加社团的情况,从 2010 年起,某市教育部门每年都 从全市所有学生中随机抽取 2000 名学生进行调查,图①、图②是部分调查数据的统计图

2

2

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(参加社团的学生每人只能报一项)根据统计图提供的信息解决下列

问题: (1)求图②中“科技类”所在扇形的圆心角 α 的度数 (2)该市 2012 年抽取的学生中,参加体育类与理财类社团的学生共有多少人? (3)该市 2014 年共有 50000 名学生,请你估计该市 2014 年参加社团的学生人数. 20. (8 分) (2015?泰州)一只不透明袋子中装有 1 个红球,2 个黄球,这些球除颜色外都相 同,小明搅匀后从中任意摸出一个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出 1 个球,用 画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况,并求两次摸出的球都是红球的概率. 21. (10 分) (2015?泰州)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商 场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件,并以每件 120 元的价格销售了 400 件,商 场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元 时,销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标? 22. (10 分) (2015?泰州)已知二次函数 y=x +mx+n 的图象经过点 P(﹣3,1) ,对称轴是 经过(﹣1,0)且平行于 y 轴的直线. (1)求 m、n 的值; (2)如图,一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P,与 x 轴相交于点 A,与二次函数的图象相交 于另一点 B,点 B 在点 P 的右侧,PA:PB=1:5,求一次函数的表达式.
2

23. (10 分) (2015?泰州)如图,某仓储中心有一斜坡 AB,其坡度为 i=1:2,顶部 A 处的 高 AC 为 4m,B、C 在同一水平地面上. (1)求斜坡 AB 的水平宽度 BC;
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(2)矩形 DEFG 为长方体货柜的侧面图,其中 DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运 送,当 BF=3.5m 时,求点 D 离地面的高. ( ≈2.236,结果精确到 0.1m)

24. (10 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于 点 D,与 CA 的延长线相交于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. (1)试说明 DF 是⊙O 的切线; (2)若 AC=3AE,求 tanC.

25. (12 分) (2015?泰州)如图,正方形 ABCD 的边长为 8cm,E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 上的动点,且 AE=BF=CG=DH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)判断直线 EG 是否经过一个定点,并说明理由; (3)求四边形 EFGH 面积的最小值.

26. (14 分) (2015?泰州)已知一次函数 y=2x﹣4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B, 点 P 在该函数的图象上,P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 d1、d2. (1)当 P 为线段 AB 的中点时,求 d1+d2 的值; (2)直接写出 d1+d2 的范围,并求当 d1+d2=3 时点 P 的坐标; (3)若在线段 AB 上存在无数个 P 点,使 d1+ad2=4(a 为常数) ,求 a 的值.

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2015 年江苏省泰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分,在每小题所给出的四个选项中, 恰有一项符合题目要求的,请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. (3 分) (2015?泰州)﹣ 的绝对值是( A.﹣3 B. ) C. ﹣ D.3

考点: 绝对值. 分析: 根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解. 解答: 解:﹣ 的绝对值是 ,
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故选 B 点评: 考查了绝对值,计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式; 第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
0

2. (3 分) (2015?泰州)下列 4 个数: A. B.



、π、 ( C .π

) ,其中无理数是( D.( )
0



考点: 无理数;零指数幂. 分析: 根据无理数是无限不循环小数,可得答案. 解答: 解:π 是无理数, 故选:C. 点评: 本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
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3. (3 分) (2015?泰州)描述一组数据离散程度的统计量是( A.平均数 B.众数 C.中位数

) D.方差

考点: 统计量的选择. 分析: 根据方差的意义可得答案.方差反映数据的波动大小,即数据离散程度. 解答: 解: 由于方差反映数据的波动情况, 所以能够刻画一组数据离散程度的统计量是方差. 故选 D. 点评: 此题主要考查统计的有关知识,主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映 数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等,各有局限性,因此要对统计 量进行合理的选择和恰当的运用.
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4. (3 分) (2015?泰州)一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是(



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A.四棱锥

B.四棱柱

C.三棱锥

D.三棱柱

考点: 几何体的展开图. 分析: 根据四棱锥的侧面展开图得出答案. 解答: 解:如图所示:这个几何体是四棱锥. 故选:A. 点评: 此题主要考查了几何体的展开图, 熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类 问题的关键.
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5. (3 分) (2015?泰州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ A′B′C′由△ ABC 绕点 P 旋转得 到,则点 P 的坐标为( )

A.(0,1)

B.(1,﹣1)

C.(0,﹣1)

D.(1,0)

考点: 坐标与图形变化-旋转. 分析: 根据网格结构,找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心. 解答: 解:由图形可知,对应点的连线 CC′、AA′的垂直平分线过点(0,﹣1) ,根据旋转变 换的性质,点(0,﹣1)即为旋转中心. 故旋转中心坐标是 P(0,﹣1) . 故选 C. 点评: 本题考查了利用旋转变换作图, 旋转变换的旋转以及对应点连线的垂直平分线的交点 即为旋转中心,熟练掌握网格结构,找出对应点的位置是解题的关键.
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6. (3 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,AC 的垂直平分线分 别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,则图中全等三角形的对数是( )

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A.1 对

B.2 对

C .3 对

D.4 对

考点: 全等三角形的判定;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 分析: 根据已知条件“AB=AC,D 为 BC 中点”,得出△ ABD≌△ACD,然后再由 AC 的垂直 平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、F,推出△ AOE≌△EOC,从而根据“SSS” 或“SAS”找到更多的全等三角形,要由易到难,不重不漏. 解答: 解:∵AB=AC,D 为 BC 中点, ∴CD=BD,∠BDO=∠CDO=90°, 在△ ABD 和△ ACD 中,
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, ∴△ABD≌△ACD; ∵EF 垂直平分 AC, ∴OA=OC,AE=CE, 在△ AOE 和△ COE 中, , ∴△AOE≌△COE; 在△ BOD 和△ COD 中, , ∴△BOD≌△COD; 在△ AOC 和△ AOB 中, , ∴△AOC≌△AOB; 故选 D. 点评: 本题考查的是全等三角形的判定方法;这是一道考试常见题,易错点是漏掉 △ ABO≌△ACO, 此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形, 然后从已 知条件入手,分析推理,对结论一个个进行论证. 二、填空题(本大题共有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,请把答案直接填写在答题卡相 应位置上) 7. (3 分) (2015?泰州)2
﹣1

等于



考点: 负整数指数幂. 分析: ﹣p p 负整数指数幂:a =( ) ,依此计算即可求解.
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解答: ﹣1 解:2 = 故答案是: .

1

= .

点评: 本题考查了负整数指数幂.负整数指数为正整数指数的倒数. 8. (3 分) (2015?泰州)我市 2014 年固定资产投资约为 220 000 000 000 元,将 220 000 000 11 000 用科学记数法表示为 2.2×10 . 考点: 科学记数法—表示较大的数. n 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同. 当 原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 11 解答: 解:将 220 000 000 000 用科学记数法表示为 2.2×10 . 11 故答案为:2.2×10 . n 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
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9. (3 分) (2015?泰州)计算:

﹣2

等于 2



考点: 二次根式的加减法. 分析: 先把各根式化为最简二次根式,再合并同类项即可. 解答: 解:原式=3 ﹣ =2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简 二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不 变是解答此题的关键.
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10. (3 分) (2015?泰州)如图,直线 l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2= 140° .

考点: 平行线的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据平行线的性质,由 l1∥l2 得∠3=∠1=40°,再根据平行线的判定,由∠α=∠β 得 AB∥CD,然后根据平行线的性质得∠2+∠3=180°,再把∠1=40°代入计算即可. 解答: 解:如图, ∵l1∥l2, ∴∠3=∠1=40°,
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∵∠α=∠β, ∴AB∥CD, ∴∠2+∠3=180°, ∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°. 故答案为 140°.

点评: 本题考查了平行线性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两 直线平行,内错角相等. 11. (3 分) (2015?泰州)圆心角为 120°,半径长为 6cm 的扇形面积是 12π cm . 考点: 扇形面积的计算. 分析: 将所给数据直接代入扇形面积公式 S 扇形=
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2

进行计算即可得出答案.

解答: 解:由题意得,n=120°,R=6cm, 故 =12π.

故答案为 12π. 点评: 此题考查了扇形面积的计算,属于基础题,解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及 公式中字母所表示的含义,难度一般. 12. (3 分) (2015?泰州)如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,∠A=115°,则∠BOD 等于 150° .

考点: 圆内接四边形的性质;圆周角定理. 分析: 根据圆内接四边形的对角互补求得∠C 的度数,再根据圆周角定理求解即可. 解答: 解:∵∠A=115° ∴∠C=180°﹣∠A=75° ∴∠BOD=2∠C=150°. 故答案为:150°. 点评: 本题考查的是圆内接四边形的性质,熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关 键.
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13. (3 分) (2015?泰州)事件 A 发生的概率为 100 次发生的次数是 10 .

,大量重复做这种试验,事件 A 平均每

考点: 概率的意义. 分析: 根据概率的意义解答即可. 解答: 解:事件 A 发生的概率为 ,大量重复做这种试验,
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则事件 A 平均每 100 次发生的次数为:100×

=10.

故答案为:10. 点评: 本题考查了概率的意义,熟记概念是解题的关键. 14. (3 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,D 为 BC 上一点,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4, 则 CD 的长为 5 .

考点: 相似三角形的判定与性质. 分析: 易证△ BAD∽△BCA,然后运用相似三角形的性质可求出 BC,从而可得到 CD 的值. 解答: 解:∵∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴△BAD∽△BCA,
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=



∵AB=6,BD=4, ∴ = ,

∴BC=9, ∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5. 故答案为 5. 点评: 本题主要考查的是相似三角形的判定与性质, 由角等联想到三角形相似是解决本题的 关键.

15. (3 分) (2015?泰州)点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在反比例函数 y= (k>0)的图象上, 若 y1<y2,则 a 的范围是 ﹣1<a<1 . 考点: 反比例函数图象上点的坐标特征. 分析: 根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论,①当点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在图
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象的同一支上时,②当点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在图象的两支上时. 解答: 解:∵k>0, ∴在图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小, ①当点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在图象的同一支上, ∵y1<y2, ∴a﹣1>a+1, 解得:无解; ②当点(a﹣1,y1) 、 (a+1,y2)在图象的两支上, ∵y1<y2, ∴a﹣1<0,a+1>0, 解得:﹣1<a<1, 故答案为:﹣1<a<1. 点评: 此题主要考查了反比例函数的性质,关键是掌握当 k>0 时,在图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小. 16. (3 分) (2015?泰州)如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,P 为 AD 上一点,将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP,PE 与 CD 相交于点 O,且 OE=OD,则 AP 的长为 4.8 .

考点: 翻折变换(折叠问题) ;勾股定理;矩形的性质. 分析: 由折叠的性质得出 EP=AP, ∠E=∠A=90°, BE=AB=8, 由 ASA 证明△ ODP≌△OEG, 得出 OP=OG,PD=GE,设 AP=EP=x,则 PD=GE=6﹣x,DG=x,求出 CG、BG,根 据勾股定理得出方程,解方程即可. 解答: 解:如图所示:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8, 根据题意得:△ ABP≌△EBP, ∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8, 在△ ODP 和△ OEG 中,
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, ∴△ODP≌△OEG(ASA) , ∴OP=OG,PD=GE, ∴DG=EP, 设 AP=EP=x,则 PD=GE=6﹣x,DG=x, ∴CG=8﹣x,BG=8﹣(6﹣x)=2+x, 2 2 2 根据勾股定理得:BC +CG =BG , 2 2 2 即 6 +(8﹣x) =(x+2) , 解得:x=4.8,
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∴AP=4.8; 故答案为:4.8.

点评: 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌 握翻折变换和矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 三、解答题(本大腿共 10 小题,满分 102 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (12 分) (2015?泰州) (1)解不等式: (2)计算: ÷(a+2﹣ )

考点: 分式的混合运算;解一元一次不等式组. 分析: (1)根据一元一次不等式组的解法,首先求出每个不等式的解集,再求出这些解集 的公共部分即可. (2)根据分式的混合运算顺序,首先计算小括号里面的,然后计算除法,求出算式
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÷(a+2﹣

)的值是多少即可.

解答: 解: (1)由 x﹣1>2x,可得 x<﹣1, 由 ,可得 x<﹣8,

∴不等式 x<﹣8. (2) ÷(a+2﹣

的解集是:



= =﹣

÷

点评: (1)此题主要考查了一元一次不等式组的解法,要熟练掌握,解答此题的关键是要 明确:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的 公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.方法与步骤:①求不等式组 中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
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(2)此题还考查了分式的混合运算,要注意运算顺序,分式与数有相同的混合运算 顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的. 18. (8 分) (2015?泰州)已知:关于 x 的方程 x +2mx+m ﹣1=0 (1)不解方程,判别方程根的情况; (2)若方程有一个根为 3,求 m 的值. 考点: 根的判别式;一元二次方程的解. 分析: (1)找出方程 a,b 及 c 的值,计算出根的判别式的值,根据其值的正负即可作出判 断; (2)将 x=3 代入已知方程中,列出关于系数 m 的新方程,通过解新方程即可求得 m 的值. 2 解答: 解: (1)∵a=1,b=2m,c=m ﹣1, 2 2 2 ∵△=b ﹣4ac=(2m) ﹣4×1×(m ﹣1)=4>0, 2 2 ∴方程 x +2mx+m ﹣1=0 有两个不相等的实数根;
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2

2

(2)∵x +2mx+m ﹣1=0 有一个根是 3, 2 2 ∴3 +2m×3+m ﹣1=0, 解得,m=﹣4 或 m=﹣2. 点评: 此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方 程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程 没有实数根.也考查了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相等的 未知数的值是一元二次方程的解.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立. 19. (8 分) (2015?泰州)为了解学生参加社团的情况,从 2010 年起,某市教育部门每年都 从全市所有学生中随机抽取 2000 名学生进行调查,图①、图②是部分调查数据的统计图 (参加社团的学生每人只能报一项)根据统计图提供的信息解决下列

2

2

问题: (1)求图②中“科技类”所在扇形的圆心角 α 的度数 (2)该市 2012 年抽取的学生中,参加体育类与理财类社团的学生共有多少人? (3)该市 2014 年共有 50000 名学生,请你估计该市 2014 年参加社团的学生人数. 考点: 折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 分析: (1)用 1 减去其余四个部分所占百分比得到“科技类”所占百分比,再乘以 360°即可;
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(2)由折线统计图得出该市 2012 年抽取的学生一共有 300+200=500 人,再乘以体育 类与理财类所占百分比的和即可; (3)先求出该市 2014 年参加社团的学生所占百分比,再乘以该市 2014 年学生总数 即可. 解答: 解: (1)“科技类”所占百分比是:1﹣30%﹣10%﹣15%﹣25%=20%, α=360°×20%=72°; (2)该市 2012 年抽取的学生一共有 300+200=500 人, 参加体育类与理财类社团的学生共有 500×(30%+10%)=200 人; (3)50000× =28750.

即估计该市 2014 年参加社团的学生有 28750 人. 点评: 本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键.折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能 够清楚地表示出数量的增减变化情况; 扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同 总数之间的关系.也考查了利用样本估计总体. 20. (8 分) (2015?泰州)一只不透明袋子中装有 1 个红球,2 个黄球,这些球除颜色外都相 同,小明搅匀后从中任意摸出一个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出 1 个球,用 画树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况,并求两次摸出的球都是红球的概率. 考点: 列表法与树状图法. 分析: 首先根据题意画出树状图, 然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是 红球的情况,再利用概率公式即可求得答案. 解答: 解:画树状图得:
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∵共有 9 种等可能的结果,两次摸出的球都是红球的只有 1 种情况, ∴两次摸出的球都是红球的概率为: . 点评: 此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况 数之比. 21. (10 分) (2015?泰州)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商 场以每件 80 元的价格购进了某品牌衬衫 500 件,并以每件 120 元的价格销售了 400 件,商 场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元 时,销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标? 考点: 一元一次方程的应用. 专题: 销售问题.

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分析: 设每件衬衫降价 x 元,根据销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标,列出方程 求解即可. 解答: 解:设每件衬衫降价 x 元,依题意有 120×400+(120﹣x)×100=80×500×(1+45%) , 解得 x=20. 答:每件衬衫降价 20 元时,销售完这批衬衫正好达到盈利 45%的预期目标. 点评: 本题考查了一元一次方程的应用, 解答本题的关键是读懂题意, 找出合适的等量关系, 列出方程求解. 22. (10 分) (2015?泰州)已知二次函数 y=x +mx+n 的图象经过点 P(﹣3,1) ,对称轴是 经过(﹣1,0)且平行于 y 轴的直线. (1)求 m、n 的值; (2)如图,一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P,与 x 轴相交于点 A,与二次函数的图象相交 于另一点 B,点 B 在点 P 的右侧,PA:PB=1:5,求一次函数的表达式.
2

考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式. 2 分析: (1)利用对称轴公式求得 m,把 P(﹣3,1)代入二次函数 y=x +mx+n 得出 n=3m ﹣8,进而就可求得 n; (2)根据(1)得出二次函数的解析式,根据已知条件,利用平行线分线段成比例定 理求得 B 的纵坐标,代入二次函数的解析式中求得 B 的坐标,然后利用待定系数法 就可求得一次函数的表达式. 解答: 解:∵对称轴是经过(﹣1,0)且平行于 y 轴的直线,
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∴﹣ ∴m=2,

=﹣1,
2

∵二次函数 y=x +mx+n 的图象经过点 P(﹣3,1) , ∴9﹣3m+n=1,得出 n=3m﹣8. ∴n=3m﹣8=﹣2; (2)∵m=2,n=﹣2, 2 ∴二次函数为 y=x +2x﹣2, 作 PC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 PC∥BD, ∴ = ,

∵P(﹣3,1) ,
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∴PC=1, ∵PA:PB=1:5, ∴ = ,

∴BD=6, ∴B 的纵坐标为 6, 代入二次函数为 y=x +2x﹣2 得,6=x +2x﹣2, 解得 x1=2,x2=﹣4(舍去) , ∴B(2,6) , ∴ ,解得 ,
2 2

∴一次函数的表达式为 y=x+4.

点评: 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式, 根据已知条件求得 B 的坐标是解题的关键. 23. (10 分) (2015?泰州)如图,某仓储中心有一斜坡 AB,其坡度为 i=1:2,顶部 A 处的 高 AC 为 4m,B、C 在同一水平地面上. (1)求斜坡 AB 的水平宽度 BC; (2)矩形 DEFG 为长方体货柜的侧面图,其中 DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运 送,当 BF=3.5m 时,求点 D 离地面的高. ( ≈2.236,结果精确到 0.1m)

考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 分析: (1)根据坡度定义直接解答即可;

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(2)作 DS⊥BC,垂足为 S,且与 AB 相交于 H.证出∠GDH=∠SBH,根据

= ,

得到 GH=1m,利用勾股定理求出 DH 的长,然后求出 BH=5m,进而求出 HS,然后 得到 DS. 解答: 解: (1)∵坡度为 i=1:2,AC=4m, ∴BC=4×2=8m.
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(2)作 DS⊥BC,垂足为 S,且与 AB 相交于 H. ∵∠DGH=∠BSH,∠DHG=∠BHS, ∴∠GDH=∠SBH, ∴ = ,

∵DG=EF=2m, ∴GH=1m, ∴DH=
2 2

=
2

m,BH=BF+FH=3.5+(2.5﹣1)=5m,

设 HS=xm,则 BS=2xm, ∴x +(2x) =5 , ∴x= m, ∴DS= + =2 m.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题, 熟悉坡度坡角的定义和勾股定理 是解题的关键. 24. (10 分) (2015?泰州)如图,△ ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于 点 D,与 CA 的延长线相交于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F. (1)试说明 DF 是⊙O 的切线; (2)若 AC=3AE,求 tanC.

考点: 切线的判定. 分析: (1)连接 OD,根据等边对等角得出∠B=∠ODB,∠B=∠C,得出∠ODB=∠C,证 得 OD∥AC,证得 OD⊥DF,从而证得 DF 是⊙O 的切线; (2)连接 BE,AB 是直径,∠AEB=90°,根据勾股定理得出 BE=2 AE,CE=4AE, 然后在 RT△ BEC 中,即可求得 tanC 的值. 解答: (1)证明:连接 OD, ∵OB=OD, ∴∠B=∠ODB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠ODB=∠C, ∴OD∥AC,
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∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴DF 是⊙O 的切线; (2)解:连接 BE, ∵AB 是直径, ∴∠AEB=90°, ∵AB=AC,AC=3AE, ∴AB=3AE,CE=4AE, ∴BE= =2 AE, = = .

在 RT△ BEC 中,tanC=

点评: 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定和性质,切线的判定,勾股定理的应用 以及直角三角函数等,是一道综合题,难度中等. 25. (12 分) (2015?泰州)如图,正方形 ABCD 的边长为 8cm,E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 上的动点,且 AE=BF=CG=DH. (1)求证:四边形 EFGH 是正方形; (2)判断直线 EG 是否经过一个定点,并说明理由; (3)求四边形 EFGH 面积的最小值.

考点: 四边形综合题. 分析: (1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,证出 AH=BE=CF=DG,由 SAS 证明△ AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出 EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,证出四边形 EFGH 是菱形,再证出∠HEF=90°,即 可得出结论; (2)连接 AC、EG,交点为 O;先证明△ AOE≌△COG,得出 OA=OC,证出 O 为 对角线 AC、BD 的交点,即 O 为正方形的中心; 2 (3) 设四边形 EFGH 面积为 S, BE=xcm, 则 BF= (8﹣x) cm, 由勾股定理得出 S=x + 2 2 (8﹣x) =2(x﹣4) +32,S 是 x 的二次函数,容易得出四边形 EFGH 面积的最小 值.
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解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA, ∵AE=BF=CG=DH, ∴AH=BE=CF=DG, 在△ AEH、△ BFE、△ CGF 和△ DHG 中, ,

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS) , ∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE, ∴四边形 EFGH 是菱形, ∵∠BEF+∠BFE=90°, ∴∠BEF+∠AEH=90°, ∴∠HEF=90°, ∴四边形 EFGH 是正方形; (2)解:直线 EG 经过一个定点,这个定点为正方形的中心(AC、BD 的交点) ;理 由如下: 连接 AC、EG,交点为 O;如图所示: ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB∥CD, ∴∠OAE=∠OCG, 在△ AOE 和△ COG 中, ,

∴△AOE≌△COG(AAS) , ∴OA=OC,即 O 为 AC 的中点, ∵正方形的对角线互相平分, ∴O 为对角线 AC、BD 的交点,即 O 为正方形的中心; (3)解:设四边形 EFGH 面积为 S,设 BE=xcm,则 BF=(8﹣x)cm, 2 2 2 2 2 根据勾股定理得:EF =BE +BF =x +(8﹣x) , 2 2 2 ∴S=x +(8﹣x) =2(x﹣4) +32, ∵2>0, ∴S 有最小值, 当 x=4 时,S 的最小值=32, 2 ∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32cm .

点评: 本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判 定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是 (2) (3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.
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26. (14 分) (2015?泰州)已知一次函数 y=2x﹣4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B, 点 P 在该函数的图象上,P 到 x 轴、y 轴的距离分别为 d1、d2. (1)当 P 为线段 AB 的中点时,求 d1+d2 的值; (2)直接写出 d1+d2 的范围,并求当 d1+d2=3 时点 P 的坐标; (3)若在线段 AB 上存在无数个 P 点,使 d1+ad2=4(a 为常数) ,求 a 的值.

考点: 一次函数综合题. 专题: 综合题. 分析: (1) 对于一次函数解析式, 求出 A 与 B 的坐标, 即可求出 P 为线段 AB 的中点时 d1+d2 的值; (2)根据题意确定出 d1+d2 的范围,设 P(m,2m﹣4) ,表示出 d1+d2,分类讨论 m 的范围,根据 d1+d2=3 求出 m 的值,即可确定出 P 的坐标; (3)设 P(m,2m﹣4) ,表示出 d1 与 d2,由 P 在线段上求出 m 的范围,利用绝对值 的代数意义表示出 d1 与 d2,代入 d1+ad2=4,根据存在无数个点 P 求出 a 的值即可. 解答: 解: (1)对于一次函数 y=2x﹣4, 令 x=0,得到 y=﹣4;令 y=0,得到 x=2, ∴A(2,0) ,B(0,﹣4) , ∵P 为 AB 的中点, ∴P(1,﹣2) , 则 d1+d2=3; (2)①d1+d2≥2; ②设 P(m,2m﹣4) , ∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|, 当 0≤m≤2 时,d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3, 解得:m=1,此时 P1(1,2) ; 当 m>2 时,d1+d2=m+2m﹣4=3,
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解得:m= ,此时 P2( , ) ; 当 m<0 时,不存在, 综上,P 的坐标为(1,2)或( , ) ; (3)设 P(m,2m﹣4) , ∴d1=|2m﹣4|,d2=|m|, ∵P 在线段 AB 上, ∴0≤m≤2,
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∴d1=4﹣2m,d2=m, ∵d1+ad2=4, ∴4﹣2m+am=4,即(a﹣2)m=0, ∵有无数个点, ∴a=2. 点评: 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,线段中点坐标 公式,绝对值的代数意义,以及坐标与图形性质,熟练掌握绝对值的代数意义是解本 题的关键.

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参与本试卷答题和审题的老师有:1987483819;2300680618;sjzx;HLing;zjx111;张其铎; dbz1018;caicl;CJX;gsls;守拙;1160374;sd2011;wdzyzmsy@126.com;放飞梦想;HJJ; zcx;sks(排名不分先后) 菁优网 2015 年 6 月 24 日

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