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山东省枣庄第八中学2016届高三数学12月月考试题 理


枣庄八中南校 2016 届高三 12 月月考 理 科 数 学 试 题
2015.12

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页. 满分 150 分,考试用时 120 分钟.答题前,考 生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上,用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑. 2.填空题和解答题用 0.5 毫米黑色签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、 草稿纸上无效. 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:(本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题 目要求的.)
2 x 1.已知集合 M ? x x ? x , N ? y y ? 2 , x ? R ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

)

A. ( 0,1 )

B. [0,1] )
2

C. [0,1)

D. (0,1]

2.下列说法中正确的是 (

A.若命题 p : ?x ? R 有 x ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 有 x ? 0 ;
2

B.直线 a , b 为异面直线的充要条件是直线 a , b 不相交; C.若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的充分不必要条件;
2 D.方程 ax ? x ? a ? 0 有唯一解的充要条件是 a ? ?

1 2
( )

3. 设等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8,S 6 ? 7 ,则 a 7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8
3

B. ?

1 8
3

C.

57 8

D.

55 8
) 5 1 3

4. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( A.48cm C.88cm B.98cm D.78cm

3

3

5.若直线 (a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值
2 2

4

为( ) A.1 或﹣1

B.2 或﹣2

C.1

D.﹣1

2 正视图 左视图

6.已知直线 l ⊥平面 ? ,直线 m ? 平面 ? ,下面有三个命题: ①? ∥ ? ? l ⊥ m ; ②? ⊥ ? ? l ∥ m ; ③l ∥ m ?? ⊥ ? ; 则 俯视图 第y 4 题图
1

?

3?

?

?

O

?

3?

x

真命题的个数为( A. 0

) B. 1

C. 2

D. 3 )

7.函数 f ( x ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的解析式可以是 ( A. f ( x) ? x ? sin x C. f ( x) ? x cos x B. f ( x) ?

cos x x

D. f ( x) ? x( x ?

?
2

)( x ?

3? ) 2

8 .设 f ( x) 定义如下面数表, ?xn ? 满足 x0 ? 5 ,且对任意自然数 n 均有 xn?1 ? f ( xn ) ,则 x2015 的值为 ( )

x
f ( x)
A. 1 9.在 △ ABC 中 ,若 A.

1 4 B.2

2 1 C .5

3 3 D.4 ) D.

4 5

5 2

1 5 xf ?( x) ? f ( x) 10.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 ? 0 恒成立,则不等式 x2

1 2

sin C 3 ? 2 , b 2 ? a 2 ? ac ,则 cos B ? ( sin A 2 1 1 B. C. 3 4

x 2 f ( x) ? 0 的解集是(
A. (-2,0) ∪(2,+∞)

) B. (-∞,-2)∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0) ∪(0,2)

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. 若 x ?1 ? x ? 3 ? k 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围为 12. 由直线 x ? .

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围成的图形的面积是___________. x 2

13.在直角三角形 ABC 中, ?C ?

?
2

, AB ? 2 , AC ? 1 ,若 AD ?

????

? ??? ? ??? ? 3 ??? AB ,则 CD ? CB ? 2



?x ? y ? 1 3 4 ? 14. 已知 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 7, 则 ? 的 a b ?2 x ? y ? 2 ?
最小值为_______.

2

15.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (1 ? x) ? ? f (1 ? x) ,当 x ? (2,3) 时, f ( x) ? log 2 ( x ?1) ,则以下 结论中正确的是______ ① f ( x ) 图像关于点 (k , 0)(k ? Z ) 对称;② y ? f ( x) 是以 2 为周期的周期函数 ③当 x ? (?1, 0) 时 f ( x) ? ? log 2 (1 ? x) ④ y ? f ( x ) 在 (k , k ? 1)(k ? Z ) 内单调递增

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)设 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

17. (本小题满分 12 分) 用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?
3 3 3 3

n 2 (n ? 1) 2 4

18. (本小题满分 12 分)

ABCD , D1 A ? D1D ? 2 ,底面 ABCD 为 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,侧面 ADD 1A 1 ⊥底面
直角梯形,其中 BC ∥ AD , AB ? AD , AD ? 2 AB ? 2 BC ? 2 , O 为 AD 中点. (1)求证: AO 1 ∥平面 AB 1C ; (2)求锐二面角 A ? C1D1 ? C 的余弦值.
B1 A1 C1 A O D B C D1

19. (本小题满分 12 分)
3

2 ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n ? 4n ? 4, n ? N

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1, n ? 1 1 1 1 1 ? (2)数列 ?bn ? 中,令 bn ? ? a ? 5 , Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ,求证: Tn ? 2 . n b1 b2 b3 bn ,n ? 2 ? ? 2

20. (本小题满分 13 分) 某风景区在一个直径 AB 为 100 米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点 A 与圆弧上的一点 C 之间设计为直线段小路,在路的两侧 边缘种植绿化带;从点 C 到点 B 设计为沿弧 BC 的弧形小路,在路 .. 的一侧 边缘种植绿化带. (注:小路及绿化带的宽度忽略不计) .. (I) 设 ?BAC ? ? (弧度) , 将绿化带总长度表示为 ? 的函数 s ?? ? ; (II)试确定 ? 的值,使得绿化带总长度最大.

21.(本小题满分 14 分) 已知 二次函数 r ? x ? ? ax ? ? 2a ?1? x ? b ( a , b 为常数, a ? R, a ? 0, b ? R )的一个零点是 2 ?
2

1 .函数 a

g ? x ? ? ln x ,设函数 f ? x ? ? r ? x ? ? g ? x ? .
(I)求 b 的值,当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调增区间; (II)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 在区间 ? ,1? 上的最小值; (III)记函数 y ? f ? x ? 图象为曲线 C,设点 A? x1 , y1 ?,B ? x2 , y2 ? 是曲线 C 上不同的两点,点 M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N.判断曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB?并说明 理由.

?1 ? ?2 ?

4

枣庄八中南校 2016 届高三 12 月月考 一. DCABD 理科数学试题参考答案 CCDCB 12. 2ln2 ,

二.11.

? ??, 4?

?

2

1 2

1 1 dx ? ln x |2 ? ln 4 ? 2 ln 2 1 ? ln 2 ? ln x 2 2

13.

9 2

14.

15.①②③ 三.16. 解析: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? 3(1 ? cos2 x) ? 3 ? a

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a , 3 ? ? 3? 5? 11? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 3 2 12 12 5? 11? ? f ( x) 的单调递减区间 [k? ? ……6 分 , k? ? ](k ? Z ) . 12 12 3 ? ? ? ? 2? ? sin(2 x ? ) ? 1 , (Ⅱ)?0 ? x ? ,?? ? 2x ? ? ,? 2 3 2 3 3 3

?

? f ( x)min ? ? 3 ? a ; f ( x) max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2, 得a ? 3 ? 2,
所以 f ( x) max ? 2 ? 3 ? 2= 3 . 17. 略 ……………12 分

OC ? AB ? A1 B1 , 且 18.(1) 证 明 : 如 图 , 连 接 CO , AC , 则 四 边 形 ABCO 为 正 方 形 , 所 以 OC // AB // A1 B1
故四边形 又 ,………2 分 为平行四边形,所以 ,
z

A1 B1CO
平面

A1O // B1C


A1

D1 C1 A O C x D y



B1

A1O ?

AB1C

B1C ?

平面

AB1C

所以

A1O //

平面

AB1C

B

.

……………5 分 为 AD 的中点, 所以

(2)因为 故

D1 A ? D1 D , O

D1O ? AD

, 又侧面

ADD1 A1

⊥底面 ABCD , 交线为 AD ,

D1O

⊥底面 ABCD 。

…………6 分 在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的坐标系, 则
5

以 O 为原点,所

OC , OD , OD1

C ?1, 0, 0 ? , D ? 0,1, 0 ? , D1 ? 0, 0,1? , A ? 0, ?1, 0 ?

, ,

???? ????? ? ???? ? ????? ???? ? DC ?1, ?1, 0 ? , DD1 ? 0, ?1,1? , D1 A ? 0, ?1, ?1? , D1C1 ? DC ? ?1, ?1, 0 ? ?? m ? ? x, y , z ?



? x? y ?0 ?? ???? ?? ???? ? ? CDD1C1 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DD1 ,得 ?? y ? z ? 0 ,令 z ? 1 ,则 为平面


?? y ? 1, x ? 1 , ? m ? ?1,1,1? ? n ? ? x1 , y1 , z1 ?

又设 则

?? y1 ? z1 ? 0 ? ???? ? ? ????? ? AC1 D1 的一个法向量,由 n ? D1 A , n ? D1C1 ,得 ? x1 ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1 , 为平面
, …………10 分

? y1 ? ?1, x1 ? ?1 , ? n ? ? ?1, ?1,1?

?? ? ?1 ? 1 ? 1 1 1 cos ? m, n ?? ?? 3 ,故所求锐二面角 A ? C1 D1 ? C 的余弦值为 3 . 3? 3 则
19.

……12 分



1 1 1 1 ? ? ? ,k=2,3,4…,n. 2 k (k ? 1) k ? 1 k k
∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 = n 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n b1 b2 b3 bn 1 2 3
.

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 2? ? 2 1 1 2 2 3 n ?1 n n

(12 分)

20.解: (Ⅰ)如图,连接 BC,设圆心为 O,连接 CO,在直角三角形 ABC 中,AB=100, ?BAC = q ,所以 C

A

q
O

6

B

AC ? 100 cos ? .
由于 ?BOC ? 2?BAC ? 2? ,所以弧 BC 的长为 50 ? 2? ? 100? . 所以 s(? ) ? 200cos? ? 100? , ? ? (0, ) . 2

?

……………………6 分 ……………………8 分

? (Ⅱ) s?(? ) ? 100(?2sin ? ? 1), s?(? ) ? 0, 则 ? ? 6
列表如下:

?
s?(? )
s(? )

(0, ) 6
+ ↗

?

? 6
0 极大值

( , ) 6 2
— ↘

? ?

所以,当 ? ? 答:当 ? ?

?
6

时, s(? ) 取极 大值,即为最大值. ……………………13 分

?
6

时,绿化带总长度最大.

21 解: (Ⅰ)由 2 ?

1 是函数 r( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? b 的零点可求得 b ? 0 . a

f ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax 2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 2ax ? 1 ? 0 ,解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 所以 f ( x ) 的单调增区间为 (1, ??) (Ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ①当 ? ……………………4 分

1 , x2 ? 1 , 2a

1 1 ? 1 ,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, 2a 2 1 所以 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ? a . 2 1 1 1 ? 1 ,即 ?1 ? a ? ? 时, ②当 ? ? 2 2a 2 1 1 1 f ( x) 在 [ , ? ] 上是减函 数,在 [ ? ,1] 上是增函数, 2 2a 2a 1 1 ) ? 1? ? ln(?2a) . 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ? 2a 4a 1 1 1 ? ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 [ ,1] 上是增函数, ③当 ? 2a 2 2 1 1 3 所以 f ( x ) 的最小值为 f ( ) ? ? a ? ln 2 . 2 2 4

7

综上,函数 f ( x ) 在 [ ,1] 上的最小值 [f(x)]max

1 2

?1 3 a ? ?1 ? 2 ? 4 a ? ln 2, ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ln(?2a), ? 1 ? a ? ? , 2 ? 4a 1 ? ? ?a?0 ?1 ? a, 2 ?
x1 ? x2 , 2

……………………8 分 (Ⅲ)设 M ( x0 , y0 ) ,则点 N 的横坐标为 x0 ? 直线 AB 的斜率 k1 ?

y2 ? y1 1 ? [a( x12 ? x2 2 ) ? (1 ? 2a)( x1 ? x2 ) ? ln x2 ? ln x1 ] x2 ? x1 x1 ? x2 ln x2 ? ln x1 ], x1 ? x2 1 x0

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

曲线 C 在点 N 处的切线斜率 k2 ? f ?( x0 ) ? 2ax0 ? (1 ? 2a ) ?

? a( x1 ? x2 ) ? (1 ? 2a) ?

2 , x1 ? x2

假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB ,则 k1 ? k2 , 即

ln x2 ? ln x1 2 , ?? x1 ? x2 x1 ? x2
2(

x2 ? 1) x2 2(x 2 ? x1 ) x1 2(t ? 1) x ? ? 所以 ln ,不妨设 x1 ? x2 , 2 ? t ? 1 ,则 ln t ? , x 1 ? t x1 x1 ? x2 x 2 1 1? x1
令 g (t ) ? ln t ?

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1)2 (t ? 1) , g ?(t ) ? ? ? ? 0, 1? t t (1 ? t )2 t (1 ? t )2
2(t ? 1) 不成立, 1? t

所以 g (t ) 在 (1, ??) 上是增函数,又 g (1) ? 0 ,所以 g (t ) ? 0 ,即 ln t ? 所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB .

……………………14 分

8


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